函数的性质之单调性(精讲)

[函数的性质之单调性(精讲)

考点1.区间与无穷的概念

【知识点的认识】

设。〈》，①开区间：{^a<x<b]=(a,b)

②闭区间：{x\a^x^b}=[a9h]

③半开半闭区间:{x|qVxWb}=(〃，b]{x|a^x<Z>}=[a,b)

正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没有具体数

字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值.符号为+8.数轴上可表示为向右箭头无限远的

点.

负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一个数字都

小的数值.符号为-8.

{x|Wx}=[a,+°°)

(x\a<x}—(a,+0°)

{小■}=(-8,0

{小<〃}=(-8,〃)

{x|xGR}=(-°O,+8)

【例题1】(2018秋•寻甸县校级期中)区间(0,1)等于()

A.{0,1}B.{(0,1)}C.{x|0<x<l}D.[x\(^ic1)

【分析】根据区间的定义，即可得出区间(0,1)表示的集合是什么.

【解答】解：根据区间的定义知，区间(0,1)等于集合“I0VXV1}.

故选：C.

【点评】本题考查了区间的定义与应用问题，是基础题.

【例题2】(2018秋•潮安区校级月考)下列集合不能用区间形式表示的是()

®A=｛1,2,3,4)

②｛x|x是三角形｝

③｛x|x>l,且xeQ｝

④0

⑤｛x|%,0,或x..3｝

⑥*|2<%，5,xwN｝

A.①②③B.③④⑤C.⑤⑥D.①②③④⑥

【分析】由区间可以表示一个或多个连续的实数集合逐一核对六个集合得答案.

【解答】解：对于①，集合A中的元素是不连续的四个实数，故不能用区间表示；

对于②，所有三角形构成的集合只能用描述法表示，不能用区间表示；

对于③，集合｛x|x>l,且xeQ｝中的元素不连续，不能用区间表示；

对于④，空集中不含任何元素，不能用区间表示；

对于⑤，集合或x..3｝可以区间表示为(-8,01IJ13,+<»)；

对于⑥，集合｛x|2<%,5,xeN｝中的元素不连续，不能用区间表示.

不能用区间表示的有①②③④⑥.

故选：D.

【点评】本题考查区间与无穷的概念，考查集合的表示方法，是基础题.

【例题3】(2020秋•路北区校级期中)集合A=｛x|%,5且衣1｝用区间表示—(ro—DUQ—SL

【分析】由题意利用集合表示法，区间的定义，得出结论.

【解答】解：集合A=｛x|%,5且XH1｝用区间表示为(YO,1)U(1,5J,

故答案为：(-00,1)U(1,5].

【点评】本题主要考查集合表示法，区间的定义，属于基础题.

【例题4】(2018秋•峨山县校级期中)集合｛x|-2,x<l或*>1｝用区间表示为_[-2rl)U(lr+oo)

【分析】由题意利用区间的定义和表示法，得出结论.

【解答】解：集合｛x|-2,x<l或x>l｝用区间表示为[-2,1)D(1,-HO),

故答案为：[-2,1)0(1,+00).

【点评】本题主要考查区间的定义和表示法，属于基础题.

【例题5】（2017秋•沧县校级期中）用区间表示数集｛x|2<%,4｝=_（2-4]

【分析】根据区间的定义，可得答案.

【解答】解：数集｛x|2,4｝=（2,4],

故答案为：（2,4]

【点评】本题考查的知识点是区间的概念，难度不大，属于基础题.

举「反三

【变式1】（2015秋•无为县校级期中）集合｛打工.2｝表示成区间是（）

A.（2,+oo）B.[2,+00）C.（-oo,2）D.（―oo,2]

【分析】根据区间的定义，可得答案.

【解答]解:集合｛x|x..2｝表示成区间是衣,+oo）,

故选：B.

【点评】本题考查的知识点是区间与无穷的概念，难度不大，属于基础题.

【变式2](2014秋•缙云县校级月考)不等式-&,x<15写出区间形式是()

A.(15,-8)B.(-8,15]C.[-8,15)D.[-8,15]

【分析】写成区间形式时，包含端点时用中括号，不包含用小括号.

【解答】解：不等式-的区间形式是[-8,15).

故选：C.

【点评】本题考查了区间的概念，属于基础题.

