考研数学三线性方程组

考研数学三线性方程组

1.【单项选择题】

已知A=[a],如必‘费」是4阶矩阵,牛=(3,1,-2,2)二生=(0.-1.2.1)T是

Ax=0的基础解系，则下列命题中正确的一共有

①6一定可由线性表示.

②小是A列向量的极大线性无关组.

③秩厂(a1，q+a：.a3—a,)=2.

④如，见是A列向量的极大线性无关组.

A.4个.

B.3个.

C.2个.

D.1个.

正确答案：A

参考解析：由小,”是Ar°的基础解系•知n—r(A)=2.

有r(a..a2,a.«)=r(A)=2.

又Ajj]=0泊小=0,有

:3。|+a?-2缺+24=0,(1)

I一见+23+a；=0.(2)

⑴+(2)得/=一4，

代人(1)得w+a2-2%=0,(3)

故①正确.

如如，a线性相关,不妨设a,=Mb，由(3)有a：=(2-k)a.

那么r(a1.a：.a.at)=r(板：，(2-公aa•—ka)H2.矛盾.

从而a.a必线性无关，②正确.类似知@正确.

至于③(0，①+a：，a-a.)-►(ai.a2-a).

2.【单项选择题】设方程组人*点有皿个方程，n个未知数且mWn,则正确命

题是

A.若Ax=O只有零解，则Ax=b有唯一解.

B.若Ax=O有非零解，则Ax=b有无穷多解.

C.若Ax=b有无穷多解，则Ax=O仅有零解.

D.若Ax=b有无穷多解，则Ax=O有非零解.

正确答案：D

参考解析：A是mXn矩阵.

Ax=0只有零解Qr(A)=n

Ax-b有唯一解㈡r(A)=r(A,b)=n

那么当r(A)=〃时，能否保证r(A,b)=〃?若A是”阶矩阵，结论肯定正％现在A是加XR

矩阵且川/比考查下面的例子：

11+1?=0jJT|+笈=1I©+1?=1

<X)-x2=0,<J)—x2=2,<i]-4=3

.211+212=0.2©+2图=3[2JI+2X2=2

显然Ax=0只有零解.但阻=b可能无解也可能有唯一解,所以(A)不正确.

类似地，依=0有非零解㈡r(A)O.

r(A)<n=kr(A)=r(A,b)<n

例如

；Ji+1：+.r,i=0(©+此+乃=I|Zi+.r：+J3=I

|2XI4-2X2+2X}=0*I2T1+2JJ+2J'J=3’1211+2]1+2/=2

当阻=0有非零解时,Ax6可能无解,也可能有无穷多个解，所以(B)不正确.

方程组公=b有无穷多个解㈡r(A)=r(A,b)O,因r(A)<〃,故耻=()必有非零解，

即⑴)正确.

复习数学要注意学习举反例.

3.【单项选择题】已知5,n2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，€

“一是对应齐次线性方程组Ax=O的基础解系，L,kz为任意常数，则Ax=b的

通解为().

A.氐察一6(之一金)十归/

B瓦多•无鳍以)+^^型

「kJ,卜5F)，"

1/・

D防言‘k5一小)+"L尹?’

正确答案：B

参考解析：人X乳的通解为Ax=O的通解加上Ax=b的一个特解，根据非齐次和齐

次线性方程组解的性质与结构，知

7电）=0十Am）=b.

\LtfM\itI

即:（即一小）是舐=o的解,故排除AC

因不能判定小一小是否与卜线性无关，所以不能选D.

事实上，由:（巾+冰）是独=b的解.且:与自一《.线性无关，所以&十一或是

版=0的基础解系,故B正确.

4.【单项选择题】设A是行阶矩阵，对方程组（I）Ax=O和（IDA'AxR,必有

（）.

A.（II）的解是（I）的解，（1）的解也是（11）的解

B.（H）的解是（I）的解，但（I）的解不是（H）的解

C.（1）的解不是（11）的解，（II）的解也不是（I）的解

D.（I）的解是（II）的解，但（II）的解不是（I）的解

正确答案：A

参考解析：由Ax=O,得A,AX=AT（AX）=O,故Ax=O的解是A『Ax=O的解.

