高考数学考点测试60古典概型

高考数学考点测试60古典概型高考数学考点测试60古典概型高考数学考点测试60古典概型考点测试60古典概型高考概览eq\a\vs4\al（高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分,中等难度）考纲研读1．理解古典概型及其概率计算公式2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率一、基础小题1．某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在0～9这10个数字中选取．某人未记住密码的最后一位数字,如果随意按密码的最后一位数字，则正好按对密码的概率是（)A．eq\f(1，106)B．eq\f（1，105)C．eq\f(1，102)D．eq\f（1，10)答案D解析只考虑最后一位数字即可,从0到9这10个数字中随机选一个的概率为eq\f(1，10)．2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为(）A．eq\f（1，2）B．eq\f(1,3）C．eq\f（3，8）D．eq\f（5，8)答案B解析该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为eq\f（2，6）＝eq\f（1，3)．3．天气预报说,在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40％，用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，如果我们用1,2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989则这三天中恰有两天下雨的概率约为（)A．eq\f（13,20）B．eq\f(7,20)C．eq\f（9，20）D．eq\f(11,20）答案B解析由题意知这20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191，271，932，812，631，393,137，共7组随机数，∴所求概率为eq\f（7，20)．4．给甲、乙、丙三人打电话,若打电话的顺序是任意的,则第一个给甲打电话的概率是（）A．eq\f（1，6)B．eq\f（1,3)C．eq\f（1，2）D．eq\f(2,3）答案B解析给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝eq\f（2,6）＝eq\f(1,3）．5．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球,如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是(）A．eq\f（1,5）B．eq\f（3，10）C．eq\f（2,5）D．eq\f(1，2）答案C解析基本事件有Ceq\o\al（2,5)＝10个，其中为同色球的有Ceq\o\al(2,3）＋Ceq\o\al(2，2)＝4个，故所求概率为eq\f（4,10）＝eq\f(2，5)．故选C．6．一部3卷文集随机地排在书架上,卷号自左向右或自右向左恰为1,2，3的概率是(）A．eq\f（1，6)B．eq\f(1，3）C．eq\f（1,2）D．eq\f（2，3)答案B解析3卷文集随机排列，共有Aeq\o\al(3，3）＝6种结果,卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的只有2种结果，所以卷号自左向右或自右向左恰为1，2,3的概率是eq\f(2，6）＝eq\f（1，3)．故选B．7．一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一个,它恰有一个面涂有红色的概率是________．答案eq\f(2，9）解析研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色,故所求概率为eq\f（6,27）＝eq\f（2，9）．8．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m,n）与向量b＝(1，－1）的夹角为θ，则θ∈eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f(π,2））)的概率是________．答案eq\f（7，12)解析∵a·b＝m－n,夹角θ∈eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2）))，∴a·b≥0，即m≥n．满足θ∈eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2)))的点A(m,n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，列举可知点A(m，n)的基本事件总数为36，故所求概率为eq\f（21,36)＝eq\f(7，12）．二、高考小题9．（2018·全国卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23．在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A．eq\f(1,12）B．eq\f(1，14)C．eq\f（1,15）D．eq\f（1,18）答案C解析不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19,23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有Ceq\o\al(2，10）＝45种方法,因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30,所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法,故概率为eq\f（3,45）＝eq\f(1，15)．故选C．10．(2017·天津高考）有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A．eq\f(4，5)B．eq\f（3,5）C．eq\f(2,5）D．eq\f(1,5)答案C解析从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有Ceq\o\al(2,5)＝10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种,所以所求概率P＝eq\f（4，10)＝eq\f(2，5)．