考研高数讲义第六章定积分的应用上课资料

第六章定积分的应用

［基本方法一微元法

［平面图形的面积与旋转体的体积

一兀

几何应用一平面曲线的弧长，旋转体的侧面积

函数

平行截面面积已知的立体体积（数一数二）

定积＜V

应用一＜

分的

:变力做功、引力、侧压力、质心（形心）

应用物理应用一［函数平均值（数一数二）

简单的经济应用（数三）

第一节定积分的元素法

微元法:把一个所求置分解，近似，求和，取极限,

最后表示成定积分的分析方法。

复习上一章第一节中的引例：

求由曲线y=/(x)及直线X=«,%=办，X轴所

成的图形(曲边梯形)的面积A。

步骤：1、分割：A=XAA

i=l

2、取近似:AAj«Ax,.(Xj<刍<七)

3、求和得：

i=l

4、求极限：A=pnj£/©)AXz=『f(x)dx

1=1

取消这里的下标i,同时E,x+dx]=>[xi,xi+Axf];

xnj;dAnAA。事实上，因为4=工”且

AA®f(x)dx=dA,所以A«^/(x)tZx,即：

A=limy^f(x)dx=[f(x)dx=jdA

一般地，若所求量4满足：

1)A是一个与变量工的变化区间［心可有关的量;

2)A对于区间［a,可具有可加性；

3)A的部分量AA,.可近似地表示为了心.).以,，其差

别是Ax,的高阶无穷小，则A可用定积分

计算，

步骤■

1)选取适当的变量为积分变量，如选择/并确

定变量相应的变化区间［〃,川；

2)确定A的面积元素dL4=f(x)dx(设想将［a,可分

成了几个小区间，其中(％,x+dx］为任一小区间，求

出相差仅是Ax的高阶无穷小，即可

视/(x)dx为A的面积元素dA);

3)以/(%)dx为被积表.达式，求得A=CJbJ(x)dx,

从而可求得所求量。

—这就是定积分的微元法。

【例1】求由了=好,丁=%所围图形的面积.

【答案】:

【例2】求）2=2%与y%-4所谓图形的面积

【答案】18

第二节定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1、直角坐标系下

（1）函数方程为y=/（X）或*二夕（了）

方法：上一下

fb

S=]f(x))dx

Ja2-

X

II

方法：右一左

s=，（。1（丁）-。2（了）妙

须拆分成两部分或多部分进行计算

【例1】(87-)由曲线y=lux与两直线

y=(e+l)-xRy=0所围成的平面图形的面积

是•

【答案】|

2

【例2】(92二)由曲线y=X/与直线y=ex所围成

图形的面积s=

【答案】f-1

[例3]（92二）求曲线y6的一条切线人使

该曲线与切线，及直线％=0,x=2所围成图形面积

最小.

1

【答案】J=-(X+1)

(2)参数方程

仁篇一加给

一般地，若曲线由参数方程

出,其中。⑴，w（t）及“（，）在［a,fl］上连续,记

Ma）=a,。（夕）=①则由此曲线与两直线x=a3

x=方及％轴所围成图形的面积为

pP

A=\||山。

Ja

【例4】求由摆线％=〃9-sin/),y=a(l-cos/)的

一拱(0<，<24)与横轴所围图形的面积

【答案】3加2

2、极坐标系下

设曲线的极坐标方程为r=r(0)(a<8<〃)，由

曲线，="e）与两条射线e=a,e=〃所围成的图形

（曲边扇形）的面积为

4月J=⑻四。

2%

【例5】（93-）双纽线（，+「＞=炉_。所围成

的区域面积可用定积分表示为（）

n

(A)2pcos26de.(B)4『2夕

Jo0

71____________17t

(C)2pVcos2^l9.(D)||J(cos2(9)2^.

