专题3-18 函数中的折叠问题（巩固篇）-【挑战满分】2023年中考数学总复习精练

专题3.18函数中的折叠问题(巩固篇)

一、单选题

1.如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、0C分别落在x轴，y轴

上，连0B,将纸片OABC沿0B折叠，使点A落在A，的位置，若0B=逐，tanZBOC-y,

则点A，的坐标()

2.如图，已知点A的坐标为(-3,9),过点A作x轴的垂线交x轴于点B,连接A。，现

将AABO沿A。折叠，点8落在第一象限的8，处，则直线与x轴的交点。的坐标为()

A.(5,0)B.C0亚。)D.

3.在平面直角坐标系中，直线y=-^x+5与x轴、y轴分别交于A、B两点，点

C(0,a)(0<a<5)是y轴上一点.把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则a

值为().

12r5-13-5

A.—B.—C.—D.—

512513

4.如图菱形。4BC,在平面直角坐标系中，点A(8,0),ZC=60°,点P为。4上的一

点，且点尸(3,0),。是BC边上的一个动点，将四边形OPQC沿直线P。折叠，0的对应

点。'，当80'的长度最小时，则点0的坐标为()

A.(-1,46)B.(-2,4+)C.(-3,4用D.(0,44)

5.如图，在Rt_ABC中，ZABC=90°,AB=2BC=4,动点P从点A出发，以每秒1

个单位长度的速度沿线段A8匀速运动，当点P运动到点8时，停止运动，过点尸作

交AC于点。，将△APQ沿直线P2折叠得到aA/Q,设动点P的运动时间为1秒，4尸。与

43c重叠部分的面积为S,则下列图象能大致反映S与f之间函数关系的是（）

6.将抛物线y=x2-2x-3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为()

A.y=-x2+2x+3B.y=-x2-2x-3C.y=x2+2x-3D.y=x2-2x+3

7.如图，矩形ABC。中，AB=3,8C=5,点尸是BC边上的一个动点（点P不与点8,

C重合），现将△PC。沿直线PO折叠，使点C落下点。处；作N8PG的平分线交AB于点

E.设8P=x,BE=y,那么y关于x的函数图象大致应为（）

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形0ABe的边OC、Q4分别在x轴和y轴上,

。4=5,点。是边A8上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线。。折叠后得到△047）,

9.如图，以矩形OABC的长0C作x轴，以宽。4作y轴建立平面直角坐标系，

OA=4,OC=8,现作反比例函数y=A(ZwO)交BC于点E,交4?于点F,沿EF折叠，点

X

B落在OC的点G处，OG=3GC,则上的值是()

A.8B.12C.15D.16

10.如图，矩形AOBC的两条边OA,。8分别落在x轴、y轴上，A点坐标为(-8,0),

B点坐标为(0,10),点。在线段3c上，沿直线AZ)将矩形折叠，使点C与》轴上的点E重

合，则点。的坐标为()

V

A.(-3,10)B.(TIO)C.(-5,10)D.(3,10)

二、填空题

12

II,如图，在平面直角坐标系中，直线y=-《X+12,与y、X轴分别相交于A、8两点,

将.AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在X轴负半轴上的点4处，，折痕所在直线交y轴

正半轴于点C.把直线AB向左平移，使之经过点C,则平移后直线的函数关系式是

12.如图，在直角坐标系中有一矩形A8C£>,A8在y轴上，且A8=4,AO平行于x轴,

且A£>=5,将矩形ABC。沿。。折叠，使得点A落在BC边上的点E处，P是x轴上一动点,

则PA+PD的最小值为.

13.如图，抛物线y=-x?+x+6交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，交N轴于点C,点

。是线段AC的中点，点P是线段A8上一个动点，沿OP折叠得△APQ,则线段A'B

的最小值是.

14.在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)jg经过原点0,与x轴的另一个交点为A.将

抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象

组成的新图象记为G,过点B(0,l)作直线1平行于x轴，当图象G在直线1上方的部分对应的

函数y随x增大而增大时，x的取值范围是—.

