《导数的应用》解题技巧

导数的应用知识目标：1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值；2．利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。能力目标：1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；

2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。思想目标：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯重点导析：一、曲线的切线及函数的单调性

为减函数。1.设函数在某个区间内可导，若，则在该区间上是增函数；若，则③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各个小开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个小开区间内的增减性。2.求可导函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数

的定义域区间；

②求

，令＝０，解此方程，求出它在定义域区间内的一切实根；题型一：利用导数求切线斜率、瞬时速度

解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数.例1求垂直于直线，且与曲线相切的直线方程.如图题型二：求函数的单调区间.

分析：确定函数的单调区间,即在其定义域区间内确定其导数为正值与负值的区间.例2试确定函数的单调区间.如图二、可导函数的极值

1.极值的概念：设函数在点附近有定义，且对附近的所有的点都有（或则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点。①求导数②求方程＝０的根；2.求可导函数极值的步骤：③检验在方程＝０如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数的根的左、右的符号，在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极大值.题型三：求函数的极值与最值分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步骤来求.但要注意极值点与导数之间的关系（极值点为的根）.例3设函数在或处有极值且.求并求其极值.如图三、函数的最大值与最小值1.设是定义在区间[a，b]上的函数，在（a，b）内有导数，求函数在[a，b]上的最大值与最小值，可分两步进行：①求在（a，b）内的极值；②将在各极值点的极值与比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.若函数在[a，b]上单调递增，则为函数的的最小值，为函数的最大值；若函数在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，最小值.为函数的例４函数在[0，3]上的最值.５-155y＋0－Y’3(2,3)2(0,2)0X题型四：利用求导证明不等式

例５当时，证明分析：运用函数与方程的思想，可将不等式的证明转化为证明函数在上为增函数，而增函数的证明又可转化为证明题型五：利用求导解应用题

例６如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东100km处开始骑自行车以每小时20km的速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时10km的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时间甲、乙相距最近？BA乙甲如图难点突破：1.关于单调性的定义,条件是充分非必要的.若在（a，b）内，（或），（其中有有限个x使），则在（a，b）内仍是增函数（或减函数）。如：，有（其中），但在（-∞,+∞）内递增；

2.注意严格区分极值和最值的概念.

极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论