上海期中解答题50题（压轴版）-2021-2022学年高一数学上学期期中期末考试满分全攻略（沪教版2020）解析版

上海期中解答题精选50题(压轴版)

能力提升

1.(2019•蒙城第一中学高一期中)已知函数/(x)=2、+k.2'g(x)=log„(/(x)-2Jj(«>0

且ax1),且/(O)=4.

(1)求1的值;

(2)求关于％的不等式g(x)>0的解集;

(3)若小)4+4对xeR恒成立，求f的取值范围.

【答案】⑴k=3(2)(log23,+oo)(3)(-oo,-l]

【分析】(1)利用"0)=4,求得出的值.

(2)先求得g(x)的表达式，对。分成两种情况，求得不等式的解集.

(3)将不等式/(x)2(+4分离常数r,结合二次函数的性质，求得f的取值范围.

【详解】(1)由/(。)=1+左=4,得k=3.

3

(2)由(1)知,g(x)=log„—.

当。>1时，因为g(x)>0,所以—>1,

解得xvlog/,不等式g(x)>0的解集为(-1%3)；

当0<a<l时,因为g(x)>0,所以0<得<1,

解得x>logz3,不等式g(x)>0的解集为(1(^3,”).

⑶/⑺4+2,即2*+$5+4,

所以Y(2')2_4X2'+3.

因为(2,『-4x2、3=(272)2-1,

所以当x=l时，(2-2)2-1取得最小值—1.

所以Y-1,即f的取值范围为(-«>,-H.

【点睛】本小题主要考查函数解析式的求法，考查指数不等式的解法，考查不等式恒成立

问题的求解策略，属于中档题.

2.(2019•天津市静海区瀛海学校高一期中)已知函数/*)=机-4

5+1

(1)若Ax)是R上的奇函数，求加的值

(2)用定义证明在R上单调递增

(3)若，㈤值域为。，且［-3,1］,求，"的取值范围

【答案】(1)〃?=，(2)详见解析；(3)we［-2,1］.

【分析】(1)由奇函数的定义可得/(*)+/(-幻=0恒成立，由此可求得冽值；

(2)设占且I，x2eR,利用作差证明/(%)</(工2)即可；

(3)先根据反比例函数的单调性求出值域。，然后由。工［-3,1］可得关于用的不等式组，

解出即可；

【详解】解：(1)因为/(X)为奇函数，所以/(0)=机-±=,w-g=O,经检验满足奇函数

定义，

・•・m一=—1；

2

(2)任取大，々《R，令％<W，

则/(电)一/3)=卜一±卜卜一*)=+_七=6；］)(；；+］)>0,

所以/(外为增函数；

(3)由O<得加一1</(冗)<加，设/(x)值域为。，且。8-3,1］,

5+1

|A?Z-1>-3

［加<1

二机的取值范围是

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用及单调性的证明，属于中档题.

3.(2020•江苏苏州•星海实验中学高一期中)定义在。上的函数/(力，如果满足：对

任意xe£>,存在常数M2O,都有|/(x)归仞成立，则称f(x)是。上的有界函数，其中M

称为函数f(x)的一个上界，已知函数/(X)=-3+〃&J+G),g(x)=bg］霆)

(1)在求函数g(x)在区间(，3上的所有上界构成的集合；

(2)若函数/(x)在[0,”)上是以3为上界的有界函数，求实数。的取值范围.

【答案】(1)[2,+co);(2)[0,5].

【分析】(1)根据复合函数单调性的性质，结合题中所给的定义进行求解即可；

(2)根据题中的定义，根据绝对值的性质，结合换元法、构造函数法，利用函数的单调性

进行求解即可.

【详解】(1)g(x)=log,^^^==log,^l+-^-j-^,

因为函数”"作在区间1,3上单调递减，所以函数g(x)=iog：(E)在区间1,3上单调递

1+-

增，因此当xe|,3时，=s<3>=1<叼（言）=T，g（x）m=g（/=l°gg_3

E；

因此当xw|,3时，-2<g(x)<-l,即141g(x)|42,根据定义可知：当时，

|g(x)归例成立，所以函数g(x)在区间|,3上的所有上界构成的集合是⑵+8)；

(2)因为函数〃x)在[0,物)上是以3为上界的有界函数，

所以xe[0,y)时，不等式|〃x)归3恒成立，即

_3+咽+({|卜3=-3S-3+咽+("卜3,令出'=,(0<川)，

所以有-3<-3+w/+r2<3=>at+t2NO曰.at+r<6,

因为所以由3+/N0=a2T,因为0<f4l,所以-IVtvO,因此有〃之0;

因为0</41,所以由"+/V6na1-r,设/")=--，，因为当0</41时，

所以函数/“)=2单调递减，因此小一⑴，I,所以有心5,

综上所述：实数。的取值范围是[0,5].