反之,若x是ATAX=O的解，令Ax=b,则bT=（Ax）T=XTAT,从而brb=xTATAx=O.

于是b的各分量的平方和为0,故b=0,从而Ax=0,因此ATAx=0的解是Ax=0的

解.

5.【单项选择题】设A是n阶矩阵，若对任意的n维列向量a,有A*a=0,

则Ax=0的基础解系所含解向量的个数k满足（）.

A.k=0

B.k=l

C.k>l

D.k=n

正确答案：c

参考解析：9程组解的判别，关键是讨论其秩.由已知，对任意n维列向量

a,有A*a=0,故A*a=0的基础解系有n个，即n-r（A*）=n,故r（A*）=0,由

r（A）与r（A*）的关系，知r（A）〈nT,所以Ax=0有k=n-r（A）>n-（nT）=l个基础

解系，故C正确.

6.【单项选择题】

+>!?+/，3=0，

设方程组，©+入=+4=0.的系数矩阵为A,若存在3阶矩阵3RO,使得

IX）+4+如=0

AB=O,则必有（）.

A.入=-2且|B|二0

B.入=-2且|B|WO

C.入=1且|B|二0

D.入=1且|B|WO

正确答案：C

参考解析：由AB=O,知B的每一个列向量都是Ax=O的解.

lA1A2

又B¥0.知Ax=0有非零解，从而A=1A1=（入-1）?=0,所以；1=1.

|11A

又若IB|¥0,1B可逆，故ABB।=A=0,与矛盾,所以IBI=0.

2力—8.门+4=仇，

设方程组J乃一212+工3=8，有解•则().

7.【单项选择题】2.r--3J-b

A.当k#-5时-，(b,,b2,b>为任意非零列向量

B.当k=-5时,(b„b2,bJT为任意列向量

C.当k=-5时，bi+b3=4b2

D.当kW-5时，bi+b3=4b2

正确答案：C

对增广矩阵无作初等行变换，

[2-31：6,][1-21；b2

01-11仇一2"

A=1-21：h2

I。G+41"一28

参考解析：[2k3：

1-21；仇

—►01—1：b\—2b2

0A+50瓦+优一4b2

由方程组有解,知r（A）=r（不.

当k声一5时，对任意向量b=("也也)，.有r(A)=r(A)=3；

当k=-5时,r(A)=2,当4+人一4bz=0,即8+8=4>时,r(A)=2.

8.【单项选择题】设矩阵A-,Bnx4lj().

A.当m>n时一，AB必可逆

B.当m>n时，必有|AB|=0

C.当n>m/时,必有r(AB)〈m

D.当n>m时，ABx=0必有唯一解

正确答案：B

参考解析：对选项B,由r(AB)Wr(A)Wn〈m,而AB为mXm矩阵，故必有

|AB|=0.

9.【单项选择题】设A是n阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的

解，贝k).

A.A*x=0的解均是Ax=0的解

B.Ax=0的解均是A*x=0的解

C.Ax=0与A*x=0无非零公共解

D.Ax=O与A*x=O恰好由一个非零解构成公共基础解系

正确答案：B

参考解析：

由舱=0有两个线性无关解=>w-r(A)，2=>NA)<〃-2=>A中〃1阶子式

A=。

全王为o川=>A"=0=>A*=0=>#*=0*有〃-5)=〃个.基础,解..

又AT=.4\4=|A|£：=()及心=0。/版=(),即阻=0的解均是11=0的

解,故选B.显然可排除A.

由于阻0与m=().当/■(1))《「(4)+「(/，)<〃时,].=0有非零解，即如=()

与法=0有非零公共解.又

A4-=0=>r(A)+r(A,)<«.

故当r(A)+rGT)<一时加=0与A，x=0有非零公共解，故排除C.

