第1章均匀传输线理论

1.1均匀传输线方程及其解1.2传输参量与工作状态1.3史密斯圆图及其应用1.4阻抗匹配习题第1章均匀传输线理论一般将截面尺寸、形状、媒质分布、材料及边界条件均不变的导波系统。均匀传输线：又称为规则导波系统，(a)均匀平行双导线系统;(b)均匀平行双导线的等效电路;(c)有耗传输线的等效电路;(d)无耗传输线的等效电路

1.1均匀传输线方程及其解1.均匀传输线方程，也称电报方程：

=Ri(z,t)=Gu(z,t)(1-1-3)式中,Z=R+jωL,Y=G+jωC,分别称为传输线单位长串联阻抗和单位长并联导纳。(1-1-5)对于时谐场，传输线方程为：2.均匀传输线方程的解

将式（1-1-5）第1式两边微分并将第2式代入,得传输线波动方程：其中，γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC)其中，电压的通解为：

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1e+γz+A2e–γz

(1-1-7a)式中,A1,A2为待定系数,由边界条件确定。

电压、电流通解(1-1-7b）由电报方程可得，电流的通解为：其中，令γ=α+jβ,瞬时值表达式为

(1-1-8)

边界条件：当z=0时，U(0)=Ul、I(0)=Il

可得:Ul=A1+A2

I

l=(A1-A2)(1-1-9)由此解得

A1=(Ul+IlZ0)

A2=(Ul-IlZ0)(1-1-10)传输线方程特解（一）①已知终端电压Ul和终端电流Ilz0UlIl

可见,只要已知终端负载电压Ul、电流Il及传输线特性参数γ

、Z0,则传输线上任意一点的电压和电流就可由式（1-1-12）求得。将上式代入式（1-1-7），则有

U(z)=Ulchγz+I1Z0

shγz

I(z)=I1

chγz+shγz写成矩阵形式为U(z)I(z)=chγzZ0shγz

shγzchγzU1

I1

(1-1-11)(1-1-12)

边界条件：当z=L时，U(L)=Ui、I(L)=Ii

可得:传输线方程特解（二）②已知始端电压Ui和始端电流Iiz0L3传输线的工作特性参数

1)特性阻抗Z0

将传输线上导行波的电压与电流之比定义为传输线的特性阻抗,用Z0来表示,其倒数称为特性导纳,用Y0来表示。由定义得

由式（1-1-6）及（1-1-7）得特性阻抗的一般表达式为(1-1-13)与频率有关R=G=0,传输线的特性阻抗为

特性阻抗Z0为实数,且与频率无关。(1-1-14)(1-1-15)

即满足R<<ωL、G<<ωC时，有均匀无耗传输线小损耗传输线特性阻抗近似为实数直径为d、间距为D,其特性阻抗为

式中,εr为导线周围填充介质的相对介电常数。常用的平行双导线传输线的特性阻抗有250Ω,400Ω和600Ω三种。(1-1-16)平行双导线传输线内、外导体半径分别为a、b,其特性阻抗为(1-1-17)式中,εr为同轴线内、外导体间填充介质的相对介电常数。常用的同轴线的特性阻抗有50Ω和75Ω两种。无耗同轴线2)传播常数

γ

传播常数γ是描述传输线上导行波沿导波系统传播过程中衰减和相移的参数(1-1-18)α为衰减常数,单位：dB/m(或Np/m,1Np/m=8.86dB/m，奈培);β为相移常数,单位：rad/m。无耗传输线：R=G=0,则α=0,此时γ=jβ,β=ω

。小损耗传输线,即满足R<<ωL、G<<ωC时,有

于是小损耗传输线的衰减常数α和相移常数β分别为(1-1-19)

α=(RY0+GZ0)

β=ω

(1-1-20)3)相速υp与波长λ

相速定义为电压、电流入射波（或反射波）等相位面沿传输方向的传播速度,用υp来表示。等相位面的运动方程为

ωt±βz=const（常数）两边对t微分，有(1-1-21)波长λ：与自由空间的波长λ0有以下关系:

无色散波:对于均匀无耗传输线来说,由于β与ω成线性关系,故导行波的相速与频率无关。色散特性:当传输线有损耗时,β不再与ω成线性关系,使相速υp与频率ω有关。

在微波技术中,常可把传输线看作是无损耗的,因此,下面着重介绍均匀无耗传输线。(1-1-22)传输参量

反射系数、输入阻抗工作状态

行波、驻波、行驻波1.2传输参量与工作状态传输参量

1.反射系数

某点反射系数定义：传输线上该点的反射波电压与入射波电压之比。无耗时传输线上电压电流为：当z=0时Z0oz令为终端反射系数传输参量2.输入阻抗

其中归一化输入阻抗无耗传输线上相距λ/2处的两点阻抗相同。无耗线的输入阻抗特性：1、λ/2重复性2、λ/4变换性任意相距为λ/4的两点的输入阻抗乘积为常数。

［例1-1］一根特性阻抗为50Ω、长度为0.1875m的无耗均匀传输线,其工作频率为200MHz,终端接有负载Zl=40+j30(Ω),试求其输入阻抗。解:由工作频率f=200MHz，得波长λ=c/f=1.5m