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是对题中所给的定义的理解，二是对换元法的应用、

熟练掌握常见函数的单调性.

4.(2021•河南郑州市•郑州十一中高一期中)定义：对于函数f(x),若在定义域内存

在实数X,满足〃T)=-〃x),则称为“局部奇函数".若"x)=2'+机是定义在区

间［7』上的"局部奇函数”，求实数，”的取值范围.

【答案】［-p-1

【分析】根据“局部奇函数”的定义，把问题转化为方程2"+2T+2%=0在［-1』上有解,

令f=2*e1,2,设g(f)=/+；,

【详解】当““=2、+加时，/(-*)=—“X)可化为2、2-,+2根=0,

•••”X)的定义域为［-川，

方程2*+T'+2%=。在［-1,1］上有解，

令f=2"e2,则-2m=r+；,

设g(r)=r+l，根据对勾函数的图像

OLI2t

2

可以判断出g(。在(0,1)上为减函数，在(1，­)上为增函数,

所以g(l)=l+:2,g⑵=2+；=g,^^=^+2=|

二•，wJ,2时，g(/)w2,；,

-2ms2,—,即TW£—-,-1,

综上所述，，"的取值范围是.

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：

(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；

(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.

5.(2020•桂林市临桂区五通中学)已知二次函数y=/(x)的图象经过原点，函数/(x+1)是

偶函数，方程/(力+1=0有两相等实根.

(1)求y=的解析式；

(2)若对任意xe；,8,2/(log2X)+mN0恒成立，求实数加的取值范围；

(3)若函数8")=史上]与"("=夕3'-1“-2的图像有且只有一个公共点，求实数。的取

3r,

值范围.

2

【答案】(1)/(X)=X-2X:(2)m>2-.(3){—3}U(1,E).

试题分析：(1)运用待定系数法，结合题目条件计算得。=1乃=-2,c=O

2

⑵分离参量"7*-2(k>g2xy+41og2x,itB-2(log2x)+41082》在[218]匕的最大值

⑶转化为GF々•3"+1=aJ、_2有且只有一个实数根,换元r=3，，关于f的方程只

3,3

有一个正实根，转化为函数问题

解析：(1)设/(无)=依2+法+c(awO).由题意，得/(O)=c=O.

f^x)=ax2+bx,f^x+i)=cvC+(2a+b)x+b+a

；/(x+l)是偶函数，^^=0即2a+6=0.①

/(Jv)+1=0«^011.A=/>2—4a=00

由①②，解得a=l/=-2,Af(x)=x2-2x.

(2)若对任意xe[2T,8],2〃1%力+加20恒成立,

2

只须zn2-2(log2x)+41(物》在xe[27,8]恒成立.

2-

4-^(x)=-2(log2x)+41og2x,xe[2',8],则。(项广。⑵=2.

若对任意XW[2T,8],2〃1吗%)+加川恒成立,

只须满足加2S(x)111ax=2.

m>2.

(3)函数g(x)=£iH与Mx)=a3'-ga-2的图像有且只有一个公共点，

即（3，）-2守+1=qJ,_2有且只有一个实数根，

3"3

即（a-l>（3'）2-%/-3，-l=0有且只有个实数根.

令”3、>0,则关于f的方程（记为*式）只有一个正实根.

3

若a=l,则f=一］不符合题意，舍去.

4

若awl,则方程（*）的两根异号，，二7Vo即〃>1.

。一1

或者方程（*）有两相等正根.

A=0,

a=』或a=-3,

4

—a4

\>0,解得，a<0,

a-\

a<\.

—>0.

、〃一1

a=-3.

综上，实数。的取值范围是{-3}=（1,钙）.

点睛：本题是道综合题目，在求函数解析式时，当遇到“二次函数”时可以采用待定系数法

求解；含有参量的题目时可以分类参量，转化为函数最值问题求解；在解答指数形式的题

目时方法可以采用换元，转化为一元二次函数，利用函数性质求解.

6.（2019♦四川高一期中）已知函数/（x）=log,“士（>>0且加#四

（1）当炉2时，解不等式/*）>1；

（2）若OVZL是否存在/>a>0,使/（处在［a,£］的值域为［log„,用伊T）,10gMm（a-1）］?

若存在，求出此时加的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（-9,-3）；（2）0<〃?（三叵

【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可.