故选C．11．（2017·全国卷Ⅱ）从分别写有1，2,3,4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(）A．eq\f(1,10)B．eq\f（1,5）C．eq\f(3，10）D．eq\f（2,5)答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本事件总数为5×5＝25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝eq\f(10，25)＝eq\f（2，5）．故选D．12．（2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．答案eq\f（5,6）解析先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况共36个，其中点数之和不小于10的有（4，6)，(5，5),（5，6)，（6，4），（6，5)，（6，6），共6个，从而点数之和小于10的有30个，故所求概率P＝eq\f（30，36）＝eq\f(5，6)．三、模拟小题13．(2018·湖南省湘潭市四模)食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克，螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为（)A．eq\f(1,3）B．eq\f(2，3）C．eq\f（3，10）D．eq\f(7，10)答案C解析已知蜂蜜与生葱相克，鲤鱼与南瓜相克,螃蟹与南瓜相克．现从蜂蜜、生葱、南瓜、鲤鱼、螃蟹五种食物中任意选取两种，基本事件总数n＝Ceq\o\al（2,5）＝10,∴它们相克的概率为P＝eq\f（3，10)．故选C．14．(2018·江西南昌二模)在《周易》中，长横“"表示阳爻，两个短横“”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23＝8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象,四象生八卦"．有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”,就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻,这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（）A．eq\f（1,7)B．eq\f（5,16）C．eq\f(9，16）D．eq\f（5，8)答案B解析在一次所谓“算卦"中得到六爻,基本事件的总数为n＝26＝64，这六爻恰好有三个阳爻包含的基本事件数为m＝Ceq\o\al(3,6)＝20，所以这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是P＝eq\f（m，n)＝eq\f（20，64）＝eq\f(5,16）．故选B．15．（2019·福建漳州质检)某公园举办水仙花展,有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为（）A．eq\f（1，12)B．eq\f(1,6)C．eq\f（1，3）D．eq\f(1，2）答案B解析随机安排2人到A展区，另2人到B展区维持秩序,有Ceq\o\al（2，4)种不同的方法，其中甲、乙两人同时被安排到A展区，有Ceq\o\al(2,2)种方法，则由古典概型的概率公式，得甲、乙两人同时被安排到A展区的概率为P＝eq\f(C\o\al（2，2）,C\o\al（2,4）)＝eq\f(1，6)．16．（2018·湖北调研）党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置,深化教育资源的均衡发展．现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教．将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为（）A．eq\f（4，25）B．eq\f(2,5)C．eq\f(14,25）D．eq\f(4，5)答案C解析由题意，将这六名毕业生全部进行安排,每所学校至少安排2名毕业生,基本事件的总数为N＝Ceq\o\al(2，6）＋eq\f（C\o\al（3，6)C\o\al(3，3）,A\o\al（2,2））×Aeq\o\al(2，2)＝50种,每所学校女毕业生至少安排一名共有：一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校安排一女三男，有Ceq\o\al（1，2)Ceq\o\al(1，4）Aeq\o\al（2,2)＝16种;二是其中一个学校安排一女二男，另一个学校安排一女二男，有Ceq\o\al（1,2）Ceq\o\al（2,4）＝12种,共有16＋12＝28种,所以所求概率为P＝eq\f(28,50）＝eq\f（14,25）．故选C．17．（2018·东北三省三校一模)从标有1，2，3，4,5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下,第二次抽到偶数的概率为(）A．eq\f（1，4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1，3）D．eq\f(2，3）答案B解析由题意，记“第一次抽到奇数”为事件A,记“第二次抽到偶数”为事件B，则P(A)＝eq\f(C\o\al（1,3），C\o\al(1，5))＝eq\f（3,5），P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,3）,C\o\al（1，5))×eq\f(C\o\al（1，2），C\o\al（1，4))＝eq\f(3，10)，所以P（A｜B）＝eq\f（PAB,PA）＝eq\f(1，2）．故选B．18．(2018·广东中山一中第五次统测)小球A在右图所示的通道由上到下随机地滑动，最后在下面某个出口落出，则投放一个小球,从“出口3”落出的概率为()A．eq\f（1,5)B．eq\f（1，4)C．eq\f（3，8）D．eq\f（3,16)答案C解析我们把从A到3的路线图单独画出来,从A到3需两横两竖四段路径，从四段路径中选出两段,共有Ceq\o\al(2，4）＝6种走法,每一种走法的概率都是eq\f(1，2)，∴珠子从出口3出来是Ceq\o\al（2,4)eq\f(1,2）4＝eq\f(3，8)．故选C．一、高考大题1．