而独=0与A7=0恰好由一个非零解构成公共基础解系,需条件

故排除D.

10.【单项选择题】设A是mXn矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解

的充分必要条件是().

A.r(A|b)<n

B.Ax=O有非零解

C.Ax=b有两个不同解

D.A的列向量组线性相关

正确答案：C

参考解析：

Ax=b有无穷多解«r(A)=r(A：b)<n.

对于A：由r(A;b)<n^>r(A)=r(A：b),故排除A.

对于B：Ax=0有非零解声阻=b有无穷多脑.因为阻=0有非零解㈡r(A)O,但

可能r(A)Rr(A：b),即皿=6可能无解.

对于C：设h=b有两个不同解心皿,则明一。是阻=0的非零解nr(A)O,且

Ax=b有解,即r(A)=r(A2)O,故阻=b有无穷多解,而阻=b有无穷多解时，有

定有两个不同解，故C正确.

对于D：A的列向量组线性相关GU=()有非零解,这是结论，见；(李林考研数学系列线

性代数辅导讲义;第三章.而加=()有非零解力阻=%有无穷多解(可能无解).

T

11.【单项选择题】浚A，=(a1,a2,­••,aC是nx(nT)矩阵，r(A)=n-l,

Bi,M是与a”a2,…，an—都正交的两个不同的n维列向量，是是任意常

数，则方程组Ax=0的通解为().

A.k(B「B2)

B.k(P1+P2)

C.k3

D.kP2

正确答案：A

参考解析：由已知，r(A)=r(AT)=n-l,Ax=O的基础解系有n-r(A)=l个向量.

因为4M与a,-ai都正交,所以a，f=0,a;R=0,i=12…“l1.从而

O,

0

.邛,j—1,2,

fl10

由此可知，力是如0的两个不同解.故人”月)是心。的通解.

由于PJ可能是零向最故排除C.D；由于同4(也可能是零向世,故排除B.

n,J—=：的基础解系是

MH小,齐次线性方程组

12.【单项选择题】©+4-r4=0

A.(-2,2,1,0)T,(1,2,0,1)T.

B.(-1,0,1,1)T,(2,0,-2,-2)T.

C.(-2,2,1,0)T,(2,2,-3,-4)T.

D.(1,-2,0,

正确答案：C

参考解析：【分析】齐次方程组Ax=O的基础解系有3层含义：(1)齐次方程组

的解；(2)线性无关；(3)解向量个数为n-r(A).

本题(B)中两个向量线性相关，肯定不是基础解系，要排除.易见本题秩

r(A)=2,那么，n-r(A)=4-2=2,即解向量个数应为2,故要排除(D).至于(A)和

(C)必有一个正确，因此(-2,2,1,0尸肯定是解.那么(1,2,0,1厂与(2,

2,-3,-4尸中必有一个不是解，故要从解的角度来分析判断.将(A)中的(1,

2,0,1)「代入方程，知不是方程组的解，故去除(A),(或将(C)的(2,2,-3,

-4)「代入方程，满足方程知)所以要选(C).

13.1单项选择题】已知a1=(1,1,-1)T,a2=(1,2,0)，是齐次方程组AX=O

的基础解系，那么下列向量中Ax=O的解向量是

13\

X7

A.1\

X7T

BC.2,-3

2»\

2,-657

2,\

D.-案71

•B

参考解析：

如果(A)是以0的解，则(D)必是阻。的解.因此(AMD)均不是舐0

的解.

由于a,a是心()的基础解系，那么a可表示，心。的任何一个解中亦即方程

可见第2个方程组无解，即(2,2,-5)T不能由a.,a线性表示，故(C)不成立,应选(B).

14.【单项选择题】要使a1=(2,1,1)T,a2=d,-2,-1尸都是齐次线性方程

组Ax=O的解，只要系数矩阵A为

-211'

A._1—2—1.

"13-5"

B.L-1-35

-1-42、

C.L12-1-,

■1-3r

D.L2-62」，

正确答案：B

参考解析：因为a”a2线性无关，所以Ax=O至少有两个线性无关的解，故n-

r(A)22,即r(A)>3-2=1,因此排除(A)(C).