（2）判断函数的单调性，得，需二：转化为三―）在。收）上有两个

不等的根，分离参数求值域即可

【详解】（1）当犷2时•，log,二>1,则七（>2,得丝<0则不等式解集为（-9,-3）

~x+3x+3x+3

（2）/3=1股“=|=1啕/1-3],/=1-二单调递增，

x+3Ix+3Jx+3

故当10<加<1,/（x）=log,,,==logjl—单调递减，

x+3Vx+3）

若/⑺在回0的值域为[log/（夕-1）,log,/（a-1）],则36lu（3,y）且J段二:d：

即f（x）=log,,,在（3,«»）上有两个不等的根，即:^|=机（x-1）在（3,«»）上有两个不等

的根，又令f3（。收）二52—+2）=〃+%

mx-3〃〃

又〃+2+8246+8,当且仅当〃=26,冗=3+20等号成立，因为y=L与y=〃+U+8有

〃mA

两个不同交点，则—>8+473/.0<m<2一"

m4

故存在0<m<-~—

4

【点睛】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题，考查函数与方程的应

用，熟练利用基本不等式求最值是关键，是中档题.

7.（2019•浙江省宁波市郸州中学高一期中）已知函数〃x）=a'T*"（a>0,axl）.

（1）若a=2,求函数〃x）在xe[0,2）上的值域；

（2）若a=2,解关于加的不等式/（，”）-/（l-2m）V0；

（3）若函数/（x）在区间（2,3）上单调递增，求实数。的取值范围.

【答案】⑴2；8）⑵（F,0]U/引（3）（0gU（l,田）

【分析】（1）当a=2时，〃x）=2*J,先求/“-x+l在xe[0,2）值域，再求/（，）=2,的值

域即可；

（2）结合指数函数的单调性进行求解即可；

（3）对底数。进行分类讨论，确定的增减性，再根据复合函数同增异减，结合二次

函数r=V-4+i进一步判断。的取值范围即可

【详解】(1)当4=2时，”x)=2*j,令f=d-x+l,r的对称轴为当xw[o,2),

Gn=+l=：,r=2,Z(2)=22-2+1=3,故，e,,3),f(t)=2'e24,8^：

(2)当a=2时,〃x)=2，j1/(,”)-〃l-2m)V0等价于/("?)Vf(l-2m)

22

即<2。-2“甘-2m)+1,即tn--m+1<(1-2w)-(1-2m)+1,化简得3m-w>0,

即相e(f0]U1,+ocj;

(3)当“€(0』)时/(，)="为减函数，又r=x2-%+l,f的对称轴为*要使函数〃x)在区

间(2,3)上单调递增，则需满足93,解a4，则”(0,；；

当时，〃「)="为增函数，要使函数“X)在区间(2,3)上单调递增，则需满足：V2,

解得a2；,贝l]ae(l,+8)；

综上所述，U(l,+a))

【点睛】本题考查指数型复合函数值域的求法，根据函数增减性解不等式，由函数的增减

性求参数范围，属于中档题

8.(2019•福建省连城县第一中学高一期中)已知函数/(x)=e，+x.

(1)求f(x)在区间I。,1]的值域；

(2)函数g(x)=-x-2a,若对于任意修I。J，总存在王€[-1,2],使得

8(电)”(%)-%+2eF恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)[1,e+1]；(2)°wJ-；*.

【分析】(1)确定函数，(幻的单调性，得值域；

(2)记K(x)=/(x)-x+2er,题意等价『g。).士以0向，换元，设r=e、，由对勾函数得

K(x)=Mf)的单调性及最小值，g(x)是一次函数，最小值易求，从而可得。的取值范围。

【详解】(1)易知在[0,1]上单调递增，，以*(x)=〃l)=e+l,源(x)=/(0)=l

值域为[1，e+1].

⑵设K(x)=/(x)-x+2H*=e、+2二(-14x42),

g(x)=-x-2a(0<x<l),易知g1nhi(x)=g(X)=-l-2a.

令f=e",则，eL/

e

•.•”(r)=f+3在fe^,5/2上递减，在re[0,e[上递增.

,弘品(0=以夜)=2忘.即(x)=2y/2,

]

由题意知，gminW>Kmin(x),即_1一2。42&,:.a<-.