15.将抛物线y=-x2-4x(-4WxS0)沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y=x+b

与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为.

16.如图，在平面直角坐标系中，矩形A8CO,点3(10,8),点。在8c边上，连接A。，

把△ABO沿AD折叠，使点8恰好落在OC边上点E处，反比例函数的图像经过点。，则k

17.如图，把面积为1的正方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点B、C在x轴

上，A、D和B、C关于y轴对称将C点折叠到y轴上的C处，折痕为BP,现有一反比例

函数的图象经过P点，则该反比例函数的解析式为.

18.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，OA=8,点D为对角

线OB的中点，若反比例函数y=2在第一象限内的图象与矩形的边BC交于点F,与矩形

X

边AB交于点E,反比例函数图象经过点D,且tan/BOA=g,设直线EF的表达式为

y=k2X+b.将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕与x轴正半轴交于点H,与y轴正半轴交

于点G,直接写出线段OG的长.

三、解答题

19.如图，在直角坐标系中，长方形纸片A8CO的边AB〃CO,点3坐标为(9,3),若

把图形按如图所示折叠，使8、。两点重合，折痕为EF.

(1)求证：。瓦■为等腰三角形；

(2)求EF的函数表达式

(3)求折痕EF的长.

20.如图，矩形4JCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(-12,16),矩

形A8CO沿直线8。折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与Q4、x轴分别交于

点D、F.

(1)直接写出线段。8的长；

(2)求直线8。解析式；

(3)若点N在直线BO上，在x轴上是否存在点M,使以M、N、E、。为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

21.已知：如图，抛物线y=-x2+foc+c经过原点。，它的对称轴为直线x=2,动点P

从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向下运动，设动点P运动的时间

为/秒，连接0P并延长交抛物线于点8,连接。4,AB.

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)当三点A,O,B构成以为0B为斜边的直角三角形时，求f的值；

(3)将，沿直线P8折叠后，那么点A的对称点A能否恰好落在坐标轴上？若能，

22.矩形0A8C的顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上，点尸是边8C上的一个动点(不

与点、B,C重合)，过点F的反比例函数y=、(x>0)的图象与边AB交于点E(8M),A8=4.

(1)如图1,若BE=34E.

①求反比例函数的表达式；

②将矩形0ABe折叠，使。点与F点重合，折痕分别与x,y轴交于点H,G,求线段

0G的长度.

(2)如图2,连接。凡EF,请用含机的关系式表示0AE尸的面积，并求。的面积

的最大值.

23.如图，二次函数yugd+bx+c与x轴交于。(0,0),A(4,0)两点，顶点为C,连接

0C、AC,若点B是线段上一动点，连接BC,将，A5C沿BC折叠后，点A落在点A的

位置，线段A'C与x轴交于点。，且点。与0、A点不重合.

(1)求二次函数的表达式；

(2)①求证：.；

②求”的最小值；

24.矩形A03C中，0B=4,0A=3.分别以05、04所在直线为x轴、y轴，建立如

图1所示的平面直角坐标系.尸是8C边上一个动点(不与8、C重合).过点尸的反比例函

数(左＞0)的图象与边AC交于点E.

X

(1)当点尸运动到边BC的中点时，点E的坐标为；

(2)连接EF求NFEC的正切值；

(3)如图2,将ACEF沿EF折叠，点C恰好落在边08上的点G处，求BG的长度.

参考答案

1.C

【分析】即求4点关于。8的对称点的坐标.通过解方程组求解.

解：：tan/80C=；,：.OC=2BC.

VOC2+BC2^OB2=5,，8C=1,0C=2.

所以4(I,0),B(1,2).

直线08方程：y-2=2(x-1),4和A关于08对称，假设4(初，yo),AA'中点为M

(x,y),则后1,y=等.

22

VM(x,y)在直线OB：y-2=2(x-1)上，二/-2=2(-1),即y(f=2(^1).

