2025版高考数学一轮复习练案72理第七讲离散型随机变量的分布列期望与方差理练习含解析新人教版

第七讲离散型随机变量的分布列、期望与方差(理)A组基础巩固一、选择题1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，随意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的全部可能取值个数为(C)A．25 B．10C．7 D．6[解析]X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.2．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)＝(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)[解析]∵a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，∴a＝eq\f(1,2).∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．(2024·江西赣州模拟)一袋中装有5个球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取出3球，以ξ表示取出的三个球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为(C)[解析]随机变量ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10).故选C．4．(2024·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(B)A．eq\f(18,5) B．eq\f(21,5)C．4 D．eq\f(24,5)[解析]由题意知，X的全部可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(X)＝3×eq\f(1,10)＋4×eq\f(3,5)＋5×eq\f(3,10)＝eq\f(21,5).5．(2024·广东深圳二模)若x1，x2，…，xn的平均数为a，方差为b，则2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为(D)A．2a,2b B．2a,C．2a＋3,2b D．2a6．(2024·柯城区模拟)已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为E(X)，方差记为D(X)，则(B)A．E(X)＝6，D(X)>4 B．E(X)＝6，D(X)<4C．E(X)<6，D(X)>4 D．E(X)<6，D(X)<4[解析]E(X)＝eq\f(1,8)(7×6＋6)＝6，D(X)＝eq\f(1,8)[7×4＋(6－6)2]＝eq\f(7,2)<4.故选B.7．(2024·山东潍坊模拟)已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经考察一段时间，X，Y的分布列分别是X0123P0.70.10.10.1Y012P0.50.30.2据此判定(A)A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好C．甲与乙质量相同 D．无法判定[解析]E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7.由于E(Y)>E(X)，故甲比乙质量好．8．(2024·贵州遵义联考)2024年湖南等8省公布了高考改革综合方案将实行“3＋1＋2”A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,2)C\o\al(2,4))＝eq\f(1,4)，故选A．9．(2024·福建福州质检改编)一盒中有8个乒乓球，其中6个未运用过，2个已运用过．现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已运用过的球的个数为X，则下列结论正确的个数是(C)①X的全部可能取值是3,4,5②X最有可能的取值是5③X等于3的概率为eq\f(3,28)④X的数学期望是eq\f(17,4)A．1 B．2C．3 D．4[解析]记未运用过的乒乓球为A，已运用过的为B，任取3个球的全部可能是：1A2B,2A1B,A运用后成为B，故X的全部可能取值是3,4,5；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(6,56)＝eq\f(3,28)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(30,56)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(0,2),C\o\al(3,8))＝eq\f(20,56)，∴X最有可能的取值是4，E(X)＝3×eq\f(3,28)＋4×eq\f(30,56)＋5×eq\f(20,56)＝eq\f(17,4).∴①③④正确，故选C．10．(2024·决胜高考名校沟通卷)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(a,k＋1)(k＝1,2,5)，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论不正确的是(D)A．P(0<ξ<3.5)＝eq\f(5,6) B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2 D．D(3ξ＋1)＝6[解析]由分布列的性质可知，P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝5)＝eq\f(a,2)＋eq\f(a,3)＋eq\f(a,6)＝1，解得a＝1，所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,6)，A选项正确；E(ξ)＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,6)＝2，所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，B选项正确；D(ξ)＝eq\f(1,2)×(1－2)2＋eq\f(1,3)×(2－2)2＋eq\f(1,6)×(5－2)2＝2，所以D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故C选项正确，D选项不正确．故选D.二、填空题11．(2024·吉林质检)设随机变量ξ的概率分布列为ξ012Peq\f(p,3)eq\f(p,3)1－eq\f(2,3)p则ξ的数学期望的最小值是eq\f(1,2).[解析]E(ξ)＝0×eq\f(p,3)＋1×eq\f(p,3)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2p,3)))＝2－p，又∵1>eq\f(p,3)≥0,1≥1－eq\f(2,3)p≥0，∴0≤p≤eq\f(3,2).∴当p＝eq\f(3,2)时，E(ξ)的值最小，E(ξ)＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).12．(2024·南宁二模改编)设随机变量X的概率分布列为X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则P(|X－3|＝1)＝eq\f(5,12).[解析]∵eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，∴m＝eq\f(1,4)，∴P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).13．