【变式3](2014秋•清流县校级月考)下列四个区间能表示数集A={x|0,,x<5或x>10}的是()

A.(0,5)U(10.+oo)B.[0,5)U(10,-H»)

C.(5,0||Jll0,+oo)D.[0,5]|J(10,+oo)

【分析】根据区间的定义将集合表示为区间即可.

【解答】解：根据区间的定义可知数集4={》|0,,%<5或x>10}可以用区间[0,5)D(10,+oo)表示.

故选：B.

【点评】本题主要考查区间的定义，比较基础.

【变式4】(2017秋•伊宁市校级月考)集合A={x|x..O且XH1}用区间表示—[0--+8)_.

【分析】根据区间的定义，结合已知中集合4={》|"0且XW1},可得答案.

【解答】解：集合A={x|x..O且xwl}用区间表示为：[0,1)D(1,+oo),

故答案为：[0,1)51，+℃).

【点评】本题考查的知识点是区间法表示集合，难度不大，属于基础题.

【变式5](2015秋•承德校级月考)用区间表示{x|x<0或x..l}=_(-8,0)|J[l

【分析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等于号的用闭区间，不含等于号的用开区间.

【解答】解：{x|x<0或x..l}=(-co,0)UU，+oo)>

故答案为：(-<»,O)|J[1,+00)

【点评】本题考查了区间与无穷的概念，是基础的概念题，关键是注意无穷处应是开区间.

【变式6](2015秋•长安区校级月考)将下列集合用区间表示出来.

(1){x|x..1}=_[1,+00)_.

(2){x|2^ijc8)=.

⑶{yly=-}=-

X

【分析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等于号的用闭区间，不含等于号的用开区间.

【解答】解：(1){X|X..1}=[1,+00).

(2){x|2麴Jr8}=[2,8].

(3){y|y=i)=(-oo,0)D(0,+oo).

x

故答案为：(1)：[1,+oo),(2)：[2,8],(3)：(-00,0)50,+oo).

【点评】本题考查了区间与无穷的概念，是基础的概念题，关键是注意无穷处应是开区间.

知识点精析

考点2.函数的单调性及单调区间

【知识点的认识】

一般地，设函数f（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量XI,

X2,

当X1<X2时，都有了（XI）</（%2）,那么就说函数/（X）在区间O上是增函数；当X1<T2时，都有

/（XI）>/（★）,那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（X）在这一区间具有（严格的）单调性,

【例题1】（2021•河北区学业考试）已知函数f（x）=x2-丘-8在区间[5,20]上具有单调性，则实数左

的取值范围是（）

A.（-oo,10]|Jl40,+oo）B.（-00,-40j|jL-10,+8）

C.[10,+oo）D.[40,+00）

【分析】根据题意，求出二次函数〃x）=x2-质-8的对称轴，结合函数单调性的定义可得2,5或£.20,

22

再求出人的取值范围即可.

【解答】解：根据题意，函数/（x）=f-履-8为二次函数，其开口向上，对称轴为x=t，

若函数=/-履-8在区间［5,20］上具有单调性，

则2,5或£.20,解得幺,10或k.40,

22

所以实数4的取值范围是（-8,10］U（40,+00）;

故选：A.

【点评】本题考查函数的单调性，涉及二次函数的性质，属于基础题.

【例题2】（2021秋•怀仁市校级月考）若函数y=x2+2,nr+l在［2,+oo）上单调递增，则实数m的取值

范围是（）

A.［-2,+oo）B.［2,+00）C.（-oo,2）D.（-oo,2］

【分析】根据题意，求出二次函数的对称轴，结合二次函数的性质可得-科,2,解可得机的取值范围，即

可得答案.

【解答】解：根据题意，函数丫=/+2如+1为开口向上的抛物线，对称轴为*=-,“，

函数y=x2+2〃a+1在［2,+oo）上单调递增，

则—，”,2,解得加..—2,即川的取值范围为［-2,-KO）；

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的性质，涉及函数单调性和单调区间的定义，属于基础题.

【例题3】（多选）如图是函数）=/⑴的图象，则函数f（x）的单调递增区间是（）

【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可.

【解答】解：函数单调递增，则对应图象上升，

则f（x）的递增区间为［-2,-1）,［0,1）,

故选：AC.

【点评】本题主要考查函数单调性的判断，利用是单调性与图象之间的关系是解决本题的关键，是基础题.