(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2）设抽出的7名同学分别用A，B,C，D，E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．解(1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为｛A，B｝，{A,C}，｛A,D｝，｛A,E}，{A，F}，{A,G}，｛B，C｝，｛B，D｝，{B,E｝，｛B，F}，｛B,G}，{C，D},｛C，E}，{C,F｝，｛C，G｝，｛D,E}，{D,F}，｛D，G},｛E，F}，{E，G}，｛F，G｝,共21种．②由（1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A,B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B｝，｛A,C}，｛B，C},{D，E｝，{F,G｝,共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝eq\f(5，21)．2．(2017·山东高考）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．解（1）由题意知,从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有Ceq\o\al（2,6）＝15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:｛A1,A2}，{A1，A3｝，{A2，A3｝,共3个,则所求事件的概率为P＝eq\f（3，15)＝eq\f（1,5)．（2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有:3×3＝9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：｛A1,B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝eq\f（2,9）．3．(2016·天津高考）某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3,3,4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解(1）由已知，有P(A）＝eq\f(C\o\al(1,3）C\o\al（1，4）＋C\o\al（2，3）,C\o\al（2,10））＝eq\f（1,3）．所以,事件A发生的概率为eq\f(1，3)．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2．P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al（2,3)＋C\o\al（2,4），C\o\al（2，10)）＝eq\f(4，15），P(X＝1）＝eq\f（C\o\al(1，3)C\o\al（1,3）＋C\o\al（1,3）C\o\al(1，4)，C\o\al(2，10）)＝eq\f（7，15)，P（X＝2)＝eq\f(C\o\al(1，3）C\o\al(1,4）,C\o\al（2，10)）＝eq\f（4,15)．所以，随机变量X的分布列为X012Peq\f(4,15)eq\f(7，15)eq\f（4,15)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(4，15）＋1×eq\f（7，15)＋2×eq\f（4，15)＝1．二、模拟大题4．(2018·江西联考一）最近，“百万英雄”“冲顶大会"等一些闯关答题类游戏风靡全国，既能答题,又能学知识,还能挣奖金．若某闯关答题一轮共有4类题型,选手从前往后逐类回答，若中途回答错误，立马淘汰只能观战；若能坚持到4类题型全部回答正确，就能分得现金并获得一枚复活币．每一轮闯关答题顺序：①文史常识类；②数理常识类；③生活常识类；④影视艺术常识类．现从全省高中生中随机调查了100位同学的答题情况统计如下表：题型及序号①文史常识类②数理常识类③生活常识类④影视艺术常识类通过人数90806020淘汰人数10102040(1）现用样本的数据特征估算整体的数据特征，从全省高中生中挑选4位同学，记ξ为这4位同学获得奖金的总人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)若王同学某轮闯关获得的复活币,系统会在下一轮游戏中自动使用，即下一轮重新进行闯关答题时，若王同学在某一类题型中回答错误，自动复活一次,视为答对该类题型．请问:仍用样本的数据特征估算王同学的数据特征，那么王同学在获得复活币的下一轮答题游戏中能够最终获得奖金的概率是多少？解(1)由题易得ξ～B4,eq\f（1，5)，则ξ的分布列为ξ01234Peq\f(256,625)eq\f(256,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)eq\f(1，625)所以数学期望E（ξ）＝4×eq\f（1，5）＝eq\f(4,5）．(2）由题易知所求概率P＝eq\f(1,10）×eq\f（2,9）＋eq\f（9，10)×eq\f(1,9)×eq\f(2,8）＋eq\f（9，10)×eq\f(8，9)×eq\f(2,8)×eq\f（2，6)＋eq\f（6,10）＝eq\f(257,360）．5．(2018·广州综合测试二)某工厂生产的A产品按每盒10件包装，每盒产品需检验合格后方可出厂，检验方案是从每盒10件产品中任取4件，4件都做检验，若4件都为合格品，则认为该盒产品合格且其余产品不再检验；若4件中次品数多于1件，则认为该盒产品不合格且其余产品不再检验；若4件中只有1件次品，则把剩余的6件采用一件一件抽取出来检验，没有检验出次品则认为该盒产品合格，检验出次品则认为该盒产品不合格且停止检验．假设某盒A产品中有8件合格品,2件次品．(1)求该盒A产品可出厂的概率；（2)已知每件产品的检验费用为10元，且抽取的每件都需要检验，设该盒A产品的检验费用为X(单位：元)．①求P(X＝40）；②求X的分布列和数学期望E(X）．解(1）依题意,该盒A产品可出厂即任取的4件产品都为合格品,从10件中任取4件的基本事件数为Ceq\o\al(4，10），4件都为合格品的事件数为Ceq\o\al(4,8），故该盒A产品可出厂的概率为P＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(4，10)）＝eq\f(1，3）．(2)①该盒A产品的检验费用X＝40元表示只检验4件产品就停止检验，记“从该盒