2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直二同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价三十三平面与平面垂直(二)(15分钟30分)1.已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n的位置关系是 ()A.异面 B.相交但不垂直C.平行 D.相交且垂直【解析】选C.因为α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,所以n⊥α.又m⊥α,所以m∥n.2.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则 ()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC【解析】选B.因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC.3.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC的形态是 ()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不能确定【解析】选B.作AE⊥BD,交BD于E,因为平面ABD⊥平面BCD,所以AE⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AE⊥BC,而DA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以DA⊥BC,又因为AE∩AD=A,所以BC⊥平面ABD,而AB⊂平面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC为直角三角形.4.如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,∠BCD=45°,∠BAD=90°,现将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则三棱锥A-BCD的体积为.

【解析】折后如图,作AH⊥BD于H,因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AH⊥平面BCD.由AD∥BC,得∠BDC=180°-∠BCD-∠ADB=90°.由AB=AD=1,得BD=QUOTE,则CD=QUOTE.AH=ABsin45°=QUOTE,所以VA-BCD=QUOTES△BCD·AH=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=2,M为AB中点,将△BMC沿CM折叠,当平面BMC⊥平面AMC时,A,B两点之间的距离为.

【解析】取MC中点O,连接AO,BO,因为△ABC中,∠BCA=90°,∠A=60°,AB=2,M为AB中点,所以AC=BM=AM=CM=1,所以AO=QUOTE=QUOTE,BO=QUOTE=QUOTE=QUOTE,AO⊥MC,将△BMC沿CM折叠,当平面BMC⊥平面AMC时,AO⊥平面BMC,所以AO⊥BO,所以A、B两点之间的距离AB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直,EF∥AC,AB=QUOTE,CE=EF=1,求证:CF⊥平面BDE.【证明】如图,设AC∩BD=G,连接EG,FG.由AB=QUOTE易知CG=1,则EF=CG=CE.又EF∥CG,所以四边形CEFG为菱形,所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF,CF⊂平面ACEF,所以BD⊥CF.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.【补偿训练】(2024·南通高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为PD,AB的中点,△PAD为锐角三角形,平面PAD⊥平面PAB.(1)求证:直线MN∥平面PBC;(2)求证:平面PAD⊥平面PCD.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1A.平行 B.共面C.垂直 D.不垂直【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C12.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=QUOTE,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,则PC= ()A.QUOTE B.2QUOTE C.QUOTE D.2QUOTE【解析】选C.因为PA=PB=QUOTE,PA⊥PB,所以AB=2QUOTE,因为AB⊥BC,∠BAC=30°,所以BC=ABtan30°=2,因为平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以PC=QUOTE=QUOTE.3.如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么D在平面ABC内的射影H必在 ()A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC内部【解析】选A.在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,因为平面ABC∩平面ABD=AB,所以D在面ABC内的射影H必在直线AB上.4.(2024·合肥高一检测)如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是 ()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点【解析】选D.因为平面PAC⊥平面PBC,而平面PAC∩平面PBC=PC,又AC⊂平面PAC,且AC⊥PC,所以AC⊥平面PBC,而BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以点C在以AB为直径的圆上,所以点C的轨迹是一个圆,但是要去掉A和B两点.【误区警示】本题简单错选C.留意本题中A,B,C三点不能共线.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°.侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是 ()A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90°C.二面角P-BC-A的大小为45°D.BD⊥平面PAC【解析】选ABC.对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,则因为侧面PAD为正三角形,所以PM⊥AD,又底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,所以三角形ABD是等边三角形,所以AD⊥BM,PM∩BM=M,所以AD⊥平面PBM,故A正确;对于B,因为AD⊥平面PBM,所以AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确;对于C,因为平面PAD⊥平面ABCD,PM⊥AD,所以PM⊥平面ABCD,则∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=QUOTE,PM=QUOTE,在直角三角形PBM中,tan∠PBM=QUOTE=1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确,错误的是D.6.如图梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,则在翻折过程中,可能成立的结论的是 ()A.DF⊥BCB.BD⊥FCC.平面DBF⊥平面BFCD.平面DCF⊥平面BFC【解析】选BC.因为BC∥AD,AD与DF相交不垂直,所以BC与DF不垂直,则A错误;设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4,可使条件满意,所以B正确;当点P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以C正确;因为点D的投影不行能在FC上,所以平面DCF⊥平面BFC不成立,即D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知m,n为直线,α,β为空间的两个平面.给出下列命题:①QUOTE⇒n∥α;②QUOTE⇒m∥n;③QUOTE⇒α∥β;④QUOTE⇒m∥n.其中正确的命题为.(填序号)

【解析】对于①,会有n⊂α的状况,因此不正确;对于②,会有m,n异面的状况,因此不正确;简单验证③④都是正确的.答案:③④8.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,AB的长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为θ,则θ=.