【答案】(B)

［例6］求心形线r=〃（l-cos。）所围成图形的面

积。

【答案】I荷

二、立体体积

1、已知平行截面面积的立体体积

[x,x+公]上的薄片的体积近似于底面积为4(%),

高为心的柱体体积，从而可得这立体的体积元素

■b

dV=A(x)dr,所求体积为LA(x)dxo

由连续曲线y=/(x),直线%=%%=〃和^轴所围

成的曲边梯形绕X轴旋转一周而形成的立体体积为

fb,

K=£^(/(x))dx;

由连续曲线y=/(x),直线%=〃和％轴所围

成的曲边梯形绕，轴旋转一周而形成的立体体积为

V=Ixf(x)\dx1

Ja

由连续曲线X=0(y),直线y=c,y=4及了轴所围成

的曲边梯形绕y轴旋转而一周而形成的立体体积

为匕=£71x1dy=1%S（y）r办;

由连续曲线x=0(y),直线y=c,y=d及y轴所围成

的曲边梯形绕x轴旋转而一周而形成的立体体积

为匕=J：2%

【例7】（87二）设0是由曲线）=5加工+1与三条直

线x=O,x=肛y=0所围成的曲边梯形，求0饶％轴

旋转一周所生成的旋转体的体积.

【答案】|/+初

【例8】(91ZL)曲线y=(x—l)(x-2)和x轴围成

一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的

旋转体的体积.

【答案w

【例9】(93-)设平面图形A由c2+j2<2x与

[Nx所确定，求图形A绕直线X=2旋转一周所得

旋转体的体积.

【答案】2位|)

三、平面曲线的弧长

弧长公式：

(1)y=f(x),xe[a,b],

弧长s=J：71+f，2(x)dx

X=x(t)

(2)

y=y(t)9

弧长s=，，x'2«)+y'2(l山

Ja

(3)r=r(0),8w[a,0],

弧长s二J：，产(e)+d(e)de

【例10】(92二)计算曲线y=111(1-马上相应于

1

04的一段弧的长度.

2

【答案hn34

【例11](95-)求摆线"=lY°s[一拱

[y=£-sm£

(0＜区24)的弧长8.

【答案】

【例12］（96一）求心形线r=1+cos6的全长.

【答案】8

如k旋转面的侧面积

由曲线y=/(x),直线^=〃"=方以及％轴围成的

图形绕工轴旋转所得旋转体的侧面积。

公式：

显示方程：y=f(x),S=2可：f，2(x)dx

参数方程：x=x(r),y=y(t),

f2,2

S=2可：y(t)^X(t)+y(t)dt

极坐标方程：，=，(e),

S=2K，(e)sin6+产网de

【例13】(9"）设有曲线y=Vx二］过原点作

其切线，求由此曲线、切线及“轴围成的平面图形

绕”轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.

【答案】^(1175-1)

6

第三节定积分在其他方面的应用

一、变力沿直线所做的功

讨论：物体在变力方(%)作用下，沿直线从。移动到

。所做的功。

【例1】（03—）某建筑工程打地基时，需用气锤

将桩打进土层.气锤每次打击，都将克服土层对桩

的阻力而做功.设土层对桩的阻力大小与桩被打

进地下的深度成正比（比例系数为4,A>0）,气锤

第一次击打将桩打进地下〃江根据设计方案，要求

气锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做

的功之比为常数r(O<rvl).问

(I)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？

(II)若击打次数不限，气锤至多能将桩打进地下

多深？

(注：m表示长度单位米.)

【答案】(1)Vl+r+r2fl；(2)

二、引力

质量分别为叫,外相距为，的两质点间的引力的大

小为尸=号其中左为引力常数,引力的方向

沿着两质点的连线方向。

【例2】在“轴上有一线密度为常数〃，长度为1的

细杆，在杆的延长线上离杆右端为。处有一质量为

机的质点P,求证：质点与杆间的引力为

F=kmM(M为杆的质量)

a(a+l)

三、液体静压力

由物理知识可知，深度为人处的液体的压强为

P=pgh,其中，）为液体密度，g为重力加速度。

如果有一个面积为S的平板,水平放置在深为九处

的液体中，平板所受到的压力的方向垂直于平板

的表面，大小为歹=PS=pg/iS。如果平板垂直放

置在液体中，由于深度不同，液体的压强也就不

同，平板一侧所受的压力就不能用上述方法来计

算。

下面用微元法来解决这一问题。

a

y

a

x

液体压力的微元为：dF=pgxf(x)dx

rb

从而得薄板一侧所受的压力为:=pgxf(x)dx

Ja

【例3】(02-)某闸门的形

状与大小如右图所示，其中0

DA+1

直线，为对称轴，闸门的上部C

为矩形下部由二次

抛物线与线段A5所围成.当

水面与闸门的上端相平时，

欲使闸门矩形部分承受的水压

力与下部承受的水压力之比

为5：4.闸门的矩形部分的高人应为多少米?