【例题4】（2021春•凉州区校级期末）函数/（x）=x3-3x+l的单调减区间为

【分析】求函数的导函数，令导函数小于零，解此不等式即可求得函数y=f-3x+l的单调递减区间.

【解答】解：令r（x）=3f-3<0

解得一1cx<1,

二.函数y=Y一3x的单调递减区间是（-1,1）.

故答案为：

【点评】本题主要考查了学生利用导数研究函数的单调性，一般步骤是先求定义域，然后令/'（x）>0求出

单调增区间，令/'（x）<0求出单调减区间，属于基础题.

【例题5】（2020秋•河西区期末）函数f（x）=3x-x3的单调增区间为

【分析】求出函数的导数，令导数大于0,解不等式即可得到增区间.

【解答】解：函数/（尤）=3x—V的导数为r（x）=3—3V,

令_/”（x）>0,即有d<l,

解得，

则增区间为（-1,1）.

故答案为：（-1,1）.

【点评】本题考查函数的单调区间，考查导数的运用，考查运算能力，属于基础题.

【例题6】（2021春•徐汇区校级月考）函数/（X）=J2x-出的单调递增区间是—[0一]]_.

【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.

【解答】解：^t=2x-x2,则y=«为增函数，

由2犬-/..0,得帽左2,即函数的定义域为[0,2],

函数r=2x-d的对称轴为x=l,

要求/（X）的单调递增区间，即求函数r=2x-x2的单调递增区间，

•门=2x-V的单调递增区间为[0,1],

函数f（x）的单调递增区间为[0,1],

故答案为：[0,1]

【点评】本题主要考查函数单调递增区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本

题的关键.

【例题7】(2020秋•玄武区校级期中)函数y=，--2x_3的递减区间是_(-00递增区间

是—.

【分析】先求出该函数定义域为{xlx,-1,或x..3},可以看出该函数的单调区间和函数y=V-2x-3在定

义域上的单调区间一致，根据二次函数单调区间的求法即可得出该函数的单调区间.

【解答】解：解/一2X-3..0得，用，—1,或X..3；

函数y=/-2x-3在(-co,T]上单调递减，在[3,+8)上单调递增；

该函数的递减区间为(YO,-1J,递增区间为[3,+00).

故答案为：(-00,-1],[3,+00).

【点评】考查解一元二次不等式，复合函数单调区间的求法，以及二次函数单调区间的求法.

【变式1](2020秋•工农区校级期中)函数/(x)=T—的单调递增区间是()

厂-2x

A.(-oo,1]B.(-oo,0),(0,1)C.(-oo,0)U(0,1)D.(l,+oo)

【分析】根据复合函数单调性原则“同增异减”，可得答案.

【解答】解：由「=犬-2》工0,

可知函数开口向上，对称轴x=l,XK0且XH2.

可得(ro,0),(0,1)单调递减，

原函数/(x)的单调递增区间(-oo,0),(0,1).

故选：B.

【点评】本题考查复合函数的单调性：同增异减，注意函数的定义域，考查运算能力，属于易错题.

【变式2】(2020春•天津期末)下列函数中，在(0,+oo)上为增函数的是()

A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=--D.f(x)=—|x|

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,/(x)=3-x为一次函数，在(0,+oo)上为减函数，不符合题意；

对于3,/(x)=V-3x为二次函数，在(0上)上为减函数，不符合题意；

2

对于C,为反比例函数，在(0,”)上为增函数，符合题意；

X

对于。，f(x)=-\x\,当x>0时，.f(x)=-x，则函数f(x)在(0,+8)上为减函数，不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查函数单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题.

【变式3](2020•北京模拟)函数y=J--5x+4的单调递增区间是()

A.[—,+℃)B-[—,4)C.[4>+oo)D.Ll»-),l4,+oo)

【分析】解不等式，求出函数的定义域，再根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可.

【解答】解：令炉-5X+4..0,

解得:乂.4或％,1,

而函数>-5x+4的对称轴是：x=|.

由复合函数同增异减的原则，

故函数y=Jx?-5x+4的单调递增区间是[4,+oo),

故选：C.

【点评】本题考查了求函数的单调性问题，考查二次函数以及二次根式的性质，是一道基础题.

【变式4】(2021•北京学业考试)下列函数中，在区间(0,”)上单调递减的是()

A.y=x2B.y=4xC.y=2xD.y=(；)*

【分析】利用基本初等函数单调性的性质对四个选项逐一判断即可.