对于(B)和(D),因为a2不是方程组(D)的解,因此排除(D).

15.【单项选择题】设向量组a”a2,a3为方程组AX=O的一个基础解系，下

列向量组中也是方程组AX=O的基础解系的是().

A.ai+ci2,a2+a3,a3-a!

B.a]+a2,a2+a3,aj+2a2+a3

C.a,+2a2,2a2+3a3,3a3+a1

D.a1+a2+a3,2a^3a2+2a3,3a^5a2-5a3

正确答案：C

参考解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=O的解向

量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C).

16.【单项选择题】设A为mXn阶矩阵，且r(A)=m〈n,则().

A.A的任意m个列向量都线性无关

B.A的任意m阶子式都不等于零

C.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解

D.矩阵A通过初等行变换一定可以化为(E,』0)

正确答案：c

参考解析：【解】

显然由r(A)=〃iO,得r(A)=r(A)="i，所以方程组AX-b有无穷多个解.

ii(C).

17.【填空题】已知A是三阶实对称矩阵，入尸1和入2=2是A的2个特征值，

对应的特征向量分别是ak(1,a,-1尸和a2=(1,4,5)1.若矩阵A不可逆，则

Ax=O的通解是.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：-3,—2・1)二々GR

【解析】

A是实对称矩阵，a।和a2是不同特征值的特征向量，相互正交，则

ala：=1+4a-5=0.得a=1.

由矩阵A不可逆，知|A|=0,故;1=0是A的特征值.

设。=(©,工2，工3厂是4=0的特征向此于是

aa,=j|+—一13=0,

aa：=Ji+4.+5-=0,

得基础解系从而阻=0的通解为£R

'1•

注意=0a=0,即4=0的特征向业就是Ar=0的解,又A〜2=A.有r(A)=

.0.

r(A)=2»n-r(A)=3-2=1,从而a是Ar=0的基础解系.

18.【填空题】

Xi+212+4=3«

设方程组<2xi+(A+4M—5]3=6,有无穷多解•则k=___.

I1112卜工3

请查看答案解前后媒本题进行判断:‘答对了答错了

正确答案：

参考解析：T或。

【解析】

对非齐次线性方程组的增广矩阵a作初等行变换，

121：3][121：3]

A=2G+4-5：6—>!Ok-750,

I—1—2k：—3J[00k1：0；

由方程组有无穷多解,知r(A)=r(X)V3,故笈=-1或6=0.

19.1填空题j设a”a2,a3,B均为三维列向量，A=(p-a-2a2-3a3,a

1,a2,a3),则方程组Ax=B的一个特解为.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：(1,1,2,3)T

【解析】

T

设Ax=B有特解a*=(x”x2,x3,X4),则

工，

r\a=(Pa；-2a>-3a.apa；<a)

=a；~2a-3c).力+a”？+a»j;+ar(

=fir+(1?—Ji)a,+(.r,-2xi)a>+(r<-3j])a=fi.

取I[=g=1,i，=2为=2闭=3xi=3,故Ax=0有一个特解为(1.1.2*3),.

20.【填空题】设A=(a”)3X3为实矩阵.且Aij=au(i,j=l,2,3),其中Aij为a”

的代数余子式，

1f01

-3=1・IA1=1•则方程组建'=%的解为________.

111

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析:(①*，*<)T=(0»0«1)T.

【解析】

由已知.A,,=a”,知A•=A：,故

电f0lA-[°][0]回」

Xi—A0=-■——r0=A:0=u,.

LaJ[1J1A1IJJ1J[1l2

又A=434+a32A32+a”A”=扁+&+1=1,如a3i=a”=0,所以(为，工2,

r)T=(0»0»1)T

21.【填'W题i齐次线性方程组

Xj-2X2+4X3-7X4=0

<2ii4-x2-2X3+XI=0

3XI—x+2石一4北=0

的基础解2系是.