22222

xo+yo=OA'=OA=lf/.A7?+4(XO+1)=1,5xcr+Sxo^3=O.

A.3

解得：xo--1或者xcr--,

当xo=-1时，yo=O,不合题意，舍去；

当xo=-1时，yo=y•

所以人('美3),4

故选C.

【点拨】主要考查了坐标与图形的性质，矩形的性质和翻折变换，三角函数的运用以及

一次函数的应用.要熟练掌握才会灵活运用.

2.D

【分析】根据对称性得至IJNBAONCAO,由A8〃y轴得/COA=/8A。,可推出CA=CO,

再根据勾股定理即可求得0C,进而求出直线解析式即可得结论.

解：根据翻折可知：

O

ZBAO=ZCAO9ZABO=ZAB'O=90,AB=AB=9,OB'=OB=3.

•・・A3J_x轴，

・・・A8〃y轴，

：.ZBAO=ZCOA,

：.ZCAO=ZCOAf

:・CA=CO,

设C4=x,则C。=x,C8=9-尤，

在RS0C8中，根据勾股定理，得

2

O^OB'^B'C,即/=32+(9-X)2,

解得：x=5,

：.OC=5,

AC(O,5),

设直线AO解析式为产奴+4

将A(-3,9),C(0,5)代入，得

b=5,-3k+5=9,

解得：k=~1，

直线AO解析式为y=-gx+5,

当-0时,x=—,

二力点的坐标为(二，0).

故选：D.

【点拨】本题考查了等腰三角形的判定、翻折变换、勾股定理，解决本题的关键是根据

勾股定理求得OC的长.

3.A

【分析】过C作COJ_48于。，先求出A,8的坐标，分别为(12,0),(0,5),得至"

A8的长,再根据折叠的性质得到4c平分/0A8,得到CD=CO=a,0A=04=12,则DB=13-12=1,

BC=5-a,在必△BCD中，利用勾股定理得到。的方程，解方程求出〃即可.

解：过C作CD_LA8于。，如图，

对于直线'=一亮x+5,

当.v=0,得产5,

当y=0,x=12,

.'.A(12,0),B(0,5),即0A=12,0B=5,

."8=doA+OB?=,122+5?=13•

又・・♦坐标平面沿直线AC折叠，使点3刚好落在x轴上，

・・・AC平分NO4B,

：.CD=CO=a.则8。=5-〃，

.\DA=OA=\2,

/.DB=13-12=1,

在放aBCO中，DC2+BD2=BC2,

/.n2+l2=(5-6()2,

解得斫?12，

故选:A.

【点拨】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令户0或)=0,求对应的

y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理.

4.C

【分析】连接BP,设BC交)，轴于T,首先求出P8的长，由题意，当点0,落在8尸上

时，8。'的值最小，此时/OPQ=ZQPB,证明8。=8P=7,可得结论；

解：如图，连接8P,设8c交y轴于T.

：.OA=OC=BC=S,

VZC=60°,ZOTC=90°,

.・.CT=；OC=4,OT=[OC2_CT2=7^^=48，

：.B（4,4百），

•:P（3,0）,

:・PB=Ji?+（4A^）=7,

,:OP=PO'=3,

.••当点O'落在3P上时，30'的值最小，此时NOPQ=NQP"

■:BC//OA,

:・/BQP=/OPQ,

:.NBPQ=/BQP,

:,BQ=BP=7,

：.CQ=BC-BQ=8-1=\,

：.Q(-3,4回；

故选：C.

【点拨】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形对称变化，翻折变换，等边三角形的

判定与性质，准确计算是解题的关键.

5.D

【分析】由题意易得—anNA=g,则有PQ=?,进而可分当点尸在A8中点

的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可.

