2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.3.2.1等比数列的前n项和学案含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE5.3.2等比数列的前n项和新版课程标准学业水平要求1.探究并驾驭等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系2.能在详细问题情境中,发觉数列的等比关系,并解决相应的问题1.借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推导过程.(数学运算)2.借助教材驾驭a1,an,q,n,Sn的关系.(数学运算)3.驾驭等比数列的前n项和公式、性质及其应用.(数学运算)4.能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题,能解决数列求和等相关问题.(数学运算、数学建模)第1课时等比数列的前n项和必备学问·素养奠基等比数列的前n项和公式q=1na1q≠1a1,q,nSn=QUOTEa1,q,anSn=QUOTE对于等比数列的前n项和Sn=QUOTE=QUOTE肯定成立吗?提示:不肯定,当q=1时不成立.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=QUOTE. ()(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=QUOTE. ()(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. ()提示:(1)×.Sn=QUOTE.(2)×.Sn=QUOTE.(q≠1)(3)×.Sn=QUOTE=QUOTE.2.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为S4=3(a1+a2),所以q≠1.所以QUOTE=3a1(1+q),化为q2=2,解得q=QUOTE(负值舍去).3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=________.

【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3=QUOTE=8,即q=2,首项a1=QUOTE,则数列{an}的前n项和Sn=QUOTE=2n-1-QUOTE.答案:2n-1-QUOTE关键实力·素养形成类型一等比数列前n项和的计算【典例】1.(2024·福州高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4=2(a1+a3),且a1a3a5=512,则A.1022 B.2046 C.2048 D.42.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=________.

【思维·引】1.利用已知项的关系解出a1和q代入公式求S10.2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.【解析】1.选B.由等比数列的性质可知,a1a3a5=QUOTE=512,所以a3=8,因为a2+a4=2(a1+a3),所以QUOTE+8q=2QUOTE,整理可得,q3+q=2(1+q2),所以q=2,a1=2,S10=QUOTE=2046.2.因为S3=QUOTE=6,S6=QUOTE=54,所以QUOTE=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以QUOTE=6,解得a1=QUOTE.答案:QUOTE【内化·悟】本例2中的消元方法是什么?有什么优点?提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧(1)留意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,经常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,经常用到两式相除、整体代入的方法.【习练·破】1.(2024·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则QUOTE= ()A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得:QUOTE⇒QUOTE,所以an=a1qn-1=2n-1,Sn=QUOTE=QUOTE=2n-1,因此QUOTE=QUOTE=2-21-n.2.(2024·吉林高二检测)已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,a1=QUOTE,6QUOTE=a6,则S5=________.

【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为a1=QUOTE,6QUOTE=a6,所以6×QUOTE=QUOTEq5,解得,q=2,则S5=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加练·固】(2024·株洲高二检测)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=QUOTE,QUOTE=a6,则S4=________.

【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为a1=QUOTE,QUOTE=a6,所以QUOTE=QUOTEq5,解得,q=2,则S4=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE类型二等比数列前n项和的实际应用【典例】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不犯难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公细致算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天起先,走的路程少于30里 ()A.3 B.4 C.5 【思维·引】首先推断数列类型,其次确定数列的基本量计算.【解析】选B.此人每天走的步数构成以QUOTE为公比的等比数列,所以QUOTE=378,解得a1=192,所以an=192×QUOTE=384×QUOTE,因为384×QUOTE<30,所以2n>12.8,阅历证可得n≥4,即从第4天起先,走的路程少于30里.【内化·悟】从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示:Sn=378,q=QUOTE,n=6.【类题·通】解答数列应用问题的方法(1)推断、建立数列模型①改变“量”是同一个常数:等差数列;②改变“率”是同一个常数:等比数列.(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,列出方程(组)求解.【习练·破】(2024·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主子要求赔偿5斗粟.羊主子说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主子说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”准备按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则羊主子应偿还多少升粟A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设牛、马、羊所吃禾苗分别为a1,a2,a3,则{an}是公比为QUOTE的等比数列,所以S3=QUOTE=50,解得a1=QUOTE,所以羊主子应偿还:a3=QUOTE×QUOTE=QUOTE升粟.类型三等比数列前n项和的简洁性质角度1前n项和公式的函数特征【典例】已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则QUOTE= ()A.QUOTE B.3 C.6 D.9【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=QUOTE·3n-1,所以QUOTE=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,QUOTE=QUOTE=9;方法二:等比数列{an}满意Sn=λ·3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=λ-1,有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,则QUOTE=QUOTE=9.【素养·探】等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=________.

【解析】数列{an}是等比数列,①若q=1,明显Sn=3×2n+a,不成立.②故数列{an}的公比q≠1,所以Sn=QUOTE=-QUOTEqn+QUOTE,故q=2,QUOTE=-3,故a=-3.所以S5=3×25-3=93.答案:93角度2前n项和的性质【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9=QUOTE=QUOTE.方法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3=QUOTE=-QUOTE,所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×QUOTE=QUOTE.【类题·通】1.等比数列前n项和公式的特征数列{an}是特别数数列的等比数列⇔Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N+).即指数式的系数与常数项互为相反数,其中A=QUOTE.2.等比数列前n项和公式的性质等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.【习练·破】(2024·重庆高二检测)已知公比不为1的正项等比数列{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别为A,B,C,则 ()A.A+C>2B B.AC<B2C.AC>B2 D.A+C<2B【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q,则B=A+Aqn,C=A+Aqn+Aq2n,则AC=A2(1+qn+q2n),B2=A2(1+2qn+q2n),又q>0,故AC<B2.A+C-2B=QUOTE+QUOTE-2·QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE,当q>1时A+C>2B,当0<q<1时A+C<2B,故A,C不正确.【加练·固】一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.所以q=QUOTE=QUOTE=2.又Sn=85+170=255,据Sn=QUOTE,得QUOTE=255,所以2n=256,所以n=8.即公比q=2,项数n=8.课堂检测·素养达标1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为 ()A.1+QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.以上都不对【解析】选D.当a=1时,Sn=n.2.在等比数列{an}中a1+a2=1,a4+a5=27,则{an}的前5项和为 ()A.29 B.QUOTE C.30 D.QUOTE【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,则QUOTE,解得QUOTE,因此,数列{an}的前5项和S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.数列{2n-1}的前99项和为 ()A.2100-1 B.1-2100C.299-1 D.1-299【解析】选C.数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99=QUOTE=299-1.4.已知首项为3的等比数列{an}的前n项和为Sn,若2S2=S3+S4,则a2020的值为________.

【解析】设等比数列{an}的公比为q.因为a1=3,2S2=S3+S4,当q=1时明显不成立,故q≠1,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE,整理可得,q2+q-2=0