【答案】2m

见质心（形心）

基本知识补充：静力矩二质量乘以到轴的距离

静力矩

质心二

质量

对y轴的静力矩：

对“轴的静力矩：

质量：M

1、均匀密度平面曲线的质心（形心）

X=(p(t)

设曲线弧Ab的参数方程是尸篙皿

其中〃⑴在［%切有连续的导数，则A3的质

心(形心)叵,用的公式为：

ff

M1(p(t)^(p\t)+y/\t)dt

——y_Ja

MJ'J[2«)+“2(W

Ja

_M0'2«)+y/2(t)dt

~y----—=--------------

MJ'J”?⑺+.，2⑺山

Ja

2、均匀密度平面图形的质心（形心）

设有平面薄片，所占有的平面图形是。:a<x<

b,g(x)<y<f(x),其中/(%),g(x)在［a,切连续,

质量均匀分布，不妨设面密度为1.则它的质心

(另歹)公式为：

Mx[f(x)-g(x)]dx

——vJa

X=—~--------------；

MJlf(x)-g(x)]dx

Ja

1r〃?

M5)〃"(x)-g\x)]dx

X―乙”a

y=

Mg(x)]dx

【例4】求星形线』叱彳04/田的质心,

[j=«sinZV2)

其中〃>0为常数。

（22、

【答案】（五,歹）=a

r55)

【例5］求由曲线N与y2=〃%（〃>0）所围平面

图形的质心（形心）。

(99}

【答案】（土,歹）=——a.——a

(2020)

五、函数在区间上的平均值

设函数）=/（%）在区间[〃,句上连续，则/（X）在

1rb

[〃,加上的平均值为歹=If(x)dxo

b-aJa

x2（i

【例6】（99二）函数y=在区间—-上

A/1—x2（22J

的平均值为

【答案】工

本章强化练习

一、定积分求面积

1

1、（96二）由曲线y=%+—,％=2及）=2所围图

x

形的面积S=.

答案:|.E2

2、（91三）假设曲线

:y=1—x2（0<x<l）vx轴

和y轴所围区域被曲线

乙：丁="2分为面积相等的

两部分（如图），其中。是大

于零的常数，试确定。的值.

答案：』

3x（94三）已知曲线y=>0）与曲线y=加五

在点（看,典）处有公共切线，求（I）常数。及切点

(%0,%)；（II）两曲线与无轴围成的平面图形的面

积S.

1

答案：（I）«=-,（x,j）=（e2,l）；

e00

（II）S=-e2--

62

4、（02数二）位于曲线）=xe-x（0<xv+8）下方,

“轴上方的无界图形的面积是.

答案：1

5、(03-)设曲线的极坐标方程为夕=/(。＞0),

则该曲线上相应于6从0到2%的一段弧与极轴所

围成的图形的面积为.

答案：

4〃

二、定积分求旋转体的体积

1、(03")过坐标原点作曲线尸In%的切线，该

切线与曲线y=Inx及x轴围成平面图形O.

(I)求。的面积A;

(II)求O绕直线％=e旋转一周所得旋转体的体积

V.

答案：G)A一1；(2)V=-(5e2-12e+3)

=r6

2、(00")设曲线)=&(〃>0,%20)与)=1-，

交于点4过坐标原点。和点A的直线与曲线

y=ax2围成一平面图形.问“为何值时,该图形绕x

轴旋转一周所得的旋转体体积最大?

最大体积是多少？

答案：。=4,其最大

体积为包1万

1875

3、设。是位于曲线y=«〃2a(a>1,0<x<+oo)-F

方、x轴上方的无界区域.

(I)求区域。绕X轴旋转一周所成旋转体的体积

V(a);

(ID当。为何值时，VQ)最小？并求此最小值.

aY

答案：(I)7T9

InaJ

(II)a=e时V(a