请查看答案解析后前本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：(0,2,1,0)T

【解析】

对系数矩阵作初等行变换，化为行最简，有

ri—24—7irioooi

A=21-21f01-20

L3-12-4」LO001J

由「(8=3,"-「(川=4-3=1.基础解系由1个解向员构成位为自由变址，令工3=1，解

出(0,2,1,0)T为基础解系.

22.【填空题】

or]-3J»4-3J3=0

已知齐次线性方程组5为+(a+2)4+3乃=。有无穷多解,则“=

[2xi+12-13=0

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：-5或-6

【解析】

齐次方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r(A)<n(n是未知量的个数).现

在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式A|=0

a-33a03

1A|=1a+23=1a+53

21-120-1

a3

=(a+5)=(a+5)(—a—6)=0

2—1

故a=-5或a=-6.

23.【填空题】

为+12=一，

设方程组J'""I有解，则人.切，。3,%满足的条件是________

+工4=-，

请查看答橐解析后’对本就进行判断：答对了答错了

正确答案：

参考解析：【解】

11001100

0110a20110a?

=—*

00110011

1001a"0--101a1+a1,

[11001100-a\

0110a20110a

—>—>2

0011-a30011-03

[o

011a1+〃2+a,.0_000a+42+a3+ai

因为原方程组有解,所以r(A)=r(A>.于是ai4-a+*+a1=0.

TT

24.【解答题】已知向量组a广(已4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,

1,-1,a)1a4=(3,10,b,4＞线性相关.

⑴求a,b的值.

⑵判断aI能否由a”a2,a3线性表示，如能就写出表达式.

⑶求向量组a”a2,a3,a,的一个极大线性无关组.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(1)由

12031000

471104-11-2

=(a—1)(6—2)

01—1b01-1b

23a42-1a-2

所以a=1或6=2时.向量组aa,aa线性相关.

(2)当b=2时

■1203"102-r

171101-12

a'a；]=-A

01—12a—10

.23a4_0.

Va,04均可由a.a.a线性表示.

如a#1=2.有a=—ai+2a>;

如a=1,6=2•有a^=(—1—2t)a\+(2+/)如+”为任意常数:

当a=1时

■1203r-1203'

471101—1b

6a，叫aj=—►

01—1bb-2

2314.0.

如〃工2.a；不能由a.a.a线性表示.

若a=1/=2,4可由a；,a,a线性表示，表示法同上.

(3)当a=1且。=2时，r(%,a2,a：＜,a])=2,极大无关组为团.妣；

当a=1且〃W2时，r(q,曲，。3.a,)=3,极大无关组为a},a；a；

当aX1且6=2时,r(qaaa)=3,极大无关组为a,aa.

25.【解答题】已知A(l,1),B(2,2),C(a,1)为坐标平面上的点，其中a为

参数.

问：是否存在经过点A,B,C的曲线y=klx+kzx2+k3x”如果存在，求出曲线方程.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

如果存在经过A,B.C的曲线》=刈力+4合则应有

'M+尾+上=1

《2防+44+8尾=2

参考解析：成1+。2扁+。3鬲=]

对增广矩阵作初等行变换,有

"I1■10-21-

[A⑷=240130

“a2.00a(a—l)(a—2)1—a.

(1)

当aW0,aWl,a六2时，方程组有唯一解

2,=3,=-1

a(a—2)'a(.a—2)*a(a—2)

则曲线方程为

a1—2a—2,3213

―a(a-2)*于a(a-2)7-a(a-2YV

⑵当a=l时,，点A,C重点，此时

-10-21-

A\b\0130

.0000.

方程组有无穷多个解.

T■2•

0+/-3

,0.,1_

那么经过A(C),B三点的曲线为

y=(1+21)1—352+女3“为任意常数

⑶当a=0或a=2时

r(A)=2,r(A|b)=3

方程组无解，此时不存在满足题中要求的曲线.