【解答】解：对于A,y=V在区间(0,内)上单调递增，故A错误；

对于3,y=6在区间(0,”)上单调递增，故3错误；

对于C,y=2"在区间(0,—)上单调递增，故C错误；

对于O,y=在区间(0,物)上单调递减，故O正确，

故选：D.

【点评】本题考查基本初等函数单调性的性质与判断，属于基础题.

【变式5]（多选）（2020秋•梅州期末）下列函数中，在区间（0,”）上单调递减的是（）

A.y=xB.y=-C.y--x2D.y=（^）x

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y=x,是正比例函数，在区间（0,内）上单调递增，不符合题意，

对于B,y=~,是反比例函数，在区间（0,长0）上单调递减，符合题意，

x

对于C,y=是开口向下，对称轴为y轴的二次函数，在区间（0,位）上单调递减，符合题意，

对于。，y=是指数函数，在区间（0,收）上单调递减，符合题意，

故选：BCD.

【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题.

【变式6]（2019秋•徐汇区校级期中）函数/。）=-丁+2》的单调递增区间为_（YO「1]一

【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得/（X）的对称轴以及开口方向，结合二次函数的性质分析可得

答案.

【解答】解：根据题意，/（X）=-X2+2X=-（X-1）2+1,是开口向下的二次函数，其对称轴为x=l,

故/（幻的单调递增区间为（-8,1]：

故答案为：（-8,1].

【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及二次函数的性质，属于基础题.

【变式7】（2020•通州区校级开学）函数/（》）=—/+2|x|+3的单调减区间为—[TJ0L[1J+OO）_.

【分析】讨论x>0,x<0,从而去掉绝对值号，在每种情况下，根据二次函数的单调区间的求法写出每种

情况的/（x）的单调减区间即可得出了（x）在R上的单调减区间.

【解答】解：（1）x>0时，f（x）=-x2+2x+3；

此时f（x）的对称轴为x=l;

此时/（X）的减区间为[1,+00）;

(2)x<0时，f(x)=-x2-2x+3；

/(X)此时的对称轴为X=-1；

此时/(%)的减区间为[-1,0]；

综上得，/(x)的单调减区间为[-1,0],[1,+00).

故答案为:[-1,0],[I,+oo).

【点评】考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性及单调区间，二次函数的对称轴，

要熟悉二次函数的图象.

【变式8](2019秋•思明区校级期中)函数f(x)=x\x-2\的单调减区间为_口_2]_.

【分析】根据所给的带有绝对值的函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性

即可得到减区间.

【解答】解：当x>2时，f(x)=x2-2x,

当用,2时，/(x)=-x2+2x,

这样就得到一个分段函数/(x)=厂：2x'x>2.

[-X2+2元及,2

/(x)=9-2x的对称轴为：x=\,开口向上，x>2时是增函数；

f(x)=-x2+2x,开口向下，对称轴为x=l,

则x<l时函数是增函数，l<x<2时函数是减函数.

即有函数的单调减区间是[1,2].

故答案为：口，2].

【点评】本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，可以通过

函数的性质或者图象得到结果.

知识点精析

考点3.函数单调性的性质与判断

【知识点的认识】

一般地，设函数/(X)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量XI,

X2,

当X1<X2时，都有一(XI)</(X2),那么就说函数f(x)在区间O上是增函数；当加>暇时，都有

/(XI)<f(X2),那么就说函数/(X)在区间。上是减函数.

若函数/(X)在区间。上是增函数或减函数，则称函数/(X)在这一区间具有(严格的)单调性,

区间D叫做y=/G)的单调区间.

7

【例题1】(2021•四川模拟)已知函数f(x)==(xe［2,6］),贝I")

x-1

A./(x)是单调递增函数B.f(x)是奇函数

C.函数f(x)的最大值为/(2)D.f(3)<f(4)<f(5)

【分析】根据题意，先分析f(x)的单调性，据此分析选项，即可得答案.

【解答】解：根据题意，/(x)=^(xe［2,6］),在区间［2,6］上，/&)为减函数,

x-1

据此分析选项：

对于A,/(x)在区间［2,6］上为减函数，力错误；

对于3,f(x)的定义域为［2,6］,不是奇函数，3错误；

对于C,f(x)在区间［2,6］上为减函数，则八幻的最大值为/(2),C正确；

对于O,f(x)在区间［2,6］上为减函数，则/(3)>f(4)>f(5),O错误；

故选：c.