(2024·泉州模拟)在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，登记它的颜色，然后放回，再取一球，又登记它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为.[解析]η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)14.袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数ξ的数学期望为eq\f(3,2).[解析]由题意得ξ的全部可能值为1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),C\o\al(1,5))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4))＝eq\f(3,10)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3))＝eq\f(1,10)，∴E(ξ)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).三、解答题15．(2024·广东惠州调研)教化部《关于进一步加强学校体育工作的若干看法》中指出：提高学生的体质健康水平应作为落实教化规划纲要和办好人民满足教化的重要任务．惠州市多所中小学校响应教化部的号召，增设了多项体育课程．为了解全市中小学生在排球和足球这两项体育运动的参与状况，在全市中小学校中随机抽取了10所学校(记为A、B、C、……、J)10所学校的参与人数统计图如下：(1)若从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与足球运动人数都超过40人的概率；(2)现有一名排球教练在这10所学校中随机选取3所学校进行指导，记X为教练选中参与排球人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望．[解析](1)参与足球人数超过40人的学校共4所，记“选出的两所学校参与足球人数都超过40人”为事务S，从这10所学校中随机选取2所学校，可得基本领件总数为Ceq\o\al(2,10).随机选择2所学校共Ceq\o\al(2,4)＝6种，所以P(S)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(\f(4×3,2),\f(10×9,2))＝eq\f(2,15)，所以选出的两所学校参与足球人数都超过40人的概率为eq\f(2,15).(2)参与排球人数在30人以上的学校共4所，X的全部可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)·C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·C\o\al(0,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30).X的分布列为：X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).16．(2024·重庆巴蜀中学月考)为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将实行“歌颂祖国，喜迎国庆”歌咏竞赛活动，《歌颂祖国》《精忠报国》《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班就是否选择《精忠报国》作为本班参赛歌曲进行投票表决，投票状况如下表.小组12345678赞成人数45665643总人数77887766(1)若从第1组和第8组的同学中各随机选取两人进行调查，求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率；(2)若从第五组和第七组的同学中各随机选取2人进行调查，选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析](1)P1＝1－eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(27,35).(2)各小组人员状况：小组12345678赞成人数45665643不赞成人数32222123总人数77887766X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,4),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,21)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,5)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5)C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(32,105)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,5)C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(2,35)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,2),C\o\al(2,7)C\o\al(2,6))＝eq\f(1,315)，随机变量X的分布列为X01234Peq\f(4,21)eq\f(4,9)eq\f(32,105)eq\f(2,35)eq\f(1,315)E(X)＝0＋eq\f(4,9)＋2×eq\f(32,105)＋3×eq\f(2,35)＋4×eq\f(1,315)＝eq\f(26,21).B组实力提升1．(2024·河北“五个一名校联盟”联考)在一组样本数据中，1,4，m，n出现的频率分别为0.1,0.1,0.4,0.4，且样本平均值为2.5，则m＋n＝(A)A．5 B．6C．7 D．8[解析]由题意知0.1×1＋0.1×4＋0.4m＋0.4n＝2.5，可得m＋n2．(2024·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：ξ012Pabc其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(B)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)[解析]由题意知a，b，c∈[0,1]，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq\f(1,3)，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝eq\f(1,3).3．(2024·广西柳州模拟)下图为四组样本数据的条形图，则对应样本的标准差最大的是(D)[解析]由图可知D中数据最离散，故选D.4．设离散型随机变量X的分布列为X－10123P0.20.10.10.3m则|X－1|的分布列为.[解析]∵0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3，|X－1|的取值为0,1,2，P(|X－1|＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(|X－1|＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.4，P(|X－1|＝2)＝P(X＝－1)＋P(X＝3)＝0.5，∴|X－1|的分布列为|X－1|012P0.10.40.55.(2024·湖北随州调研)某高校为了调查该校学生性别与身高的关系，对该校1000名学生根据101的比例进行抽样调查，得到身高频数分布表如下：男生身高频数分布表男生身高(单位：厘米)[160，165)[165，170)[170，175)[175，180)[180，185)[185，190]频数710191842女生身高频数分布表女生身高(单位：厘米)[150，155)[155，160)[160，