解：VZABC=90°,AB=2BC=4,

tanZA=—,

2

由题意知：AP=f,

PQ=AP.tanNA=5,

由折叠的性质可得：A'P=AP,ZAPQ=ZA'PQ=90°,

当点。与43中点重合时，则有1=2,

当点P在AB中点的左侧时，即0Wf<2,

.♦.“A'PQ与ABC重叠部分的面积为S4P/0=；入；1=(»；

当点尸在A8中点的右侧时、即2WY4,如图所示：

由折叠性质可得：=AP=t,ZAPQ=^A!PQ=90°,tan乙4=tanNA=；,

・・・BP=4-r,

A'3=2r-4,

，8£>=A0tanZA'=f-2,

二A'P。与一4?C重叠部分的面积为

S）«“，2=；（BO+PQ）.M=；（5+f-2）（4T）=-$2+4r-4；

综上所述：能反映.A'PQ与重叠部分的面积S与1之间函数关系的图象只有D选

项；

故选D.

【点拨】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函

数是解题的关键.

6.A

【分析】利用原抛物线上的关于X轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数

就可以解答.

解：抛物线y=x2-2x-3关于X轴对称的抛物线的解析式为：-y=x2-2x-3,

HPy=-x2+2x+3,

故选A.

【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的

坐标特点.

7.C

解：由翻折的性质得，/CPD=/CPD,

〈PE平分NBPCi,

：./BPE=/CiPE,

.・・NBPE+NCPD=9。。,

VZC=90°,

,ZCPD+ZPDC=90°,

:.NBPE=NPDC,

又・・・/8=NC=90。，

：・4PCDs/\EBP,

.BEPB

**PC-CD*

即“

：.y=-x(5-x)=--(x--)2+竺,

-33212

・•・函数图象为C选项图象.

故选C.

【点拨】考点：动点问题的函数图象、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质

8.B

【分析】过/V作EF_LOC「R交设则。尸=加,4尸=〃，通过证

m_n_o

明4Ao/S.DYE,得到。=—5=3,解方程组求得加、〃的值，即可得到A，的坐标,

m—

3

代入y工0）即可求得k的值.

解：过今作EFJLOC于凡交AB于E,

：.ZOA,F-hZDA,E=90°.

NOA/+Z/VO/=90。，

.•・ZDAE=ZAOF,

,：ZAFO=ZDEA;f

：...AOFsD4，E,

.OFA'FOA'

"^E~~DE~7JD

设4(见〃),

OF=肛A'F=n,

由折叠得：OA=OA,AD=AD,

:0A=5，点。是边AB上靠近点A的三等分点,

OA:OAAB个

：.OA=BC=AB=5AD=--;—--=3,

f3A'DADAD

DE=tn—,

3

易得四边形。心是矩形,

・•・EF=OA=5,

f

・•・AE=5-nf

mA-

­­5-n

tn——

3

解得：m=3,n=4,

：.N(3,4),

•反比例函数y=：(/HO)的图象经过点”,

.•.々=3x4=12,

故选：B.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形

的判定和性质等知识，求得4的坐标是解题的关键.

9.B

【分析】根据0G=3GC且0C=8可求得GC的长，根据折叠的性质得BE=EG,CE=x,

贝ijBE=EG=4-x,在RfAECG中根据勾股定理可求得CE的长，从而求得点E的坐标，即可求

得答案.

解：'：0G=3GC,0C=8,

：.GC=2,

根据折叠的性质得BE=EG,

设CE=x,则诋EG=4-x,

♦.•四边形0A8C是矩形，

・・・NOCB=90。,

在即AECG中，EG2=GC2+CE\即(4—X)2=2?+/,

3

解得：x=],

3

・•・点七的坐标为(8,y),

3k

将(8,；)代入y=2,

2x

3

攵=8x—=12,

2

故选：B.

【点拨】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，还考查了矩形的性质，折

叠的性质，勾股定理，利用勾股定理求得点E的坐标是解题的关键.

10.A

【分析】设。。=再确定33=8・羽再求解3E=4,再利用勾股定理列方程求解即可.