2

【点睛】本题考查函数的单调性与值域，考查不等式恒成立问题，对含有存在量词和全称

量词的不等式成立问题需根据题意进行转化，转化为求函数的最值。到底是求最大值还是

求最小值与量词是全称量词还是存在量词有关，也与不等式号方向有关。象本题就是

gmh,(X)WKmin(X)，

若本题(2)改为“若存在%对任意的占€[-1,2],使得g(w)2K5)恒成立”则等

价于g(x)皿2K(x)皿。若改为“若存在％W[0,1],存在名€[-1,2],使得g(叩—K®)成立”

则等价于g(x)gxNK(x)皿。

9.(2019•浙江杭州市•杭州外国语学校高一期中)已知函数

/(幻=4-*+p•2T+1,g(x)=产1-/7彳.2”.

(1)当〃=1时，求函数/(幻在XW(YO,0)上的值域；

(2)若4彳0,手],函数g(x)在xe[0J上的最大值是"(q),求H(q)的取值范围；

(3)若不等式在xeO+oo)上恒成立，求实数P的取值范围.

【答案】(1)3+8)(2)9-2点,1)(3)(-0,1]

【分析】(1)用换元法，设f=2-3将转化为一元二次函数，然后利用二次函数的性

质得出结论。(2)将8(幻整理成8。)=:岭=空^=1-:；7学一，根据x的范围可得g(x)

在定义域上的最大值”(夕)，再山4的范围，可得。(3)设/=2-3在x£[0,y)上

恒成立等价于/+PJ-2Mo在fw(O,l]上恒成立，根据二次函数的性质解不等式，即得。

【详解】(1)当P=1时,/(x)=4*x+2--t+l,设/=2，则有解)=1+/+1,xe(-oo,0),

那么小(1,+8),函数的)=Q+,12+(3的对称轴为/=-]1,故函数h(t)在定义域上单调递增，

值域为⑶+8)♦⑵由题意得，g(机器LU

.1-2-'e[i1],则当2T=1时，g(x)取到最大值，即H(q)=l-言，又

“⑷=1-鬲=7+高’且"⑼=1，H吟)=1金=3-2&,故H(q)

取值范围是[3-2形,1).(3)设"2-，，所以/。)43在xe[O,+<»)上恒成立等价于

r+pt-2<0^.(e(0,l]上恒成①,；力。)=/+p.r—2这个二次函数开口朝上，二在区间上

的最大值在端点处取到，即只需〃(0)<0,〃(1)«0即可，代入得-2<0,。-1〈0,解得故

实数P的取值范围是(—1].

【点睛】本题考查求函数的值域，以及由恒成立求参数，利用了换元法，有一定的综合性。

10.(2020•福建仙游一中)已知“为正数，函数/(x)=ox2-gx-：,g(x)=log；x-k>g2x2+；.

(I)解不等式g(x)<-；;

(II)若对任意的实数f，总存在占中-1"+1],使得|/(%)-八三)|"("对任意x«2,4]

恒成立，求实数。的最小值.

【答案】(1)xw[应,2应];(II)

111Q

【分析】(1)对log；x-log?化简，因式分解可得出gviog/W；,解对数不等

式即可.

(II)先求函数g(x),在xw[2,4]上的最大值g/xA：则题目转化为vr,xe[/-l,/+l].

1131

篇式彳)一篇,*)2/亘成立，求a得的最小值，/(力=以2-5工-1可知对称轴为光=而，只需

讨论Y二<，+1和;*/+1,分别求出九x(x)，2“(x),化简不等式，求范围即可，最后得

4〃4。

出和。之由于f的任意性，取交集即可.

416

【详解】

113

(I)log921-"logzX9+wKlog7；x-21og,x+]W0

=>^log2x-^Jlog2x-1^<0=>^<log2x<1.解得2建xl即3五2同

22

(II)gJ^^(A-)=log2X-log2x+^=(log2x-l)-1,XG[2,4],log2xe[l,2]

31

故gn»(x)=(2T>-4="

即Vr,Xe上一1,f+1］,X,ax(x)-fmin(X”;恒成立.

又〃力二/-氐-；对称轴彳=白.又区间［f-lJ+1］关于x=£对称,

故只需考虑的情况即可.

①当+即L-lVfW-5-时,

4a4。4〃

I3,31A1

故Zrm(X)_、/min(X)=〃Q—1)2--(/-l)-^-~~7~TT~~T

24t416«)4

BPa(/-l)2--(/-l)+—>-,X-!</<-=>-2</-l<-1.

216。44a4。4。4。

故—I)2—1)+72~~,解得〃之」.

4a24a16。44

②当」-2f+l,即时，

4〃4a

易得&(x)=/(I)，篇(x)=f(f+l)，

3o131

BPZnaxM-fminM=a(t-1)--(r-l)---[6z(z-l)---(/-l)--]>-.