26.【解答题】设方程组

Xi-2々+3X3+4X4=5

<2xi-412+5x3+6X4=7

14xi+ar2+9X34-10X4=11

(1)当a为何值时方程组有解?并求其通解.

(2)求方程组满足XLX2的所有解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：(1)对增广矩阵作初等行变换，有

■1-23451rl-234：5"

A=2-4567-*0a+8000

11JL0

.4a910012i3.

Ya，恒有r(A)=r(•),方程组总有解.

当a=-8时,r(A)=r(A)=2.

-1—20—2•—4"

Af12j3

0；0.

得通解：（一4,0,3.0»+瓦（2,1,0,0）丁+也（2.0,—2,1）丁出,4为任意常数,

当a丰一8时,r(A)=r(A)=3.

rloo-2—4'

1000

123.

得通解：（一4,0,3,0）1+晨2.0.—2,1）丁,戈为任意常数.

（2）

当a=-8时,如©=巩，有

—4+2Al+2kz=0+瓦+0

Ai=4-2儿

令囱=/，囱=4一2人代入整理

x=(4,4,3,0>+“-2,-2,—2,1)丁“为任意常数

当a工一8时，如工［=/2‘有

-4+24=0+0

即为=2,有唯一解：（0,0.—1.2）1.

2i]—q+4x3-3J*I=-4・

求方程组[=一；，的通解.

0X|+/2十4=1•

27.【解答题】74+7%3a=3

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解对增广矩阵五作初等行变换，

2-14-3；-4Q)01-1：-3

101-L-3o]©-21\-2

31101000|©j12'

707-330000：0

取工为自由变归令门=0,得非齐次线性方程组的一个特解为/=(3.—8,0,6口令

工3=1,解得占=0,,=2,4=-1,故(一1,2,1,0)T为对应齐次线性方程组的基础解系,

所求通解为121,0»+(3.—8,0,6)1年为任意常数).

28.【解答题】

f2.r)+"2—为=1.

设方程组j/lri-4+4=2,问入为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多

4©+5工，-54=-1,

解？当有无穷多解时，求其通解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解已知方程组的系数矩阵A为3阶方阵，可以通过行列式讨论参数

入，确定其解的情况.

2A—1

IA|=A-11=(5A4-4XA-1).

45-5

当久H1且人工一士时,A|芋0,方程组有唯一解.

5

当人=1时,|A1=0,对增广矩阵(A|b)作初等行变换,

21-1：1]1-11：2

(A：b)=1-11j2|—►；01-H-1,

45-5=-1J[o00：0

方程组有无穷多解,为6(0,1Ji+(1，—1,O)T&为任意常数).

当A=-4-时，

5

40-4-5：5][10-4-5；5,

(A!b)—►45-5:-10—>45-5：-10,

45-5=-1JI000=9

此时,r(A)=2,r(A\b)=3,方程组无解.

©十工2=0,一…-72+g=0・

设有方程组①与②

29.x2-Xt=0|B+北=0.

(I)求方程组①与②的基础解系；

(II)求方程组①与②的非零公共解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解(I)

方程组①的系数矩阵为A=（，!101）•可求得基础解系为

'U1U—1f

a（=（—1,1«0.1）!«dr=（0,0,1.0”.

方程组②的系数矩阵为8=（（：；），解得基础解系为

fi=(0.1,1.0)T.=(-1.-1,0.1)T.

(II)

求方程组①与②的非零公共解,就是求（；）x=0的非零解.

[11001f1100I1100

iA\010-1rj010-1010-1

1-1100-210001-2

01-11,00-12,0000

得基础解系力=（1.121）、故非零公共解为M-1,121）TQ是不为零的任意常数）.

30.【解答题】

1+JT=0

设有方程组（i）「2-'（n）AX=o,其中（口）的基础解系为

12-4=0，

a1=（―1,2・2,1”.a-=（0.—1.—1.0）1.

求方程组（I）与（II）的非零公共解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解方程组（I）

的系数矩阵3=（：；:」1）.故（I）的基础解系为扇=

（0。1,0儿。=（-1,1.0,1孔通解为康+3.=（T,M九出）丁密人为任意常数）.