相移常数β=2πf/c=4π/3。将Zl=40+j30(Ω),Z0=50,z=l=0.1875及β值代入式输入阻抗，有3.沿线电压电流的反射系数表示

U(z)=U+(z)+U-(z)=A1ejβz［1+Γ(z)］

I(z)=I+(z)+I-(z)=e

jβz［1-Γ(z)］+定义为：传输线上波腹点电压振幅与波节点电压振幅之比为电压驻波比,用ρ表示：(1-2-11)

4.驻波比ρ——描述传输线上驻波的大小|U|max=|U+|+|U-||U|min=|U+|-|U-|其中，电压最大值位于入射波和反射波相位相同处,而最小值位于入射波和反射波相位相反处

驻波比与反射系数关系(1-2-14)(1-2-15)工作状态反射系数|Γl|驻波比ρ行波01驻波1∞行驻波(0~1)(1~∞)

[例1-2］一根75Ω均匀无耗传输线,终端接有负载Zl=Rl+jXl,欲使线上电压驻波比为3,则负载的实部Rl和虚部Xl应满足什么关系？

解:由驻波比ρ=3,可得终端反射系数的模值应为于是由式（1-2-10）得

将Zl=Rl+jXl,Z0=75代入上式,整理得负载的实部Rl和虚部Xl应满足的关系式为(Rl-125)2+X21=1002即负载的实部Rl和虚部Xl应在圆心为（125,0）、半径为100的圆上,上半圆对应负载为感抗,而下半圆对应负载为容抗。传输线工作状态传输线工作状态取决于线路终端所接的负载1、行波状态——无反射——阻抗匹配2、驻波状态——全反射——开路、短路、纯电抗3、行驻波状态——else行波动态图驻波示意图行驻波示意图行波状态条件：无耗线特点：z2.驻波状态条件：终端反射系数|ΓL|=1，具体情形：3.纯电抗（ZL=jX）|ΓL|=11.短路（ZL=0

）,ΓL=-1,Zin(z)=jZ0tanβz2.开路（ZL→∞

）,ΓL=1,特点终端负载短路时,即ZL=0,Γl=-1,ρ→∞,传输线上任意点z处的反射系数为:Γ(z)=-ej2βz(1-3-4)瞬时表达式为:Zin(z)=jZ0tanβz传输线上任意一点z处的输入阻抗为:图1-3终端短路线中的纯驻波状态沿线各点电压和电流振幅按余弦变化,电压和电流相位差90°,功率为无功功率,即无能量传输;电压波节点:在z=nλ/2(n=0,1,2,…),电流的振幅值最大且等于2|A1|/Z0,

电压波腹点:在z=(2n+1)λ/4(n=0,1,2,…)处电压的振幅值最大且等于2|A1|,而电流为零。传输线上各点阻抗为纯电抗,在电压波节点处Zin=0,相当于串联谐振,在电压波腹点处|Zin|→∞,相当于并联谐振,在0＜z＜λ/4内,Zin=jX相当于一个纯电感,在λ/4＜z＜λ/2内,Zin=-jX相当于一个纯电容，从终端起每隔λ/4阻抗性质就变换一次。12图1-4无耗终端开路线的驻波特性图1-5终端接电抗时驻波分布

设终端负载为Zl=Rl±jXl,则终端反射系数为

式中:|Γl|=传输线上各点电压、电流的时谐表达式为：

U(z)=A1e

jβz

[1+Γle

-j2βz]

I(z)=ejβz[1-Γle-j2βz](1-3-9)(1-3-10)

——3.行驻波状态图1-6给出了行驻波条件下传输线上电压、电流的分布。则传输线上电压、电流的模值为

|U(z)|=|A1|[1+|Γl|2+2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2

|I(z)|=[1+|Γl|2-2|Γl|cos(φl-2βz)]1/2

传输线上任意点输入阻抗为复数,其表达式为(1-3-11)(1-3-12)图1-6行驻波条件下传输线上电压、电流的分布

(n=0,1,2,…)相应该处的电压、电流分别为

|U|max=|A1|［1+|Γl|］

|I|min=［1-|Γl|］则电压波腹点阻抗为纯电阻,其值为

Rmax=Z0(1-3-14)(1-3-13)讨论:①电压的波腹点：当cos(φl-2βz)=1时,电压幅度最大,而电流幅度最小,对应位置为相应的电压、电流分别为

|U|min=|A1|［1-|Γl|］

|I|max=［1+|Γl|］

波节点的阻抗也为纯电阻,其值为

Rmin=(1-3-16)(1-3-15)②电压的波节点:当cos(φl-2βz)=-1时,电压幅度最小,而电流幅度最大,对应位置为(n=0,1,2,…)