化简得-4，"+121,即4m43,所以—1|.

4414〃)416

综上所述，J故实数。的最小值为J

44

【点睛】本题主要考查了与二次函数的复合函数有关的问题，需要理解题意明确求最值,

同时注意分析对称轴与区间的位置关系，再分情况进行讨论求最值即可.属于难题.

11.（2019•黑龙江高一期中）已知函数/（x）=2'（xeR）.

（1）解不等式/（x）-/（2x）>16-9x2'；

（2）若函数尸（6=〃》）-〃2》）-加在区间［-1,1］上存在零点，求实数机的取值范围；

（3）若函数〃x）=g（x）+〃（x）,其中g（x）为奇函数，〃（可为偶函数，若不等式

2ag（x）+〃（2x）20对任意xe［l,2］恒成立，求实数。的取值范围.

117

【答案】（1）（1,3）（2）［-2,-］（3）«>-—

412

【分析】（1）利用换元法，将原不等式转化为一元二次不等式来求解.（2）将问题分离常

数，转化为加=/（力-/（2”在［-1』有解的问题来解决.求得/（x）-〃2x）在『1』上的值域,

来求得所的取值范围.（3）先根据函数的奇偶性的概念，求得g（x）,/（x）的解析式，化简

所求不等式为《2、2T）+（"-2-"）+->0'利用换元法及分离参数法分离出。，利用恒成

立问题解决方法求得。的取值范围.

【详解】⑴原不等式即为2-22*>16-9x23设t=2”,则不等式化为t-t>16-9t,

即t?-10t+I6<0,解得2<f<8,即2<2工<8,；.1VXV3,原不等式的解集为（1,3）.

（2）函数&x）在卜川上有零点，.•.F（x）=0在［川］上有解，即%=〃x）-〃2x）在［-1,1］有

解.

设夕（》）=/（同一/（2苫）=（2*-3）+；,：*4-1,1］,；.342*42,

.•.-2Ws（x）W：.•••m=/（x）-/（2x）在［-1,1］有解，.•.一24机4；,故实数，〃的取值范围为

2*-2一，

g(x)=

/(x)=g(x)+/7(x)=2*2

（3）由题意得解得，

f(-X)=g(-X)+〃(-x)=2一、2r+2-r

〃(x)=

2

由题意得2ag。）+人（2力20,

、22t-2-2xz\⑵-2-*『+2

即a2-')+-——=a(2*-------1——>0

22

ais

对任意xe[l，4恒成立，令k=2，一2，xe[l,2],贝咤4k吟.

则得ak+处电20对任意的ke值恒成立，

2124」

；・〃之一:八+/]对任意的％£1，；恒成立，

2\KJ|_24_

•••G（%）=-如+£|在《用上单调递减，.一（火…僧卜-青

•..实数”的取值范围卜1，+8）.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查存在性问题和恒成立问题的解决策

略.属于中档题.对于不等式中含有一元二次不等式类似的结构的时候，可以考虑利用换元

法，将问题转化为一元二次不等式来求解.存在性问题和恒成立问题的主要解法是分离常数

法.

12.（2019•辽宁朝阳市•高一期中）设函数/。）=（6吗"，其中a为常数，且/⑶=《.

（1）求”的值；

（2）若〃D.4,求x的取值范围.

【答案】（1）«=2；（2）x..6.

【分析】（1）根据/（3）=上，求出。的值即可；（2）根据指数函数的性质求出x的范

围即可.

【详解】（1）函数“X）=（；尸”，

由f（3）=±,得：4产“=上，

lo216

得：3a—10=-4,解得a=2；

（2）由（1）f（x）=22^0,

由f⑸.4,得:22X-,0..22,

故2x-10..2,解得：x..6.

【点睛】本题主要考查指数与指数函数.

13.（2020•浙江高一期中）已知函数/*）=2'-"为奇函数,其中&为实数.

々・2+1

(1)求实数a的值；

(2)若。>0时，不等式/(/(尤))+/«2')<()在工€[-1,1]上恒成立，求实数t的取值范围.

【答案】(1)±1;(2)1°0,J]

【分析】(1)由函数/(x)=2^幺为奇函数，可得/(-x)=-/(x),代入整理可得:

/一⑵)2=>/(2尤)2,所以/=],即可得解；

(2)若。>0,由(1)知。=1,所以—1=1一一一,根据复合函数单调性所以f(x)

为增函数，又因为〃刈为奇函数，山题意可得：f(x)+/2<<0,构造函数进行分类讨论即

可得解.