【点评】本题考查函数的单调性和最值，注意分析函数的单调性，属于基础题.

4

【例题2】(2021春•白城期末)设函数/(x)=,nr+—+2在(0,+oo)上的最小值为7,则/(幻在(ro,0)上

X

的最大值为()

A.-9B.-7C.-5D.-3

【分析】令g(x)=/nr+g,则g(x)是定义域内的奇函数，由已知结合奇函数的性质即可求得了⑶在(-oo,0)

X

上的最大值.

【解答】解：令g(x)=;nr+q,则g(x)是定义域内的奇函数，

X

4

,Jf(x)=2+2在(0,丑0)上的最小值为7,g(x)在(0,内)内的最小值为5,

x

可得g(x)在(YO,0)上的最大值为-5,

贝ij/(x)在(-oo,0)上的最大值为—5+2=-3.

故选：D.

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数奇偶性的应用，考查化归与转化思想，是中档题.

【例题3】(多选)(2020秋•锦州期末)已知函数f(x)的定义域是［-1,5］,且.f(x)在区间［-1,2)±

是增函数，在区间［2,5］上是减函数，则以下说法一定正确的是()

A.f(2)>f(5)

B./(-1)=/(5)

C./(x)在定义域上有最大值，最大值是/(2)

D./(0)与/(3)的大小不确定

【分析】结合函数的单调性及函数是否在x=2处连续分别检验各选项即可判断.

【解答】解：因为在区间［2,5］上是减函数，故f(2)>f(5)成立，A正确；

因为/(x)在区间［-1,2)上是增函数，在区间［2,5］上是减函数，但在x=2处不一定连续，故无法比较/(0)

与/(3)的大小，3不正确，。正确，

当函数在x=2处连续时，x=2处函数的最大值，当函数在x=2处不连续时，x=2时，函数不能取得最大

值，C错误；

故选：AD.

【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值关系的判断，属于基础题.

【例题4】(多选)(2021•芝景区校级开学)若函数/(x)="+(”>0且axl)在A上为单调

［3+(〃—l)x,x<0

函数，则。值可以是()

A.-B.-C.>/2D.2

33

【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可.

【解答】解：•.•函数Ax)」""、'"'。(a>0且axl)在R上为单调函数，

l3+(n-l)x,x<0

a>1

①当/(九)为增函数时，则,

。+L.3

0<«<1

②当为减函数时，则<a-l<0,「.0vQVl,

3..ZZ+1

综上，“值可以是1或2或2.

33

故选：ABD.

【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键.

【例题5】(2018秋•鼓楼区校级月考)函数的单调增区间为_(-1,0)和U—+8)一

【分析】由题意画出/(x)的图象，数形结合，可得它的单调增区间.

【解答】解：函数/3=卜-1|=｛：］；：%二-1,

如图所示：

故它的单调增区间(-1,0)和口，+00),

故答案为:(-1,0)和［1,+00).

【点评】本题主要考查函数的单调性、函数的图象，属于中档题.

【例题6】(2020秋•杨浦区校级期末)若函数f(x)=*-在区间(0,+oo)是严格增函数，则实数。的取

x+1

值范围是_(0,+oo)_.

【分析】根据函数的单调性的定义证明即可.

【解答】解：设

则/a)-/(x,)=Rax2*一々)

X,+1x2+\(X1+l)(x,+1)

若函数f(x)=工在区间(0,+oo)是严格增函数，

X+1

则/(国)-〃々)=「：'、尸)>0,

a+i)(刍+i)

x,+1>0,jc2+1>0,-x2>0,

.'.a>0,

故答案为：(0,+oo).

【点评】本题考查了函数的单调性的定义，考查定义的应用，是一道基础题.

(2020秋•喀什市校级期末)已知

【例题7】是定义在R上的减函数，那么。的

取值范围是[-,-).

-7-3一

【分析】由题意可得由此求得.的取值范围•

【解答】解：由于是定义在R上的减函数，..他一：。

[-X+l,x.l[(3〃-1)+4a..-1+1

求得

73

故答案为：,g).

【点评】本题主要求函数的单调性的性质，属于基础题.

【例题8】(2021•三元区校级开学)已知函数人幻=:4，xe[3,5].

(1)判断函数/(x)的单调性，并证明；

(2)求函数f(x)的值域.

