2024-2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.2.3独立重复试验与二项分布学案含解析新人教A版选修2-31

PAGE2.2.3独立重复试验与二项分布自主预习·探新知情景引入在学校组织的高二篮球竞赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺当进入最终的决赛．在每一场竞赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率是0.4，竞赛既可以采纳三局两胜制，又可以采纳五局三胜制．假如你是甲班的一名同学．你认为采纳哪种赛制对你班更有利？新知导学1．n次独立重复试验(1)定义一般地，在相同条件下__重复地做n次试验__，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．(2)公式一般地，在n次独立重复试验中，设事务A发生的次数为X，在每次试验中事务A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事务A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝__Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)__．2．二项分布若将事务A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事务A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝__Ceq\o\al(k,n)pkqn－k__(k＝0,1,2，…，n)，于是得到X的分布列X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq0由于表中其次行恰好是二项式绽开式(q＋p)n＝Ceq\o\al(0,n)p0qn＋Ceq\o\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X听从参数为n，p的二项分布，记作__X～B(n，p)__．预习自测1．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1第n次摸取红球，,1第n次摸取白球，))假如Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为(B)A．Ceq\o\al(5,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5 B．Ceq\o\al(2,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5C．Ceq\o\al(5,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5 D．Ceq\o\al(2,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2[解析]由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为eq\f(2,3)，摸取白球的概率为eq\f(1,3)，则S7＝3的概率为Ceq\o\al(2,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5，故选B．2．(2024·全国二模)设随机变量X～B(6，eq\f(1,2))，则P(X＝3)＝__eq\f(5,16)__．[解析]∵随机变量X听从二项分布B(6，eq\f(1,2))，∴P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)(eq\f(1,2))3×(1－eq\f(1,2))3＝eq\f(5,16)．故答案为eq\f(5,16)．互动探究·攻重难互动探究解疑独立重复试验概率的求法典例1某气象站天气预报的精确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)．(1)5次预报中恰有2次精确的概率；(2)5次预报中至少有2次精确的概率；(3)5次预报中恰有2次精确，且其中第3次预报精确的概率．[思路分析]由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(精确或不精确)，符合独立重复试验模型．[解析](1)记预报一次精确为事务A，则P(A)＝0.8．5次预报相当于5次独立重复试验，2次精确的概率为P＝Ceq\o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次精确的概率约为0.05．(2)“5次预报中至少有2次精确”的对立事务为“5次预报全部不精确或只有1次精确”，其概率为P＝Ceq\o\al(0,5)×(0.2)5＋Ceq\o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.00672≈0.01．所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99．所以5次预报中至少有2次精确的概率约为0.99．(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次精确．所以概率为P＝Ceq\o\al(1,4)×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，所以恰有2次精确，且其中第3次预报精确的概率约为0.02．『规律总结』1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事务分拆为若干个事务，而这每个事务均为独立重复试验．3．在解题时，还要留意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事务来求其概率．┃┃跟踪练习1__■甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解析](1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事务A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(eq\x\to(A)1)＝1－(eq\f(2,3))3＝eq\f(19,27)．(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事务A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事务B2，则P(A2)＝Ceq\o\al(2,2)×(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9)，P(B2)＝Ceq\o\al(1,2)×(eq\f(3,4))1×(1－eq\f(3,4))＝eq\f(3,8)，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝eq\f(4,9)×eq\f(3,8)＝eq\f(1,6)．二项分布典例2在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必需且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为eq\f(1,2)．(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．[思路分析](1)设出事务，利用独立事务求概率；(2)依据求分布列的步骤写出分布列即可．[解析](1)设事务A表示“甲选做第14题”，事务B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事务为“AB∪eq\x\to(A)eq\x\to(B)”，且事务A，B相互独立．