【详解】

(1)由函数小)=葛玲为奇函数,可得一小)，

rx-a_-2x+a

代入可得:

a-2-,+1-a-2x+\

整理可得:合理2，)2=1-1(2方2,所以可=1,

解得：a=±\；

(2)若a>0,由(1)知。=1,

所以/。)=二==1一与J,

2*+12V+1

由2,为增函数，〃=2*+1为增函数且“=2*+1>0,

又因为V2为减函数，7所以为增函数，

uu

所以/(X)为增函数，

又因为/(X)为奇函数，

由/(/。))+/“2')<0可得：

/(x)+r-2x<0,

即Wb"-U上恒成立，

若fNO,X=1时不成立，故r<0,

令2，=s,则se(g⑵,

整理可得：ts2+(r+l)5-l<0,

令g(s)="2+«+i)s-i,

若或-白2

2t22t

131

需g《)=jF。，g⑵=6/+1<0,

■44-11+1c/r+1、.

右5<一行<2’需g（一可）<。,

解得<t<,

综上可得：实数t的取值范围为

【点睛】本题考查了分式函数的奇偶性和单调性，考查了转化思想和分类讨论思想，计算

量较大，属于较难题.

本题所用方法有：

（1）复合函数的同增异减原理的应用；

（2）利用单调性解不等式，关键是求出函数单调性，误区为直接代入；

（3）构造：次函数求参数范围，主要利用：次函数的性质进行分类讨论.

Ax~m（1、卜f"l

14.（2020•沙坪坝•重庆南开中学）已知函数〃月=苗币，函数g（x）=5.

（1）若函数/（力的图象过点卜,£|,求加的值；

「14

（2）在⑴的条件下，求函数g）=/（x）+g（x）在区间y上的最小值；

（3）若对VX[€[O,1],都存在马€口,+8）,使得/（w）=g&）,求力的取值范围.

【答案】（1）机=1;（2）1；（3）m>l.

【分析】（1）根据“1=不求加的值；（2）由（1）可知/（力==—，化简函数，并

利用函数单调性求f（x）的最小值，以及利用对称性和单调性求g（x）=（；y"的最小值，再

求力（X）的最小值；（3）方法一，设函数“X）的值域是A,函数g（x）的值域是8,由条件

可知分情况讨论，判断是否满足并求也的取值范围；方法：,首先求得函

数/（力的值域A=[F7T，”j,转化为g.a”黄不，求机的取值范围.

【详解】

⑴山川）裳得：尧=；’

令《=2~”>0,则一^-='=2«2-%-1=0

氏+12

所以％=1或攵=-g（舍）,则机=1

（2）由（1）知函数./"（》）=三*=2-+J7T-1

令r=2，i+l>l,y=r+；-2。>1）,贝仁

当xeR时f=2*M+1递增，函数y=r+；-2在te（l,+oo）上递增，

所以函数/（x）在此上递增，

则当xepl时，端（司=/（£|=1-¥；

另一方面，函数g（x）=（£|尸|的图象关于x=l时称，且先增后减，

则当XCg可时，gm/"（｝曰，

所以，当且仅当x=；时，网x）的最小值为+=l

（3）法1：与问题（2）同理，

xm

已知函数〃制=黄A~、=（25+1）+导1?-2在尼上单增，

「41',"'

故"X）在xw[l,+oo）上的值域为A=21-〃，+1，+00，

设g（x）的值域为8,则B±A,

①当，"WO时，当xe[0,l]时，

函数g（x）=（g］在x40,1］上递减，

故8=［/■,/■,

设函数夕"六痣=侬一+川+看一？，

令〃=21+1＞1，y=〃+}—2（〃＞1）,贝IJ：

当x£REl寸，u=2,-x+1递减，

函数y=〃+：—2在〃£（l,+oo）上递增，

所以函数0（力在尼上递减，

故当机W0时，^（m）＞^（0）,

即-^-29/士仕『，不满足BqA；

2'-m+l32⑶

1（।、卜T

②当0〈小,时，g（x）=（；的图象关于=m对称,

且在［0命）递增，在加』上递减，

故gmax（x）=g（祇）=1，又1-fnNm,

故gmina）=g6=，,8=［上，1］

由情况①知。（①）上/:］,

不满足BaA；

③当5＜小41时，g"）=；的图象关于x切对称,

且在［0命）递增，在加川上递减，

故gmax（x）=g（次）=1，又1一切＜加，

故gmin(x)=g(o)$,B=!,1,

1d.,_/M

由8=A有：————=>/H>1,所以此时加=1；

T2="+1

④当机>1时，当xw[O,l],函数g(x)=g)*在xe[O,l]上递增,

14,-m

由8cA有：—>——=>m>l,所以此时，心1；

2'"2f+1

综合①②③④有：m>l

法2：与问题(2)同理，

AX-/n1

易知函数/(同=下口=(2*5+1)+而节-2在夕上单增，

「4f、

故/(X)在xe[l,+00)上的值域为A=2[一,"+1，”，

设g(x)的值域为8,则B^A

函数g(x)=fit%(O,1],则840,1],

因此只需g(X)在Xe(0,1]上的最小值g而“(X)>击]即可.