【分析】(1)判断函数f(x)是定义域[3,5]上的单调增函数，用定义证明即可;

(2)根据函数/(x)在定义域[3,5]上的单调性求出最值，即可求出/(x)的值域.

【解答】解：(1)函数/*)=士1=1一一—,xe[3,5],

x+2x+2

函数f(x)是定义域[3,5]上的单调增函数，证明如下：

任取内、毛€[3,5],且王<々，贝iJ/(X|)—/(x)=(l——^—)-(1——一：、/“：、

2%+2马+2(西+2)(犬2+2)

因为琛％<入25,所以％-工2<0，%+2>0,x2+2>0,

所以/(5)-r(w)<0,即/&)</(/)，

所以/(x)是定义域[3,5]上的单调增函数；

(2)因为函数/(%)是定义域[3,5]上的单调增函数,

3-12

且/(3)

3+25

f(5)5-1!-=-4；

5+27

所以/(X)的值域是［|,yl.

【点评】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是基础题.

举一反三

【变式1](2021春•瑶海区月考)设函数/")=卜'-3'，％，",若“幻无最大值，则实数〃的取值范围

[-2x,x>a

是()

A.(TO,—1)B.(-oo,-1JC.(-oo,2]D.(-1,2]

【分析】利用分段函数的解析式，作出函数8。)=与1-3;1:直线〃(x)=-2x的图象，利用导数研究函数g(x)

的性质，结合图象分析求解即可.

【解答】解：因为八幻=卜,-3乐苍,J

[-2x,x>a

作出函数g(x)=与x3-3x直线〃(x)=-2x的图象，

它们的交点时A(-l,2),0(0,0),B(l,-2),

由g'(x)=3f—3,则令g，(x)=0,可得x=—l或x=l,

当x<-l或x>l时，g\x)>0,则g(x)单调递增，

当时，g'(x)<0,则g(x)单调递减，

所以x=-1是g(x)的极大值点，x=1是g(x)的极小值点,

由图象可知，当...-1时，f(x)有最大值f(-l)=2,

当a<-l时，有/一3a<-2a,此时/(x)无最大值，

故实数。的取值范围为(-oo,-l).

故选：A.

【点评】本题考查了函数最值的理解和应用，分段函数的理解和应用，解题的关键是利用数形结合法转化

为两个函数图象的关系进行研究，考查了逻辑推理能力，属于中档题.

。11

【变式2](2021•江苏一模)若〃x)=x是R上的单调函数，则实数。的取值范围为

-x+3a,x<1

4-oo)_•

qxi

【分析】若/(x)=X是R上的单调函数，根据第二段函数为减函数，故第一段也应该为减函数，

一x+3a,x<1

且x=l时，第二段的函数值不小于第一段的函数值，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得实数。的

取值范围.

【解答】解：•."(x)=3"是R上的单调函数，

-X4-3«,X<1

广，

1—1+3a..u

解得：a」，

2

故实数a的取值范围为［L+00),

2

故答案为：［；,+00)

【点评】本题考查的知识点是分段函数的单调性，其中根据已知构造关于。的不等式组，是解答的关键.

【变式3】(2020秋•金安区校级月考)已知=:3)x+7a-2,x<l在R上单调递减，则实数。的

［-ax~+x,x..1

取值范一围是_停9,3)_.

【分析】当函数y=(a-3)x+7〃-2在(YO,1)上单调递减，且函数y=-62+*在(l,+oo)上单调递减，且分段

点处左边界不小于右边界时，单调递减.

【解答】解：若函数y=3-3)x+7a-2在(-8,1)上单调递减，则”一3<0,得”3；

一。<0

若函数y=-ax2+x在(1,内)上单调递减，则1,得

丁,，12

2a

a<3

故，若/(x)在R上递减，贝IJ,解得$,a<3.

(a—3)+7a—2…—a+1

故答案为：［2,3).

3

【点评】本题考查利用函数单调性求参数，属于基础题.

【变式4］(2020秋•鼎城区校级期中)/(x)是定义在R上的单调递减函数，且/(7-加)</(2加+1),

则实数机的取值范围是_(-oo,2)

【分析】由已知结合函数的单调性即可直接求解.

【解答】解：因为/(x)是定义在R上的单调递减函数，且/(7-加)<〃2加+1),

所以7—机>2m+1,

解得，m<2.

故答案为：(YO,2).

【点评】本题主要考查了函数单调性在求解不等式中的应用，属于基础试题.