由已知,（!!）的通解为

/a+/汹=（-/,,2。一32。一。4»（/1,12为任意常数）.

1

令（一人/,儿，％）=（―/）»2/1-/2»2/1—/->./1»,得。=h.l>=2K—际=鼠、前=kz.

令k=h则（I）与（D）的非零公共解为为不为零的任意常数）.

31.【解答题】设有方程组

f-=—2*fXjOJCZ—13-=-5,

①〈-X——4,②JAtr2一4-=-11,

-4X2-I3+6x4=21,Ix-i-2J*4=-c+1.

（I）求方程组①的通解；

（II）当a,b,c为何值时，方程组①与②同解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解

（I）对①的增广矩阵作初等行变换，

100-1_91(100-1-2

010-14—►010—1

0-4-1621001-2—5

解得①的通解为⑶，力f=(-2,-4,-5,0>+6(1,1,2,1尸1为任意常数).

(II)耨方程组①的通解©=-2+6,1：=-4+h1=-5+2KXi=k代人方程

组②的第一个方程,得(-2+G)+a(7+*)—(-5+2*)—£=-3.由k的任意屉,可得

a=2,同样将①的通解代人②的第二个方程，得

b(-4+A)-5+2%)-2A=-11.

解得6=4.将①的通解代人②中的第三个方程，得(-5+26)—2々=一(+1,解得，=6,

故方程组②为

jJi+2JC2-4-j=-5

J5-2q=-(IL

I「2/=-5

对其增广矩阵作初等行变换:得

12-1-1■-5100—1—2

04-1-2-11010—1—4,

001—2—5001

故②的通解为(工|，工2，工34)T=(-2,—4,-5,01+4(1,121儿与①的通解相同.

综上所述,当a=2.6-l,c=6时,方程组①与②同解.

32.【解答题】设行阶矩阵A满足|A|=O,&为|A|的元素a“对应的代数余子

式，且A”。。，求方程组A*x=O的基础解系和通解.

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参考解析：由|A|=O,AUWO,得r(A)=nT,故r(A*)=L即A*x=O等价于方程

A11X1+A21X2+...+AnlXn=O①

因为A”。。，故方程①有下列线性无关的解,

a」=(-A21,An,0,...»0),

&2=(-A31,09An,0,...»0),

=—T

a.n-i(Anif0,...»0,An)

解向量个数为n-r(A*)=nT,故a1，a2,...,是原方程组的基础解系，通解

为kia1+k2a2+...+kn-ian-i(k”k2,...为为任意常数)

33.【解答题】已知4X3矩阵A=(a“a2,a3),非齐次线性方程组Ax=B的

T

通解为(1,2,-l)+k(l,-2,3)1K是为任意常数，令B=(a”a2,a3,B+

a3),求方程组By=a「a2的通解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解

由Ax=夕的通解结构及已知条件.有r(A)=r(a,.a：.a)=3-1=2.

'1'’1'

(aj.a.a)2=仇(ana：•a)—2=0.

.一13

即a；+2a2-期=pa—2曲+3处=0.

故r(B)=r(©,处,a./J+①)=r(dia,aa+2a)

初等

,二二：r(a：，a?,a・0)=r(aaa)=2.

列变换

所以By=0有4-r(B)=2个基础解.又

国,Q

(a；<a,a邛a)3=a2a2,3a=0，

I0.

m、

(a,a：.a.cti+2a?)0=a：+2a：-(a1+2a.，)=(),

，1)

—i

及(①・佻，a,W+q)()=ai-a：.

0,

故By=a-a的通解为

^.(1.-2.3,0)T+^,(1.2,0,-1)T+(1.-1.0.0)T(^)^)为任意常数).