山于函数g(x)的图象关于…对称，且先增后减，

故当xw[0,l]时，g*(x)=min{g(O),g⑴}2声f，

又gggmin(X)

14f

则必有：8(0)之5转产工=机21，

而当〃亚1,x«0,l]时，

g⑺=6/=*在X目0,1]上递增，此时g*(x)=g(0)=表，

故当且仅当〃后/时，满足81

因此所求范围为me[1,+oo).

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化:

一般地,已知函数y=f(x),xe[a,6],y=g(x),xe[c,d]

⑴若％w[a,句,在€卜,心，总有/(xJ<g(X2)成立，故"X)1mx<g(w)而n;

(2)若依平,句,Hx2G[c,rf],有f(xj<g(w)成立,故〃x)a<g(x2)gx；

(3)若办电,可,Hr,e[c,<7],有/(不卜8卜)成立，故/1(力丽<g(w)114n；

(4)若若％w[a,b],玉2G匕勾,有/&)=8(々)，则f(x)的值域是g(x)值域的子集.

15.(2020•浙江杭州外国语学校高一期中)定义在〃上的函数f(x),如果满足；VxeD,

存在常数">0,使得成立，则称“X)是。上的有界函数，其中,麻为函数“X)的

一个上界，函数〃x)=l+dgj+(；j

(1)若〃=0,g(%)=/(%)-3,判断函数g(x)在[-1,0]上是否为有界函数，说明理由；

(2)若函数“X)年[0,”)上是以7为一个上界的有界函数，求实数a的取值范围.

【答案】(1)是有界函数，理由见解析；(2)[-9,5].

【分析】(1)求出g(x)=&J-2,利用指数函数的性质求得|g(力|42,结合有界函数的

定义可得答案；

(2)问题转化为|/(同归7对任意xe[0,E)恒成立，-8-2'-^J<«<6-2'-fAY,对

xe[。,y0)恒成立，换元后利用函数的单调性求出不等式两边函数的最值即可得答案.

【详解】(1)若a=OJ(x)=l+(；J,g(x)=/(x)-3=^J-2,

.-.g(x)e[-l,2],BP0<|g(x)|<2,

・•・存在常数M=2>0,使得|g(x)|42恒成立，

・・♦函数g(x)在[TO]上为有界函数；

(2)由题意，|〃X)|W7对任意xe[O,”)恒成立，

.•--7</(x)<7,即一741+“出+(；)<7,对xe[0,4<»)恒成立，

.,.-8-[；)46-1()，对xW。，”)恒成'〉：，

一8.2V-出<a<6-2x-^

,对xe［O,m）恒成立,

令，=2*,f.'.-8r-y<a<6f--,对f€［,田）恒成立，

①心6一；对此［1,内）恒成立，只需求y=6r-在［1,”）上的最小值，

又y=6/-；在［1,内）上为增函数，.,.ymirl=6xl-l=5,.•.445；

②“士-即」时，fe［l,+8）恒成立，

只需求y=-8f—;在［1,+00）上的最大值,在［1,+8）任取f1，G，且，|<『2’

=-8/1-----F8f,H—

’I’2

=8&f）+宁

*1*2

=（「弓）-8+；］

\rr2）

,；h<t2,：.tx-r2<0,

••工名e［t+°o）,二他N1,O<；«1,

.,.-8+—<0,

升-%>o，即y>为，

二.函数丁=-沏-；在［l,+oo）上为减函数，

••・%ax=-8x1-1=-9，

/.ciN—9.

综上可得-94445,即实数a的取值范围是［-9,5］,

【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新

模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系

所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心谈题,

分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验

证、运算，使问题得以解决.

16.(2020•湖南师大附中高一期中)已知函数〃x)=e2'+(f+l)e，+f.