【变式5】(2020秋•沙市区校级期中)已知函数/(x)=x|x|,若/(2〃+1)../(4-〃)，则a的取值范围是

[1,-KX))_.

【分析】画出函数/(X)的图象，结合函数的单调性得到关于〃的不等式，解出即可.

fx0

【解答】解：由题意f(x)=,

-x",x<0

显然函数f(x)在R递增，

若/(2a+l)../(4—a),

贝i]2a+L.4-a,解得：a.A,

故答案为：[1,-HO).

【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查转化思想以及数形结合思想，是一道基础题.

【变式6](2020•和平区校级开学)函数y=-x?+4x+3,xe[0,3]的单调递增区间是_[0-2]

【分析】由已知结合二次函数的性质即可直接求解.

【解答】解：根据二次函数的性质可知，y=-f+4x+3的开口向下，对称轴x=2,

所以3]的单调递增区间[0,21，

故答案为：[0，2]

【点评】本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题.

【变式7](2021•江州区校级开学)已知f(x)=x+±

(I)证明：/(x)在[2,+8)单调递增;

（II）解不等式：f（x2-2x+4）„f（7）.

【分析】（/）用定义证明函数的单调性即可.

（〃）由（/）知函数/（x）在[2,+8）上单调递增，利用函数单调性，由y值的大小转化为比较x的大小即可.

【解答】证明：（/）▼%，x2G[2,4-00）,且大<%2，

则/（与）-/。,）=%+巴一电一3=宜二里匆上二少，

X]x2x1x2

x2G[2,+8）,/.—4>0,x1x2>0,又,.•X]VJC2,

..（3一3）（平2-4）<。即八大）</（马），

中2

.•./3）在[2,+8）单调递增.

解：（//）•.,x2-2x+4=（x-1）2+3..3,x2-2x+4e[2,+oo）,

在[2,+oo）单调递增，所以要使f，-2x+4）,J（7）,

则要使％2-2x+4,,7,即丁-2x-20,3,

.・.不等式/，-2x+4）,J（7）的解集为[-1,3].

【点评】本题考查函数的单调性的判断及应用，考查运算能力，属于基础题.

【变式8】（2020秋•温州期末）已知函数7•（X）=X2-X+4-2（X>0）.

X

（I）用定义证明/（尢）在（0,1）内单调递减；

（II）证明/（X）存在两个不同的零点内,，且玉+%>2.

【分析】（I）利用函数单调性的定义进行证明即可.

（II）判断当X>1时为增函数，利用函数与方程的关系，结合零点存在定理判断两个零点的范围进行判断

即可.

【解答】解：（I）设0<%<工2<1，

则/（玉）—/（毛）=片—玉----2—x^+x,-------i"2=x；—x；+X,—x,H-------=（玉+々）（玉一乂）+（工2一N）+-

X1--工2大工2'X|X2

=（工2一%）口■*------（芭+工2）]

g

•/0<X]<x2<1,

x2-xi>0,O<X|X><1,0<Xj4-x2<2,>1,

中2

则1H------（%+X2）>0，

%七

即（巧）>0,得/（芭）>/（入2），即/。）在（0,1）内单调递减.

（II）证明:同理可知当％>1时,/（©在（l,+oo）上为增函数,

f（1）=1-1+1-2=-1<0,

f(2)=4—2+——2=—»

22

必有一个根不£（g，1）,另外一个根/七弓，2）,

13

则百+£>—+^=2.

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，以及函数单调性的判断，利用函数单调性的定义以及利用函数

与方程的关系结合函数零点判断条件是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.

知识点精析

考点4.函数的最值及其几何意义

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点

或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得.

（啰・例题精讲

【例题1】（2020秋•连云港期末）函数y=x+*_,xe（-2,+oo）的最小值是（）

x+2

A.4B.6C.8D.16

【分析】利用基本不等式即可求解最小值.

【解答】解：函数丫=%+旦=》+2+工-2..2、/（》+2）-^--2=6,当且仅当x+2=4,即x=2时，取

x+2x+2Vx+2

等号；

故选：B.

【点评】本题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式的性质即可求解，属于基础题.

【例题2】（多选）（2020秋•雨花区校级月考）若xeR,/*）是y=2-V,y=x这两个函数中的较小

者，则/（%）（）

A.最大值为2B.最大值为1C.最小值为-1D.