34.【解答题】设A是5义4矩阵，r(A)=2,已知a”a2,是非齐次线性方

程组Ax=b的三个解向量，且a]+a2=(4,6,-8,4)T,a3=(1,2,T,1)「，又

(0,1,-3,0尸是Ax=0的解,求人乂礼的通解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解由已知条件及Ax=b的通解结构，只需求Ax=0的基础解系，而基

础解系有N-r(A)=4-2=2个,(0,1,-3,0尸是Ax=0的一个解,于是再求一个

与(0,1,-3,0尸线性无关的解即可.注意至Ua|+a2-2a3。是Ax=0的解，事实

上，A(a|+a2-2a3)=Aa]+Aa2-2Aa3=b+b-2b=0,且a什a2-2a3=(4,6,-8,

4)T-2(1,2,-1,1)T=(2,2,-6,2)T,又(2,2,-6,2),与(0,1,-3,0尸线

性无关(分量不成比例)，所以Ax=b的通解为

0|[2]11

L+上，+2,(囱麋为任意常数).

-3-b।-1

0][2]1,

34.【解答题】设A是5义4矩阵，r(A)=2,已知a”a2,a3是非齐次线性方

T

程组Ax=b的三个解向量，且ai+ci2=(4,6,-8,4)\a3=(1,2,-1,1),又

(0,1,-3,0尸是Ax=0的解,求Ax=b的通解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解由已知条件及Ax=b的通解结构，只需求Ax=0的基础解系，而基

础解系有N-r(A)=4-2=2个,(0,1,-3,0尸是Ax=0的一个解,于是再求一个

与(0,1,-3,0)『线性无关的解即可.注意至I」a什a2—2a3。是Ax=0的解，事实

上，A(a]+a2-2a3)=Aai+Aa2-2Aa3=b+b-2b=0,Kat+a2-2a3=(4,6,-8,

4)T-2(1,2,-1,1)T=(2,2,-6,2)T,又(2,2,-6,2)，与(0,1,-3,0尸线

性无关(分量不成比例)，所以人乂=1)的通解为

01

12

(瓦夏为任意常数).

-3-1

0+4小1

35.【解答题】设A是mXn矩阵,r(A)=n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解

向量a”a2,a3满足a1+a2=(1,2,3,4)a2+2a3=(-2,1.5,3)2a3+3a

i=(ll,5,-6,7)「,求方程组Ax=b的通解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解依题设，找出Ax=0的基础解及Ax=b的一个特解.

由解的性质,也11=b,M=b，故A[")=b,取

H+a?)=[j

为Ax=b的特解,又A(ai+a)=2b,A(a?+2a)=3b.A(2at+3a.)=5b•故

A[33i+a2)—2(a+2a<)j=68—66=(),

A[(2&+3%)—(a,+a?)—(a：+2a)~=5h-5h=0,

所以rj=3(z+a：1)—2(a?+2%)=(7.4,—1,6A.

rj—(2a+3ai)—(如+a)—(a,+2a)=(12.2.-14.0)1

为Ax=()的解，且线性无关(不成比例).

又r(A)="-2,故小，口是Ax()的基础解系，故=b的通解为

后(7.4,—1,6)T+白(12,2,—14,0)T+(1,1,£,2)(后也为任意常数).

36.【解答题】设A=(a”a2,a3,a)是4阶矩阵，非齐次线性方程组Ax=B

的通解为(1,2,2,l)1+k(l,-2,4,0)1k为任意常数，记B=(cu,a2,a,,0-aJ.

(I)证明：r(B)=2；

(II)求方程组Bx=a「a2的通解.

请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了

参考解析：解(I)

由Ax=B的解的结构，知r(A)=r(c(i,a2,a3,a)=3,并有

11

2-2

(ai，a：，a，a.)；=p,(。［必田a)=0.

110.

①

即ai+2%+2a3+a(=

a(-2a2+4a3=0.②

由①式,知B=(a<a)a>p-a.)=(佻也必必+2a+2a).

又由②式汨a.aa线性相关.由干r(A)=3,故r(B)=r(«.a,ai)=2.

(II)

，01

一i

由(《心皿甲a)U1I=©-a，知(0,—1,1，0M是Bx=aa.的一个解.

’4'

—2

又由于