(1)当时，求不等式，(x)zo的解集；

(2)若对任意xeR,不等式f(x)<e'(e'+l)+匕-4恒成立，求f的最大值；

(3)对于函数g(x),若V“,仇ceR,g(a),g®,g(c)为某一三角形的三边长，则称g(x)

为“可构造三角形函数”，已知函数g(x)=#W是“可构造三角形函数”，求实数，的

卜+1)

取值范围.

【答案】(1)口,80)；(2)/=-3；(3)2.

【分析】(1)分解因式后转化为指数不等式，利用指数函数的性质求得解集：

(2)分离参数后，构造函数，利用指数函数的性质和复合函数的性质求最小值，从而根据

不等式恒成立的意义得解；

(3)分离常数后，分析可得必有tZO才能保证g(x)>。；其次，必需g(x)2<2g(x)棚,然

后分04r<l,f=l,r>l,讨论得解.

【详解】(1)当r=-e时，不等式/(x)20,即为(e，+l)(e，-e”0,

也就是e'Ne,解得壮1,所以，不等式/("RO的解集为［1,+8)；

（2）不等式/。）<，（，+1）+=1-4即为02，+«+1）蜻+/<靖（靖+1）+-7^-4,

14

化简，即‘(正1y一任而对任意xeR恒成立，

14

记内）=诉许5）-

।r1I2

由于当xcR时，--€（0,1）,则〃（》）=------2-4e（-3,0）.

e+1\_e+\_

所以，4.=-3.

,、f(x)e'+tt—1

(3)由于函数86)=厂1/=/力=1+677是“可构造三角形函数”，

首先，必有-0才能保证g(x)>。;其次，必需g(x)3<2g(x)皿

而当0q<1时，g(x)==1=l+二二'是R上的增函数，则g(x)的值域为(G),

ex+\e+\

由1<2r=L</<i

2

当Ul时，g(x)=l,符合题意；

而当r>l时，g(x)==1=l+=L是R上的减函数，则g(x)的值域为(I"),

e+\.e+1

由f42=l<f42：

综上，fe5,2.

【点睛】本题题关键要熟练灵活运用分离参数和分离常数方法，清楚理解不等式恒成立和

能成立的意义，熟练掌握指数函数的单调性和复合函数的单调性，其中第(3)问中的分类

讨论思想是常用的方法.

17.(2020•广西高一期中)已知函数，(x)=ln(J?工+x)的图象关于原点对称.

(1)求“的值；

(2)若xe［O,l］,不等式/(2・(4'+4-，)-时+/(»(*-21))>0恒成立，求实数垃的取值

范围.

【答案】⑴«=1;(2),*4).

【分析】(1)先根据对称性判断为奇函数，再利用/(x)+f(-x)=0即求得参数值；

(2)先利用已知条件判断Ax)是在R上单调递增的奇函数，再不等式转化成

1,V

2.(4+4-')-/M>2W(2--2),再令f=2=27(04X41),即得

h(t)=2尸+2制-〃:+4>0(04fV恒成立，在讨论对称轴解不等式版'而>0即得结果.

【详解】解：(1)因为“幻的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，

所以7(x)+f(-x)=。，即In(Jx2+a+x)+ln(&+a-x)=lna=O,解得q=i；

(2)易知AM的定义域为R,令g(x)=G7?+x，易证得g(x)在［0,«»)上单调递增，根据

复合函数的性质知Ax)在［0,+«))上单调递增.

又因为/(X)为奇函数，所以/(“)在R上单调递增.

x

y(2(4*+4~)-,n)+f®(2山-))>0在［0,1］上恒成立,

等价于/(2(4,+4,)_.)>/(2,〃(2-*-2*))在［0,1］上恒成立，

即2-(4'+4-j-w>2m(2-t-2x)(*)在［0,1］上恒成立.

3

xx

^t=2-2(0<x<[)f显然，=2*-27(0工尢工1)是增函数，则法0,-

4*+4-*=(2*—2-"1+2="+2,(*)式可化为2产+2制-机+4>0,

令h(t)=2-+2mt-m+4^0<t<,

其图象对称轴的方程为/=-名=-g.

，X乙乙

「3-

①当一m即20时，〃⑴在/£0,|上递增，贝IJ〃⑴而"=〃(0)=4-团>0,解得m<4,

故04"Z<4；

②当即一3<加<0时，h(t)min=h(-^］=-^--m+4>0,解得故

-3<m<0；

③当一畀;，即屋一3时，〃⑴在rjo。]上递减，则顼mi⑶=2根+9>0,解得

174，17,c

m>---,故----<m<-5.

44

综上所述，，"的取值范围为卜

【点睛】本题考查指数型复合函数的综合应用，通过使用换元法转化