解：矩形AO3C,A点坐标为(—8,0),5点坐标为(0,10),

\OA=BC=8,AC=OB=lO,

设CO=x,

结合对折可得：

CD=DE=x,AC=AE=lO,

\OE=J102-82=6,BE=4,而BD=8-x,

由勾股定理可得：X2=(8-x)2+42,

解得：x=5,

\80=3,0(-3,10).

故选A

【点拨】本题考查的是坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理的应用，矩形的性质，熟

练的利用轴对称的性质确定相等的边是解本题的关键.

1210

11.y=--x+—

53

【分析】先求得48的坐标，然后由勾股定理求出A3,再由折叠的性质得出

AB=AB=13,求得4(一8,0),在RtZXA'OC中，根据勾股定理HC?=OC?+A'O),列出方

程，解方程即可求得点C的坐标，即可求得平移后的解析式.

12

解：•.•直线y=-1x+12,与八x轴分别相交于A、B两点，

令x=0,解得y=12,令y=0,解得x=5,

.-.4(0,12),8(5,0),

ACM=12,08=5,

；ZAOB=ZAOC=90°,

■■AB=^O^+OB1=V122+52=13-

A'B=AB=]3,

4(-8,0),

设OC=x,

A'C=AC=12-x,

在RlA/TOC中，

A'C2=OC2+A'O2,

BP(12-X)2-X2+82,

解得x=?，

.••平移后的直线的解析式为y=-日龙+号.

故答案为：'=_£彳+与

【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交

点，求得点c的坐标是解题的关键.

12.572

【分析】根据矩形的性质得到BC=4O=5,CD=AB=4,ZBAD—ZC—ZAA?C=90°,

根据折叠的性质得到DE=AD^5,/£>EO=/BAO=9(T,OE=AO,根据勾股定理得到CE,

求得BE=2,根据勾股定理得到0A,作点4关于x轴的对称点4,连接DY交x轴于尸，

则布+尸。的值最小，根据勾股定理即可得到结论.

解：；四边形4BCO是矩形，

：.BC^AD=-5,CO=4B=4,NC=NA8C=90°,

•••将矩形ABCD沿0D折叠，使得点A落在BC边上的点E处，

：.DE=AD=5,NDEO=NBAD=90°,OE=AO,

・•・CEVDP-CD2=6_42=3,

BE=2,

,/OE2=OB2+BE2,

二OH=（4-OA）2+22,

/.0A=—,

2

作点4关于x轴的对称点4,连接04交x轴于P,则以+尸力的值最小,

则04=04=2.5,

.•.A4'=5,

二川+的最小值=A'D=752+52=50,

故答案为：572.

【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理，正确地找到

点P的位置是解题的关键.

13.5-Vio##->/io+5

【分析】先根据抛物线解析式求出点A,B,C坐标，从而得出。4=2,OB=3,OC=6,

再根据勾股定理求出AC的长度，然后根据翻折的性质得出A，在以。为圆心，A4为半径的

圆弧上运动，当D,4,B在同一直线上时，碗最小；过点。作垂足为E,由

中位线定理得出DE,0E的长，然后由勾股定理求出80,从而得出结论.

解：令y=o,则一%2+%+6=0,

解得者=-2,x2=3,

A（-2,0）,8（3,0）,

OA—2,OB—3,

令兀=0,则y=6,

.•.C（6,0）,

OC=6,

AC=拒+62=2而,

。为AC中点，

£>A=DC=VlO>

^APD由△APD沿。尸折叠所得，

:.DA=DA',

A'在以。为圆心，DA为半径的圆弧上运动,

二当。，4,5在同-一直线上时，碗最小，

/.AE=OE=1,DE=3,

1.BE=4,

.-.BD=y/32+42=5-

又DA=DA'=y/lQ,

3A'的最小值为5-710,

故答案为：5->/10.

【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知

识，关键是根据抛物线的性质求出A,B,C的坐标.

14.l<x<2或x>2+近.

【分析】先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象计算可得对应取值范围.