【解析】如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.因为△PAD是等边三角形,所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,∠PBG是PB与平面ABCD所成的角θ.在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,所以∠PBG=45°,即θ=45°.答案:45°【补偿训练】(2024·赣州高一检测)已知四边形ABCD是矩形,AB=4,AD=3,沿AC将△ADC向上折起,使D为D′,且平面AD′C⊥平面ABC,F是AD′的中点,E是AC上一点,四、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2024·沈阳高一检测)如图,已知△ABC为等边三角形,△ABD为等腰直角三角形,AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,点E与点D在平面ABC的同侧,且CE∥BD,BD=2CE.点F为AD中点,连接EF.求证:平面AED⊥平面ABD.【证明】取AB的中点O,连接FO,CO,因为点F为AD中点,所以FO∥BD且FO=QUOTEBD,因为CE∥BD,BD=2CE,所以FO∥CE且FO=CE,所以四边形FOCE为平行四边形,所以CO∥EF.因为点O为AB的中点,且△ABC为等边三角形,所以CO⊥AB,又因为AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD,所以BD⊥平面ABC,所以BD⊥CO,又AB∩BD=B,所以CO⊥平面ABD,又CO∥EF,所以EF⊥平面ABD,因为EF⊂平面AED,所以平面AED⊥平面ABD.10.如图,M是半圆弧QUOTE上异于C,D的点,四边形ABCD是矩形,P为AM中点.(1)证明:MC∥平面PBD;(2)若矩形ABCD所在平面与半圆弧QUOTE所在平面垂直,证明:平面AMD⊥平面BMC.【证明】(1)连接AC,交BD于O,因为四边形ABCD是矩形,所以O是AC中点,连接OP,因为P是AM中点,所以MC∥OP,因为MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.(2)平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD,因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,所以BC⊥DM,因为M为QUOTE上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM,又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC,而DM⊂平面AMD,所以平面AMD⊥平面BMC.1.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,P是侧面BCC1B1内一点(不含边界),若平面A1B1CD⊥平面AEP,则线段AP长度的取值范围是【解析】连接BC1,依题意可得BC1⊥平面A1B1CD,故只需EP∥BC1即可,取CC1中点为F,故P在线段EF上(不含端点).AE=QUOTE=QUOTE,AF=QUOTE=3.所以线段AP长度的取值范围是(QUOTE,3).答案:(QUOTE,3)2.(2024·朝阳高一检测)如图,在四棱锥A1-BCED中,DE∥BC,A1D=BD=A1E=CE=QUOTE,O为DE的中点,2DE=BC=4.F为A1C的中点,平面A1DE⊥平面BCED.(1)求证:平面A1OB⊥平面A1OC.(2)线段OC上是否存在点G,使得OC⊥平面EFG?说明理由.【解析】(1)因为A1D=BD=A1E=CE=QUOTE,所以A1D=A1E,又O为DE的中点,所以A1O⊥DE.因为平面A1DE⊥平面BCED,且A1O⊂平面A1DE,所以A1O⊥平面BCED.所以CO⊥A1O.由于四边形BCED是一个上底为2,下底为4,腰长为QUOTE的等腰梯形,易求得OB=OC=2QUOTE.在△OBC中,BC=4,所以CO⊥BO,因为BO∩A1O=O,所以CO⊥平面A1OB,所以平面A1OB⊥平面A1OC.(2)线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.理由如下:假设线段OC上存在点G,使得OC⊥平面EFG.则必有OC⊥GF且OC⊥GE.在Rt△A1OC中,由F为A1C的中点,OC⊥GF,得G为OC的中点.在△EOC中,因为OC⊥GE.所以EO=EC.这明显与EO=1,EC=QUOTE冲突.所以线段OC上不存在点G,使得OC⊥平面EFG.【补偿训练】如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+QUOTE,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(1)求证:BC⊥平面CDE;(2)在线段AE上是否存在一点R,使得平面BDR⊥平面DCB,若存在,求出点R的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为AE⊥CD