［例1-3］设有一无耗传输线,终端接有负载Zl=40-j30(Ω):①要使传输线上驻波比最小,则该传输线的特性阻抗应取多少？②此时最小的反射系数及驻波比各为多少？③离终端最近的波节点位置在何处？④画出特性阻抗与驻波比的关系曲线。解:①要使线上驻波比最小,实质上只要使终端反射系数的模值最小,即而由式（1-2-10）得

将上式对Z0求导,并令其为零,经整理可得

402+302-Z02=0

即Z0=50Ω。这就是说,当特性阻抗Z0=50Ω时终端反射系数最小,从而驻波比也为最小。③由于终端为容性负载,故离终端的第一个电压波节点位置为④终端负载一定时,传输线特性阻抗与驻波系数的关系曲线如图1-7所示。其中负载阻抗Zl=40-j30(Ω)。由图可见，当Z0=50Ω时驻波比最小,与前面的计算相吻合。②此时终端反射系数及驻波比分别为图1-7特性阻抗与驻波系数的关系曲线应用1、沿线电压分布规律与各参数关系1）电压波腹（节）点位置——2）电压最大值和最小值——驻波比3）求反射系数例，如图所示传输线电压分布，传输线特性阻抗为400欧，求系统的工作频率和终端负载。Z0oz10.55cm102.5应用2.多级传输线相连时各点处的输入阻抗计算解题思路：（1）输入阻抗，从负载处开始计算一级一级往源端等效

（2）沿线电压电流分布情况：从源端开始一级一级向负载分析1.3史密斯圆图及其应用

1.阻抗圆图由公式(1-2-8)传输线上任意一点的反射函数Γ(z)可表达为

（1-6-1）

其中， 为归一化输入阻抗。对于无耗线，有

（1-6-2）

当将Γ(z)表示成直角坐标形式时，有

传输线上任意一点归一化阻抗为：

其中由上述阻抗圆图的构成可以知道：①上半圆内电抗x＞0呈感性，下半圆内电抗x＜0呈容性。②实轴为纯电阻点，左半轴上的点为电压波节点，右半轴上的点为电压波腹点，③

圆图旋转一周为λ/2。

④|Γ|=1的圆周上的点代表纯电抗点。实轴左端点为短路点，右端点为开路点，⑤中心点处，是匹配点。⑥在传输线上由负载向电源方向移动时，在圆图上应顺时针旋转；反之，由电源向负载方向移动时，应逆时针旋转。

图

1-20阻抗圆图上的重要点、线、面

图1-17反射系数圆图

图1-16反射系数极坐标表示

——圆图应用B?D

2．导纳圆图根据归一化导纳与反射系数之间的关系可以画出另一张圆图，称作导纳圆图。实际上，由无耗传输线的的阻抗变换特性，将整个阻抗圆图旋转即得到导纳圆图。因此，一张圆图理解为阻抗圆图还是理解为导纳圆图，视具体解决问题方便而定。比如，处理并联情况时用导纳圆图较为方便，而处理沿线变化的阻抗问题时使用阻抗圆图较为方便。现在来说明阻抗圆图如何变为导纳圆图。

由归一化阻抗和导纳的表达式

(1-6-6)(1-6-7)式（1-6-7）中，g是归一化电导，b是归一化电纳。将归一化阻抗表示式中的，则

，也就是，阻抗圆图变为导纳圆图。由于，所以让反射系数圆在圆图上旋转180

，本来在阻抗圆图上位于A点的归一化阻抗，经过变换，则A点移到B点，B点代表归一化导纳在导纳圆图上的位置如图1-19所示。

由于，即当x=0时g=1/r，当r=0时b=1/x，阻抗圆图与导纳圆图的关系：当实施Γ→-Γ变换后，匹配点不变，r=1的电阻圆变为g=1的电导圆，纯电阻线变为纯电导线；x=±1的电抗圆弧变为b=±1的电纳圆弧，开路点变为短路点，短路点变为开路点；上半圆内的电纳b＞0呈容性；下半圆内的电纳b＜0呈感性。

阻抗圆图上阻抗点对应为关于圆心180度对称的导纳点！！图

1-21导纳圆图上的重要点、

线、

面

1.4阻抗匹配1、2、3、方法一：串接传输线与阻抗变换器方法二：负载并接短路线方法一例例：雷达使用的天线初级馈源，负载为，同轴馈线特性阻抗为50欧，用阻抗变换器进行调配，如图所示。求阻抗变换器的特性阻抗

与离终端的距离L。解：1.负载归一化：位于圆图P点2.画等反射系数圆；3.找纯电阻点：A点（电压波节点）

与B点（电压波腹点）4.读出阻抗值和旋转过的距离PAB短路点开路单支节并联短路线，实现步骤：［例1-8］设负载阻抗为Zl=100+j50Ω接入特性阻抗为Z0=50Ω的