解：由题意可得抛物线：y=；(x-2)T，

对称轴是：直线x=2,由对称性得：A(4,0),

沿x轴折叠后所得抛物线为：y=-；(x-2)?+：；

如图，由题意得：

14

当y=l时，-(x-2)2-=l,

解得：X\=2+S,X2=2-币,

/.C(2-V7,l),F(2+>/7,1),

14

当y=i时,-3(x-2)2+fi,

解得：XI=3,X2=1,

.,.D(1,1),E(3,1),

由图象得：图象G在直线1上方的部分，当l<x<2或x>2+近时，函数y随x增大而增

大；

故答案为l<x<2或x>2+不.

【点拨】此题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，抛物线与坐标轴的交点，

解题关键在于结合函数图象进行解答.

9

15.0<b<-

4

【分析】画出图象，利用图象法解决即可.

解:将抛物线y=-x2-4x(-4WxW0)沿y轴折叠后得另一条抛物线为y=-x2+4x(0<x<4)

画出函数如图，

由图象可知，

当直线y=x+b经过原点时有两个公共点，此时b=0,

[y=x+b

解厂，，，整理得x2-3x+b=0,

[y=-*-+4X

若直线y=x+b与这两条抛物线共有3个公共点，

则A=9-4b>0,

解得匕<：9

4

所以，当0<bV92时，直线y=x+b与这两条抛物线共有3个公共点，

9

故答案为0<6<J.

【点拨】本题考查了二次函数图像的折叠问题，解决本题的关键是能够根据题意画出二

次函数折叠后的图像，掌握二次函数与一元二次方程的关系.

16.30

【分析】首先根据翻折变换的性质，可得AE=AB=10,OA=BC=8,DE=B。；然后设点

。的坐标是(10,b),在RACDE中，根据勾股定理，求出的长度，进而求出左的值.

解：•••△48。沿AO折叠，使点8恰好落在0c边上点E处，点3(10,8),

：.AE^AB=\Q,OA=BC=8,DE=BD,

OE=yjAE2-O^=6,CE=]0_6=4,

设点。的坐标是(10,b),则CD=b,DE=BD=8-b,

CD2+CE2=DE2,

.•"2+4?=(8-6)2,

解得：。=3,

.••点。的坐标是(1(),3),

k

•反比例函数y='的图象经过点。，

X

...々=3x10=30.

故答案为：30.

【点拨】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，反比例函数图像上点的坐标特点，

掌握利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解题的关键.

17.y=—.

6x

解：依题意知BC=BC=1,OB=1,

••.C'的纵坐标为巫，/OBC=60。，

2

.,.△CBC为等边三角形，

所以ZPBC=30。

.•.PC=BCtan300=且

3

AP(；,旦

23

k

设该反比例函数的解析式为y=±,

X

则k=xy=立~

6

・・.y=@.

6x

考点：待定系数法求反比例函数解析式.

18.-

2

【分析】利用正切的定义计算出AB得到B点坐标为(8,4),则可得到D(4,2),然

后利用待定系数法确定反比例函数表达式；利用反比例函数图象上点的坐标特征确定F(2,

4),连接GF,如图，设OG=t,则CG=4-t,利用折叠的性质得到GF=OG=t,则利用勾

股定理得到2?+(4-t)2=t2,然后解方程求出t得到OG的长.

1

解：在R3AOB中，VtanZBOA=——=—,

OA2

.,.AB=；OA=gx8=4,

，B点坐标为(8,4),

♦.•点D为对角线OB的中点，

.♦.D(4,2),

把D(4,2)代入得ki=4x2=8,

X

Q

・・・反比例函数表达式为y=—；

x

8

当y=4时，一=4,解得x=2,则F(2,4),

x

ACF=2,

・・・GF=OG=t,

在RtACGF中，22+(4-t)2=t2,解得t=g,

即0G的长为g.

故答案为：

【点拨】本题考查/反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、

折叠的性质和矩形的性质；会运用待定系数法求反比例函数解析式；会运用三角函数的定义

和勾股定理进行几何计算.

