数学-湖北省2024 年秋“宜昌一中､荆州中学”高二十月联考试题和答案

zzz2.2 /2 /222.某校组织50名学生参加庆祝中A.成绩在[50,60)上的人数最少B.成绩不低于80分的学生所占比例为50%D.50名学生成绩的平均分小于中位数3.已知平面向量和满足在上的投影向量为，则在上的投影向量为B.C.D.-14.设a,b为实数，若直线ax+by=2与圆x2+y2=1相切，则点P(a,b)与圆的位置关系()5.已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则cos2θ的值为()A.B.-C.D.-列向量中与B1M相等的向量是().面积为()A.17πB资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为()9.下列说法不正确的是()A.“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”是“a=-1B.直线xsina+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是C.若圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N(1,0)的距离为1，则r的取值范围是(4,6)D.设b为实数，若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则-1<b≤1记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是()A.事件A与事件B相互独立11.如图，矩形ABCD中，AD=AB=10，边AD，BC的中点分别为E，F，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H.现分别将△ABE，VCDF沿BE，DF折起，点A,C在平面BFDE同侧，则()C.当A,C重合于点P时，二面角P-DF-B的大小等于60°D.当A,C重合于点P时，三棱锥P-BEF与三棱锥P-DEF外接球的公共圆的周长为10π..__________，③若P有2个元素，则m∈-1,-④若P有4个元素，则m无整数解；松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名的频率相同.者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.16.在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=（2）若VABC是锐角三角形，且其面积为3，求边c的取值范围.18.在四棱锥P-ABCD中，已知AB//PA=6，PC=2，E是线段PB上的点.（2）是否存在点E使得PA与平面EAC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.自来．如图，已知圆M的方程为x2+(y-b)2=r2，直线x=my与圆M交于C(x1,y1)，D(x2,y2)，直线x=ny与圆M交于E(x3,y3)，F(x4,y4)．原点O在圆M内．设CF交x轴于点P，ED交x轴于点y1y2y3y4②猜想|0P|和|0Q|的大小关系，并证明. 1.复数z12满足z1+z2=z1z2，若z1=1-i，则z2=()【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的概念得到z1，根据条件用z1表示z2，化简之后求模长.=1-i，z2=z1z2,2.某校组织50名学生参加庆祝中A.成绩在[50,60)上的人数最少B.成绩不低于80分的学生所占比例为50%【答案】C【解析】对于B，成绩不低于80分的学生频率为0.3+0.2=0.5，成绩不低于80分的r3.已知平面向量e1和e2满足e2=2e1=2,e1在e2上的投影向量为-rC.-1D.-1【答案】D【解析】【分析】根据e1在e2上的投影向量可求得e1.e2=-1，再利用投影向量的定义求解即得.4.设a,b为实数，若直线ax+by=2与圆x2+y2=1相切，则点P(a,b)与圆的位置关系()【答案】B【解析】【分析】由直线ax+by=2与圆x2+y2=1相切计算P(a,b)与圆心距离即可得答案.因ax+by=2与圆x2+y2=1相切，则=1Þa2+b2=4.则P(a,b)到圆心的距离为=2>1，则P在圆外.5.已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直，则cos2θ的值为()A.B.-C.D.-【答案】B【解析】【分析】先将直线l与直线x+2y-3=0垂直转化为斜率相乘为-1求出tanθ的值，再根据二倍角公式将cos2θ用tanθ表示，即可得到答案.【详解】由题意得.tanθ=-1，:tanθ=2，:cos2θ=列向量中与B1M相等的向量是().C.-+D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.-面积为()A.17πB【答案】A【解析】进而可得答案.故O2C2B2D，Ì平面ABC¢,所以O2C2A=O2B=O2D，所以球半径R=O2B=故球的表面积为4πR2=17π.资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为()【答案】C【解析】【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键.9.下列说法不正确的是()A.“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”是“a=-1B.直线xsina+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是C.若圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N(1,0)的距离为1，则r的取值范围是(4,6)D.设b为实数，若直线y=x+b与【答案】AD【解析】【分析】利用直线垂直求出a的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为-sina计算斜率的取值范围，进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得到选项C正确；分析曲线为半圆，通过画图求得b的范围，选项D错误.B.由xsina+y+2=0得，y=-xsina-2，直线斜率k=-sina，∵θ∈[0,π)，∴倾斜角θ的取值范围是.选项B正确.C.到点N(1,0)距离为1的点在圆N由题意得，M(4,4)，圆M:(x−4)2+(y−4)2=r2(r>0)与圆N:(x-1)2+y2=1有两个公共点，两圆相∴r-1<5<r+1，当直线y=x+b过点B(1,0)和点C(0,-1)时，b=-1，当直线y=x+b与半圆相切于点D时，由圆心O到直线x-y+b=0的距离为1得解得b=-2或b=2（舍所以当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点时，-1<b≤1或b=-2.记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是()A.事件A与事件B相互独立【答案】ACD【解析】根据事件的运算求解；对于D：根据古典概型运算求解.