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文档简介

不定积分的概念与性质

一、不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质

例如:

，

是函数在上的原函数.

，sinx是cosx在上的一个原函数.

又如d(secx)=secxtanxdx,所以secx是secxtanx的一个原函数.定义设f(x)

在区间上有定义,如果对任意的都有

F'(x)=f(x)

或

dF(x)=f(x)dx则称F(x)为

f(x)在该区间上的一个原函数.1.原函数的概念一、不定积分的概念

（1）一个函数具备什么条件,能保证它的原函数一定存在？（2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼此之间有何关系？问题:答案:

(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．具体理由将在下一章给出．

(2)若函数f(x)

在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.证设F(x)，G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数.所以

F'(x)=G'(x)=f(x)，即G(x)=F(x)＋C0

(

C0为某常数).所以有G(x)－F(x)=C0

，于是

[G(x)－F(x)]'=G'(x)－F'(x)=f(x)－f(x)=0定义2如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)＋C(C为任意常数)称为f(x)在区间I上的不定积分.记作其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.即2.不定积分的概念例1

求解解例2

求例3

求解

函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.图5.13.不定积分的几何意义

在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（图5.1）.f(x)为积分曲线在(x,f(x))处的切线斜率.例3,于这点的横坐标，求此曲线方程，设曲线通过点(2.3),且其上任一点的切线斜率等.

解

，，依题意可知设所求的曲线方程为xy'xfy==

)(=1+2

2xy因此所求曲线

的

方

程为特别地，有4不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算.

二、基本积分公式例4

计算下列积分解例5计算下列积分解(1)(2)

三、不定积分的性质性质1

被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质2可以推广到有限多个函数的情形，即性质2

两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即例6

求解

注

逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可例7

求解例8

求解例9

求解例10

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