所以P(AB∪eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋(1－eq\f(1,2))×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,2)．(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.且X～B(4，eq\f(1,2))．所以P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,2))k(1－eq\f(1,2))4－k＝Ceq\o\al(k,4)(eq\f(1,2))4(k＝0,1,2,3,4)．所以变量X的分布列为：X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)『规律总结』解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必需在满意“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)推断一个随机变量是否听从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事务发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．┃┃跟踪练习2__■一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是eq\f(3,5)；②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，其次次再次取到红球的概率为eq\f(2,5)；③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为eq\f(26,27)．其中全部正确结论的序号是__①③__．[解析]①恰有一个白球的概率P＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，故①正确；②设A＝{第一次取到红球}，B＝{其次次取到红球}．则P(A)＝eq\f(2,3)，P(A∩B)＝eq\f(4×3,6×5)＝eq\f(2,5)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(3,5)，故②错；③每次取到红球的概率P＝eq\f(2,3)，所以至少有一次取到红球的概率为1－(1－eq\f(2,3))3＝eq\f(26,27)，故③正确．二项分布的应用典例3高二(1)班的一个探讨性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在肯定条件下发芽胜利的概率为eq\f(1,3)，该探讨性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽胜利的概率；(2)其次小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，假如在一次试验中种子发芽胜利就停止试验，否则将接着进行下次试验，直到种子发芽胜利为止，但试验的次数最多不超过5次．求其次小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．[解析](1)至少有3次发芽胜利，即有3次、4次、5次发芽胜利．设5次试验中种子发芽胜利的次数为随机变量X，则P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,5)×(eq\f(1,3))3×(eq\f(2,3))2＝eq\f(40,243)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,5)×(eq\f(1,3))4×eq\f(2,3)＝eq\f(10,243)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(5,5)×(eq\f(1,3))5×(eq\f(2,3))0＝eq\f(1,243)．所以至少有3次发芽胜利的概率P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝eq\f(40,243)＋eq\f(10,243)＋eq\f(1,243)＝eq\f(51,243)＝eq\f(17,81)．(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5．P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝3)＝(eq\f(2,3))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，P(ξ＝4)＝(eq\f(2,3))3×eq\f(1,3)＝eq\f(8,81)，P(ξ＝5)＝(eq\f(2,3))4×1＝eq\f(16,81)．所以ξ的分布列为：ξ12345Peq\f(1,3)eq\f(2,9)eq\f(4,27)eq\f(8,81)eq\f(16,81)『规律总结』1.二项分布的简洁应用是求n次独立重复试验中事务A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：依据题意设出随机变量→分析出随机变量听从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事务发生的概率的和，或者利用对立事务求概率．┃┃跟踪练习3__■在一次抗洪抢险中，打算用射击的方法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，其次次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是eq\f(2,3)．(1)求油罐被引爆的概率；(2)假如引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X不小于4的概率．[解析](1)油罐引爆的对立事务为油罐没有引爆，没有引爆的可能状况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事务的概率为Ceq\o\al(1,5)·eq\f(2,3)·(eq\f(1,3))4＋(eq\f(1,3))5，所以所求的概率为1－[Ceq\o\al(1,5)·eq\f(2,3)·(eq\f(1,3))4＋(eq\f(1,3))5]＝eq\f(232,243)．(2)当X＝4时记为事务A，则P(A)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(2,3)·(eq\f(1,3))2·eq\f(2,3)＝eq\f(4,27)．当X＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事务B．则P(B)＝Ceq\o\al(1,4)·eq\f(2,3)·(eq\f(1,3))3＋(eq\f(1,3))4＝eq\f(1,9)，∴射击次数不小于4的概率为eq\f(4,27)＋eq\f(1,9)＝eq\f(7,27)．学科核心素养二项分布中的概率最值问题一般地，若随机变量X听从二项分布，即X～B(n，p)，其中0<p<1，则有eq\f(PX＝k,PX＝k－1)＝eq\f(n－k＋1p,k1－p)＝1＋eq\f(n＋1p－k,k1－p)(1≤k≤n)，当且仅当k≤(n＋1)p时，P(X＝k)≥P(X＝k－1)，所以P(X＝k)在(n＋1)p的左侧严格递增，右侧严格递减，故有：(1)假如(n＋1)p>n，则当k取n时，P(X＝k)最大．(2)假如(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1和(n＋1)p时，P(X＝k)都达到最大值．(3)假如(n＋1)p是不超过n的非整数，那么当k＝[(n＋1)p]时([(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)，P(X＝k)最大．典例4某一批产品的合格率为95%，那么在取出其中的20件产品中，最有可能有几件产品合格？