数学基础知识-不等式

不等式

I教学要求

1.理解不等式的基本性质.

2.掌握区间的概念.

3.掌握一元二次不等式的解法.

4.了解含绝对值的不等式的解法.

5.通过解一元二次不等式的学习，培养学生的计算技能.

II教材分析

本章内容介绍

现实世界是丰富多彩的，反映在数量上除了等量关系外，还有不等量关系.这抽象出

实数集R的一条重要性质：任何两个实数都可以比较大小，由此产生了不等式.不等式在

研究客观世界的数量关系中起着重要的作用，是数学的基础内容之一，在研究函数的定义

域、单调性、最大(小)值问题，在研究数列和函数的极限问题，在描述平面上的区域问

题，以及线性规划和优化问题中都要运用不等式的知识.

本章内容分成四部分：第一部分是比较实数大小的方法和介绍不等式的基本性质；第

二部分介绍区间的概念，包括闭区间、开区间和半开半闭区间等；第三部分讲解一元二次

不等式的解法；第四部分介绍含绝对值的不等式的解法.

学好本章的关键是：理解不等式的三个基本性质；复习一元二次函数的图像特征，掌

握一元二次不等式的图像解法；应用“变量替换”方法，了解含绝对值的不等式+

和|方+.>c(c>0)的解法.

-14-

本章教学重点

1.区间的概念.

2.一元二次不等式的图像解法.

本章教学难点

1.不等式基本性质的证明.

2.解一元二次不等式的图像解法.

3.含绝对值的不等式的解法.

本章学时安排如下（仅供参考）

2.1不等式的基本性质约1学时

2.2区间的概念约1学时

2.3一元二次不等式约3学时

2.4含绝对值的不等式约2学时

本章小结与复习约1学时

III教学建议和习题答案

2.1不等式的基本性质

1.本节内容包括两部分，包括比较实数大小的方法和不等式的基本性质.

2.实数集R有一条重要性质：任意两个实数都可以比较大小.

如何比较实数的大小？一种讲法是：规定数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的

数大.这种讲法的优点是直观形象，不足之处是：数的大小是实数集本身的性质，用比较

数轴上点的位置（右边还是左边）作为比较实数的大小的定义显得不漂亮；而且具体比较

两个实数（例如2与工）时，很难在数轴上准确画出表示这两个数的点，需要计算它们的

56

差值.由此抽象出下述定义：

对于实数。力，如果那么称4大于“或者称6小于。），记作或6V

a）.这表明，对任意实数6,有

数学（基础模块）上册数学参考书

a—b>0<=>a>b

从而有a-Z?<0<=>a<.b

又显然有a—b=D=a=b

于是为了比较实数。涉的大小，只要考察它们的差是天于零，还是小于零或等

于零.

注意：（1）比较两个分数的大小，除了例1中应用它们的差是大于0还是小于0来判

断，还可以利用分数的基本性质（分母相同，分子越大，这个分数越大）.

（2）比较几个实数的大小，还可以利用数轴表示这些实数点的位置关系进行判断.

3.在证明不等式的三条基本性质时，基本思路是根据力=a-b>0"，同时用到

“两个正数的和仍为正数”、“两数相乘，同号得正，异号得负等实数运算规律.

4.实数集中定义了“大于”（或“小于”）关系后，就有了“序”.

不等式的性质1说的是，实数集的序具有传递性.

不等式的性质2说的是，实数集的序与加法运算的关系，即加法运算是保序的.

不等式的性质3说的是，实数集的序与乘法运算的关系.这里特别要注意：用正数去

乘的时候是保序的，用负数去乘的时候是反序的.

5.类似于不等式的二条基本性质，有

(1)a?b,b>c=>a>c；

a>btb^c=>a>c.

(2)c£R=a+c，〃+c.

(3)a^b,c>0=oc2bc；

心b,c<0=>cicbe.

课堂练习2.1.1答案

［、57

Lil)-<—；

88

2

(2)-<0.8.

3

2.-7<—4<—3<0<3<4<7.

3.(1)(x+3)23>2x+4；

-16-

(2)(X2-2)2>X4-4X2+1.

课堂练习2.L2答案

(1)＞；(2)＞；(3)＞；(4)＞.

习题2.1答案

(3)-3<2；

12

(4)—<3.

7

2.(1)(x2)(x4)>(x1)(%5)；

(2)(X-1)2>X(X-2)；

(3)(x+3)(x+7)V(X+5)2；

(4)(X+5)2>(X+2)(X+8).

3.(1)>；(2)<；(3)>；(4)>.

4.证明：因为。>b,2>0,根据不等式性质3,

有2a>2b；又根据不等式性质2,

可得：c+2a>c+2b.

2.2区间的概念

1.区间是集合的一种表示方法，应熟练掌握各区间的表示方法及涵义，它是学习函数

的基础.

