2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理四组合组合数课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE四组合组合数(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列问题中,是组合问题的是()A.设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个B.某铁路途上有5个车站,则这条线上共需打算多少种车票C.3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法D.把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种安排方法【解析】选AD.A.因为本问题与元素依次无关,故是组合问题.B.因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题.C.因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按肯定次序分给3个人去干,故是排列问题.D.因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的依次,故是组合问题.【加练·固】以下四个命题,属于组合问题的是()A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列B.老师在排座次时将甲、乙两位同学支配为同桌C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.从13位司机中任选出两位开同一辆车来回甲、乙两地【解析】选C.从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与依次无关,是组合问题.【类题·通】推断一个问题是否是组合问题的流程2.集合M={x|x=QUOTE,n≥0且n∈N},集合Q={1,2,3,4},则下列结论正确的是()A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q⊆MC.M⊆Q D.M∩Q={1,4}【解析】选D.由QUOTE知n=0,1,2,3,4,因为QUOTE=1,QUOTE=4,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE=4,QUOTE=1,所以M={1,4,6}.故M∩Q={1,4}.3.方程QUOTE=QUOTE的解集为()A.{1,3} B.{3,5}C.(1,3) D.{1,3,5,-7}【解析】选A.因为QUOTE=QUOTE,所以x2-x=5x-5①,或(x2-x)+(5x-5)=16②,解①可得x=1或x=5(舍去),解②可得x=3或x=-7(舍),所以该方程的解集是{1,3}.4.若QUOTE-QUOTE=QUOTE,则n等于()A.12 B.13 C.14 D.15【解析】选C.因为QUOTE-QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以n+1=7+8,即n=14.二、填空题(每小题5分,共10分)5.平面凸n边形的对角线的条数为________.

【解析】从n个顶点中任选2个可形成QUOTE条线段,其中有n条线段是凸n边形的边,故对角线条数为QUOTE-n=QUOTE条.答案:QUOTE6.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=________.

【解析】因为m=QUOTE,n=QUOTE,所以m∶n=1∶2.答案:1∶2三、解答题(每小题10分,共20分)7.解不等式QUOTE>QUOTE+2QUOTE+QUOTE.【解题指南】由题中的QUOTE,QUOTE,QUOTE想到先用性质化简不等式,再进一步求解.【解析】因为QUOTE=QUOTE,所以原不等式可化为QUOTE>(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE),即QUOTE>QUOTE+QUOTE,也就是QUOTE>QUOTE,所以QUOTE>QUOTE,即(n-3)(n-4)>20,解得n>8或n<-1.又n∈N*,n≥5.所以n≥9且n∈N*.8.(1)解方程:3QUOTE=5QUOTE.(2)求值QUOTE+QUOTE.【解题指南】(1)依据排列数与组合数的阶乘公式将原方程转化为关于x的二次方程求解.(2)依据上下标的大小关系得到r的可能取值,代入求得组合数的值.【解析】(1)由排列数和组合数公式,原方程可化为3·QUOTE=5·QUOTE,则QUOTE=QUOTE,即为(x-3)(x-6)=40.所以x2-9x-22=0,解之可得x=11或x=-2.经检验知x=11是原方程的解,所以方程的解为x=11.(2)由组合数的定义知QUOTE所以7≤r≤9.又r∈N*,所以r=7,8,9,当r=7时,原式=QUOTE+QUOTE=46;当r=8时,原式=QUOTE+QUOTE=20;当r=9时,原式=QUOTE+QUOTE=46.(15分钟·30分)1.(5分)算式QUOTE可以表示为()A.QUOTE B.QUOTEC.21QUOTE D.21QUOTE【解析】选D.QUOTE=QUOTE=QUOTE×21=21QUOTE.2.(5分)(QUOTE+QUOTE)÷QUOTE的值为()A.6 B.101 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.(QUOTE+QUOTE)÷QUOTE=(QUOTE+QUOTE)÷QUOTE=QUOTE÷QUOTE=QUOTE÷QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.(5分)QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=________.

【解析】QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=…=QUOTE+QUOTE=QUOTE=220.答案:2204.(5分)(2024·扬州高二检测)已知QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,则x=________.

【解析】因为QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以x=2x-3,或x+2x-3=9,解得x=3,或x=4.答案:3或4【加练·固】已知x,y满意组合数方程QUOTE=QUOTE,则xy的最大值是________.

【解析】因为x,y满意组合数方程QUOTE=QUOTE,所以2x=y,0≤x≤8或2x+y=17,所以xy=2x2∈[0,128],或2xy≤QUOTE=QUOTE,即xy≤QUOTE.(当且仅当x=y=QUOTE时,取“=”)综上,当2x=y=16时,xy取最大值128.答案:1285.(10分)求20QUOTE=4(n+4)QUOTE+15QUOTE中n的值.【解析】原方程可化为20×QUOTE=4(n+4)×QUOTE+15(n+3)(n+2),即QUOTE=QUOTE+15(n+3)(n+2),所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,即5(n+4)(n+1)=90,所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7.留意到n≥1且n∈N*,所以n=2.1.若QUOTE-QUOTE=QUOTE(n∈N*),则n等于()A.11 B.12 C.13 D.14【解析】选B.依据题意,QUOTE-QUOTE=QUOTE变形可得,QUOTE=QUOTE+QUOTE;由组合数的性质可得,QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,则可得到n+1=6+7⇒n=12.2.(2024·上海高二检测)推广组合数公式,定义QUOTE=QUOTE,其中x∈R,m∈N*,且规定QUOTE=1.(1)求