[思路分析]设在取出的20件产品中，合格产品有ξ件，则ξ听从二项分布，比较P(ξ＝k－1)与P(ξ＝k)的大小得出结论．[解析]设在取出的20件产品中，合格产品有ξ件，则ξ听从二项分布，即ξ～B(20,0.95)，于是恰好有k件产品合格的概率为P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,20)×0.95k×0.0520－k(0≤k≤20，k∈N)．又eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)＝eq\f(C\o\al(k,20)×0.95k×0.0520－k,C\o\al(k－1,20)×0.95k－1×0.0521－k)＝eq\f(20－k＋1×0.95,k×0.05)＝1＋eq\f(21×0.95－k,k×0.05)(1≤k≤20，k∈N)．于是当k<19.95时，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)；当k>19.95时，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)．从而可知在取出的20件产品中，最有可能有19件合格品．『规律总结』求二项分布的最值的方法：①依据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n.②利用比较法(作差或作商)比较P(ξ＝k－1)和P(ξ＝k)的大小．③令P(ξ＝k)－P(ξ＝k－1)≥0或eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)≥1，求出k的取值区间，此区间即为P(ξ＝k)的单调增区间，它的补集即为单调减区间．④结合P(ξ＝k)的单调性确定P(ξ＝k)的最大值和对应的k的值．┃┃跟踪练习4__■一款击鼓小嬉戏的规则如下：每盘嬉戏都须要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘嬉戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为eq\f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘嬉戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘嬉戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？[解析](1)X可能的取值为：10,20,100，－200．依据题意，有P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)×(eq\f(1,2))1×(1－eq\f(1,2))2＝eq\f(3,8)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(2,3)×(eq\f(1,2))2×(1－eq\f(1,2))1＝eq\f(3,8)，P(X＝100)＝Ceq\o\al(3,3)×(eq\f(1,2))3×(1－eq\f(1,2))0＝eq\f(1,8)，P(X＝－200)＝Ceq\o\al(0,3)×(eq\f(1,2))0×(1－eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8)．所以X的分布列为：X1020100－200Peq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)eq\f(1,8)(2)设“第i盘嬉戏没有出现音乐”为事务Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝eq\f(1,8)．所以，“三盘嬉戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－(eq\f(1,8))3＝1－eq\f(1,512)＝eq\f(511,512)．因此，玩三盘嬉戏至少有一盘出现音乐的概率是eq\f(511,512)．易混易错警示求独立重复试验的概率典例5在将来3天中，某气象台预报每每天气的精确率为0.8，则在将来3天中，(1)至少有2天预报精确的概率是多少？(2)至少有一个连续2天预报都精确的概率是多少？[错解](1)0.8×0.8×0.2＋0.8×0.8×0.8＝0.64，所以至少2天预报精确的概率为0.64．(2)0.8×0.8×0.2＋0.8×0.8×0.8＝0.64，所以至少有一个连续2天预报都精确的概率为0.64．[辨析]错误缘由：对“至少有2天预报精确”“至少有一个连续2天”理解有误，对题意分析不够透彻．防范措施：精确把握“恰有”“至少有”“至多有”等含义，依据题意确定事务发生的次数和事务发生的概率，再结合题中条件求解．[正解](1)至少有2天预报精确的概率为恰有2天和恰有3天预报精确的概率，即Ceq\o\al(2,3)×0.82×0.2＋Ceq\o\al(3,3)×0.83＝0.896，所以至少有2天预报精确的概率为0.896．(2)至少有一个连续2天预报都精确，即为恰有一个连续2天预报精确或3天预报精确，概率为2×0.82×0.2＋0.83＝0.768.所以至少有一个连续2天预报都精确的概率为0.768．[误区警示]审题不细是解题致误的主要缘由之一，审题时要仔细分析．弄清条件与结论，发掘一切可用信息．┃┃跟踪练习5__■(2024·吉林高二质检)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票确定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必需且只能投一张，每人投三类票中的任何一类的概率都是eq\f(1,3)，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则确定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司确定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．[解析](1)该公司确定对该项目投资的概率为P＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(1,3))2×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,3))3＝eq\f(7,27)．(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事务A003事务B102事务C111事务D012P(A)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27)，P(B)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,9)，P(C)＝Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)(eq\f(1,3))3＝eq\f(2,9)，P(D)＝Ceq\o\al(1,3)(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,9)．∵A，B，C，D互斥，∴P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝eq\f(13,27)．课堂达标·固基础1．下列随机变量X不听从二项分布的是(B)A．投掷一枚匀称的骰子5次，X表示点数为6出现的次数B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从起先射击到击中目标所须要的射击次数C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球竞赛，X表示甲获胜的次数D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数[解析]选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为eq\f(