2.教材通过空中小姐身高范围的表示，进而引入区间的学习.利用集合在数轴上的图

形表示，介绍闭区间，开区间和半开半闭区间的概念.

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3.要着重介绍8这个符号，任何确定的实数都小于内，且大于-co.因为在区间中左

边的数要小于右边的数，所以(-00,+8)顺序不能颠倒，并且因为“正无穷大”和“负无穷

大”都不代表一个具体的数，这个区间无法包含端点，所以不能将其写成闭区间的形式.

4.在介绍用区间表示集合时，应注意强调使用小括号和中括号表示的区别.使用小括

号表示不包含端点，使用中括号表示包含端点.

课堂练习答案

(1)[-3,51；(2)(-5,5)：(3)[-3,7)；

(4)(-oo,9]；(5)[2,+oo)；(6)[0,1).

习题2.2答案

1.(1)[-5,8]；

(2)(2,7]；

(3)(-00,7]；

(4)(3,+oo)；

(5)(-3,52)；

(6)(—oo,-3].

2.(1){x|-4<x<9}；

(2){x|-8<x<0}；

(3){x|x<4}；

(4){x|x>-7}.

3.(1)[-3,+oo)；

⑵[2£,3)：

3

(3)(12,+oo)；

(4)(-oo,-2).

45口8=(2,4)；=

-18-

2.3一元二次不等式

1.一元二次不等式主要是利用一元二次函数的图像和性质来解，建议教师在讲解本节

时，让学生重点复习一下一元二次函数的相关知识.

2.关于一元二次不等式的解法，本节重点介绍图像解法.难点是理解并能够熟练应用

教材中给出的二次函数图像与一元二次不等式解集的关系表.

3.求一元二次不等式的解集步骤：

(1)将不等式化为标准形式：

①ax2+Z?x+c>0(。>0)或②ax2+bx+c<0(。>0).

(2)解方程tu?+加+。=0.

(3)画出相应的二次函数y=法+。的草图

(4)根据图像，写出解集.

课堂练习答案

(1){][x>2或x<—2}；

⑵{x|—3<x<6}；

7

(3){x|x<0或)；

3

(4){x|2-V2<x<2+>/2).

习题2.3答案

1.(1)0;

(2)R；

(3)0：

(4){x\x>i或xv—l}.

2.(1){x|-4<r<0}；

(2){x\x<0^x>2}.

3.(1)0；

(2){x\-l<x<3}；

(3)0；

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3

(4){x|x<l或x>|}.

4.(1)0；

(2){x|x<-l或Q1}；

3

(3){x\--<x<-)；

32

(4)R；

(5){x\x<—l或x>3)；

(6){x|2<x<3}.

2.4含绝对值的不等式

1.本节介绍如何求解含绝对值的不等式.主要讲解如何求解形如|ox+M<c(c>0)与

\ax+b\>c(c>0)的不等式.

2.教材中一开始引出绝对值的概念，再让学生观察数轴，理解|-5|和|5|的几何意义之

后，求同<5与同>5的解集.

同<5=数轴上表示的点与原点。的距离小于5<=>-5<^<5；

同>5o数轴上表示的点与原点0的距离大于5u>。>5或。<-5.

由比抽象出，一般地，对于正实数小有

\x\<a^>-a<x<a；

\x\>a<^>x<一〃或c>a.

3.在讲课时注意讲每一步等价的道理，譬如例2和例3.

例2解|3r-2|<5

o-5<3x-2<5［根据

o-3<3x<7(不等式三边都加上2)

o-}<x<-(不等式三边都乘!)

33

因比原不等式的解集是-1彳.

-20-

例3解|5x+7|>9

。5x+7v—9郎x+7>9(根据“|不|>。。尤<一。垢>a")

16T2

x<——^cx>—

因比原不等式的解集是(-8,-日)U(g,+8).

课堂练习答案

(1)[-3,3]；(2)-]

33

44

(3)[—2,--(4)(—co,—2)U(—§,+oo);

I..313

(5)(―oo,+°°)；(6)(-,-)；

55

(7)(—8,——]U[—2,+oo)；(8),-2).

33

习题2.4答案

1.(1)(—C01)U(1,4-00);

(2)(—oo)U(—,+00)；

33

(3)(—oo,1)U(5,+8);

(4)(一8,l]U[3,+oo).

2.(1)(—oo,—1)U(0,+oo)•

(2)(-5,2)；

(3)(-4,2)；

(4)[-4,12].

3.[-3,1]

数学（基础模块）上册数学参考书

IV复习题2答案

A组

1.(1)<；(2)<；(3)>；(4)<；(5)>；(6)>.

2.(1)[7,+oo)；

(2)(-7,+00)；

⑶(0,1)；

(4)(^o,-l)U(--,+°o)•

3.(1)<；(2)>.

4.(1){x|x<5}；

(2){x\x<4}；

(3)0；

⑷