设(a,b)为连续抛掷这个正四面体木块两次向下的数字组合，其中a为第一次向下的数字，b为第二次向11.如图，矩形ABCD中，AD=AB=10，边AD，BC的中点分别为E，F，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H.现分别将△ABE，VCDF沿BE，DF折起，点A,C在平面BFDE同侧，则()C.当A,C重合于点P时，二面角P-DF-B的大小等于60°D.当A,C重合于点P时，三棱锥P-BEF与三棱锥P-DEF外接球的公共圆的周长为10π【答案】ACD【解析】对于B，先利用线面垂直推得平面AGH与平面CHG重合，再利用面面平行的性质定理证得AG//CH，进而推得AC//GH，从而利用线面平行的性质定理推得GH//ED，由此得以判断；对于D，先分析得三棱锥P-BEF与三棱锥P-DEF外接球的公共圆为!PEF的外接圆，再由勾股定理证得PE丄PF，从而求得公共圆的直径，由此得解.又因为平面AEB∩平面BEDF=BE，AGÌ平面AEB，所以AG丄平面BEDF，故A正确..所以在Rt△ABE中，BE=，AG=又BE丄AG,BE丄GH，AG∩GH=G，所以BE丄面AGH，同理DF丄平面CHG，又因为BE//DF，所以平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形，所以AG//CH，又AG=CH，所以四边形AGHC是平行四边形，则AC//GH，又ACÌ平面AEDC，GH丈平面AEDC，所以GH//平面AEDC，又平面AEDC∩平面BEDF=ED，GHÌ平面BEDF，所以GH//ED，又BE//DF，即GE//DH，所以四边形DEGH是平行四边形，由选项B易得DF丄平面PHG，又PHÌ平面PHG，所以PH丄DF，同理：GH丄DF，所以二面角P-DF-B的平面角为上PHG，所以△PGH是正三角形，故上PHG=60°,即二面角P-DF-B的大小等于60°,故C正确；.对于D，如图2，三棱锥P-BEF与三棱锥P-DEF的公共面为面PEF，所以三棱锥P-BEF与三棱锥P-DEF外接球的公共圆为!PEF的外接圆，所以EF为!PEF的外接圆的直径，即2R=EF=10，所以所求公共圆的周长为2πR=10π,故D正确.【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理、线面平行与面面平行的性质定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，突破口在于找到两个三棱锥的公共面，从而得.【答案】1【解析】【分析】根据向量共面，可设xb+yc=a，先求解出x,y的值，则λ的值可求..__________【答案】2【解析】长最短，再由弦长公式计算可得.又圆C:(x-2)2+(y-4)2=3的圆心为C(2,4)，半径r=3，故答案为：2，②当m=+1时，P有1个元素；③若P有2个元素，则m∈-1,-④若P有4个元素，则m无整数解；【答案】①②④【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系、并集、交集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.①当m=时，由(x-2)2+1令y=0，解得x=2±,1令y=0，解得x=2±,所以①正确.çèy2+(2=1直线y=x，即x-2y1直线y=x，即x-2y=0，25所以圆2=1与直线y=x相切，所以P=S∩T有1个元素，所以②正确.对于③,当m=0时，(2,0)到直线x-2y=0的距离为，此时P有2个元素，所以③错误.mm(x,y)|(x-2)2+(y-m)2=1,y≥0}，此时直线x与圆至多有2个公共点，不符合题意.若m=0，则由③的分析可知P有2个元素，综上所述，若P有4个元素，则m无整数解,所以④正确；方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名的频率相同.者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.【解析】（2）由第二组、第四组的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式，s2=[s+(x1-x)2]+[s+(x2-x)2]分别求出两组所有面试者的方差.设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为x1,x2,s,s，25222-x)]5242370316.在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC=.（2）若VABC是锐角三角形，且其面积为3，求边c的取值范围.【解析】ππππ<A<，根据且其面积为3可得2（2）由（1）知A+B=，又V<A<，根据且其面积为3可得2解即可.,则因为tanC=,则cosCcosA+cosB设y=sinAsinB，因为B=-A，（2）x-y-1=0或7x-y-7=0【解析】【分析】（1）设点M(x,y),A(x1,y1)，根据题意得到A(2x-6,2y-8)，代入圆x2+y2=16，即可求解；（2）根据题意，设直线l:y=k(x-1)，求得圆心M(3,4)到直线l的距离为得到S△CPQ=.d.2结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程.解：设点M(x,y),A(x1,y1)，由点B的坐标为(6,8)，且M是线段AB的中点，因为点A在圆x2+y2=16上运动，所以点A点坐标满足圆的方程x2+y2=16，即(2x-6)2+(2y-8)2=16，整理得(x-3)2+(y-4)2=4，所以点M的轨迹方程为(x-3)2+(y-4)2=4.解：过点定点(1,0)的直线l与曲线C交于P,Q两点，则直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l:y=k(x-1)，即kx-y-k=0，则圆心M(3,4)到直线l的距离为，所以d=2时，S△CPQ取得最大值2，此时，解得k=1或k=7，所以S△CPQ取得最大值2，此时直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.18.在四棱锥P-ABCD中，已知AB//PA=6，PC=2，E是线段PB上的点.（2）是否存在点E使得PA与平面EAC所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设=λ,且0≤λ≤1，求平面EAC的法向量，利用即可求得λ的值，即可得出结论. 22 22又因为BC丄PA，PA∩AC=A，PA、ACÌ平面PAC，所以，BC丄平面PAC，因为PCÌ平面PAC，所以，BC丄PC，因为AC∩BC=C，AC、BCÌ平面ABCD，所以PC丄面ABCD.以点A为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标设=λ=λ(1,-1,2)=(λ,-λ,2λ)，其中0≤λ≤1，(x,y,z)为面EAC的法向量，λ-1，所以，平面EAC的一个法向量为=(-λ,λ,λ-1)，可得+2λ-1=0，因为0≤λ≤1，所以λ=.因此，存在点E使得PA与平面EAC所成角的正弦值为，且=.自来．如图，已知圆M的方程为x2+(y-b)2