19.(1)见分析⑵y=-3x+\5(3)回

【分析】(1)利用折叠的性质及平行线的性质推出皿尸="FE即可；

(2)由矩形的性质得到AD=BD=3,CD=AB=9设点E的坐标为(x,3),在RtAAOE中,

勾股定理得4戌+4。2=0£2,即V+32=（9-X）2,求出点E的坐标，再同理得到点F的坐

标，设直线EF的解析式为y=+利用待定系数法求出解析式;

（3）过点E作EH_LOC于点H,利用勾股定理求出折痕E尸的长.

解：（1）证明：由折叠得N£>£F=N8£F,

•；AB//CO,

ZBEF=ZDFE，

/.ZDEF=ZDFE，

.QEE为等腰三角形;

（2）点8的坐标为（9,3）,四边形ABC。为矩形,

:.AD=BC=3,CD=AB=9

设点E的坐标为（x,3）,

,:DE=BE,

AE=x,BE=9-x,

在RtAAOE中，AE2+AO2=0E2,

•,.X2+32=（9-X）2,

解得x=4,

二£（4,3）；

同理可得F（5,0）,

设直线EF的解析式为

4k+b=3k=-3

弘+人。’解得

h=\5

・•・直线EF的解析式为y=-3x+\5

（3）过点E作EHLO。于点”，

-、B

-cl

V£(4,3),尸(5,0),

EH=3,FH=OF-OH=5-4=1,

EF=>JEH2+FH2=>/32+l2=Vio-

【点拨】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，

熟练掌握矩形的性质与折叠问题是解题的关键.

20.(1)20(2)y=-1.r+10(3)存在，M(8,0)

【分析】(1)由点的坐标的特点可得。。=12,5。=16,由矩形的性质可得/3。0=90。，

再利用勾股定理即可求出。3的长：

(2)设OD=x,由矩形的性质得出AO=16-x,由折叠的性质得出®4三®E，根

据全等三角形的性质得出AB=EB=12,4D=DE=16-X,/BAD=90。=ZBED,再结合勾

股定理求出。点坐标，最后利用待定系数法求解即可；

(3)过点E作EG，x轴与点G,过点后作&W〃8D,交工轴于点过点M作MN〃£»,

交直线于点M此时，四边形MNDE是平行四边形，而〃小，通过证明£(笫BOC,

利用相似三角形的性质可求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式即可求解.

解：(1);在矩形A3CO中，点8的坐标是(-12,16),

ACO=12,BC=16,ZBC<9=90°,

：.OB=4CO1+BC1=20：

(2)；四边形ABC。是矩形，

AB=OC=\2,AO=BC=\6,440=90°,

设O£)=x,

/.A£)=16-x,

•・,矩形ABCO沿直线3。折叠，使得点A落在对角线08匕的点E处,

:.BDA三BDE，

:.AB=EB=12,AD=DE=16-x,ZBAD=90。=/BED,

NDEO=90。,

/.DE2+OE2=OD2,

03=20,

・.OE=OB—EB=8,

/.(16-X)2+82=X2,

解得x=10，

0(0,10),

设直线BO解析式为丁=履+3

、、[}6=—\2k+b

把8(z-12,16),0(z0,10)代入，得]0q，

k=--

解得2,

b=lO

/.直线B£＞解析式为y=-gx+10；

(3)过点E作EG_Lx轴与点G,过点后作EM〃班)，交x轴于点M,过点M作MN//ED,

交直线8。于点M

ZEOG=ZBOC

EOGBOC

.EOEGOG

~BO~~BC~~OC

EO=8,BO=20,BC=16,OC=12

8EGOG

20~~16~~12

3224

/.EG==,OG=—

55

田，

•••直线B£＞解析式为y=-gx+10,

设直线EM解析式为y=-gx+r，

把点44'高代入'

解得r=4,

，直线EM解析式为y=-gx+4,

当y=0时，x=8,

【点拨】本题主要考查了四边形综合问题，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和

性质，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的性质，折叠的

问题利用勾股定理构造直角三角形进行求解，分情况讨论平行四边形的边及时角线的情况.

21.(l)y=-x2+4x；(2,4)(2)1秒(3)能，(5-百)秒或2百秒或(5+t)秒

【分析】(1)根据抛物线过原点，对称轴为直线*=2,待定系数求解析式即可求解；

(2)设8。,-丁+4月.三点A,0,8构成以为。8为斜边的直角•:角形，勾股定理

5153

得出。42+他2=0*,3(；，7).继而得出直线03的解析式为3，=?,当》=2时，y=3,

242

得出AP=4-3=1,进而即可求解；

(3)分三种情况讨论，①点A在*轴正半轴上；②点A在＞轴负半轴上，③点A在x轴

负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解.

c=0

(1)解；由题意得1—b「

,2x(-1)-

b=4

解得

c=0

•••抛物线的解析式为y=-X?+4x；

y=-x2+4x=-(x-2)2+4,

•.・顶点A的坐标为(2,4)；

设B(x,-x2+4x).

•.•三点A,O,B构成以05为斜边的直角三角形，

•••OA2+AB2=OB2,

即22+42+(X-2)2+(-x2+4x-4)2=*2+(-X2+4x)2,

整理，得2f-9x+10=0,

解得占=g,超=2(舍去)，

・用5,15

/(丁了).

设直线0B的解析式为y="，则：%=，，

3

解得&=£，

3

•••尸二工.

2

当x=2时，y=3,

.•.AP=4-3=1,

.,.£=1+1=1(秒);

(3)分三种情况：

①若点4在X轴正半轴上，如图2,

可得仍+4尸=&2,

即(4T)2+(26-2)2=*,

解得r=5-石；

②若点A在y轴负半轴上，如图3,连接AA交08丁月

可得OA=OA=2石,

・•.NOAA=N0AA1,

。4//AP,

.・.N0AA=NA|AP,

NOAA=ZA{AP,

AA.10P,

：.ZOEA=ZPEA=90°.

在,。4E与心RLE中,

ZOAE=ZPAE

•AE=AE

ZOEA=Z.PEA

OAE丝ME(ASA),

OA=PA-25/5,

：.t=2y/5；

③若点A在X轴负半轴上，如图4.

可得9+4。=,

即（f-4）2+（2。+2）2=*,

解得f=5+亚；

综上所述，所有满足条件的t的值为（5-石）秒或2石秒或（5+石）秒.

【点拨】本题考查了二次函数综合问题，特殊三角形问题，轴对称的性质，勾股定理，

掌握二次函数的性质是解题的关键.

o5

22.⑴①y=一②彳⑵20

x2

【分析】（1）①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；

②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出Ck的长，设OG=x,则CG=4-x,FG

=x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；

（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF=2m,再利用矩形面积减去AOCF

和ABEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值.

⑴解：①；BE=3AE,AB=4,

：.AE=l9BE=3,

・・・E(8,1),

.•.k=8xl=8,

Q

.,•反比例函数表达式为产一；

X

②当y=4时，x=2,

.•・尸(2,4),

:.CF=2,

设OG=JG则CG=4-x,FG=x,

由勾股定理得，

(4-x)2+22=X2,

解得X=g，

2

**•OG=—；

2

(2)解：・・,点区/在反比例函数y=：(x>。)的图象上，

/.CFx4=8m,

:・CF=2m,

/.四边形O4E/7的面积为8x4-gx4x2〃?-；x(8-2〃2)x(4-7??)

--nr+4z??+16=-(//2-2)2+20,

V0</n<4,

・•・当〃2=2时，四边形OAEE的面积最大为20.

【点拨】本题考查待系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形，

二次函数的最值，熟练掌握用待系数法求反比例函数解析式、勾股定理、二次函数的性质是

解题的关键.

23.(1)y=^x2-2x(2)①证明见分析；②也

22

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)①先证明OC=AC,得到NCQ4=NC4O,由折叠的性质可知NC4'B=NC4B,

则=再由/ODC=NA'O8