高等数学（第二版）课件：重积分

高等数学（第二版）一、二重积分的定义二、二重积分的性质第一节二重积分的定义与性质重积分1．曲顶柱体的体积一、二重积分的定义以xOy平面上的有界闭区域D为底，以D的边界曲线L为准线而母线平行于z轴的柱面为侧面，以D为定义域且取正值的连续函数

表示的是以连续曲面为顶所围的几何体，称为曲顶柱体。下面考虑曲顶柱体的体积V的计算问题。我们知道平顶柱体的底面上各处的高是相同的，所以其体积为高乘以底面积。曲顶柱体的顶是曲面，它在点

处得高度

随点

的位置不同而变化，上面求平顶柱体的体积公式显然不适用。于是我们可以借鉴求曲边梯形面积的方法来计算曲顶柱体的体积。(1)分割

用一组曲线网将区域D分割成n个小闭区域

小区域

的面积记为

。以

的边界曲线为准线，作母线平行于

轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体

，其体积也记作(2)近似(3)求和由于

是连续的，当分割相当细时，曲顶柱体

的高度

变化很小，这时小曲顶柱体可以近似看作平顶柱体。我们在每个小区域

上任取一点

，以

为高而底为

的平顶柱体近似地代替细曲顶柱体，则有把n个平顶柱体体积累加起来，所得之和作为曲顶柱体V的近似值(4)取极限

令n个小区域的直径中的最大值

趋于零，取上述和式的极限，所得的极限即为所求曲顶柱体的体积2．平面薄片的质量设一平面薄片所占

平面上的闭区域为D，它在点

处的面密度

是D上连续的正值函数，现在计算该薄片的质量M。由于密度

是连续变化的，若把薄片分成许多小块后，则在每一小块上的面密度可以近似地看作常数。这样，我们又可用上述方法计算此薄片的质量。用网线将平面区域D划分成n个子闭区域

其面积记作

，在每一子闭区域上任取一点

，以

代替

上各点处的密度，则

这块薄片的质量近似为

，薄片D的质量近似为上面两个例子可以发现，虽然它们的实际背景不同，但是解决问题的方法却是完全一致的，所求的量都归纳为同一形式的和式极限。这样，就抽象出二重积分的定义。3．二重积分的定义定义

设函数

是定义在有界闭区域D上的有界函数。将闭区域任意分成n个小闭区域其中

表示第i个小区域及其面积。在每个小区域

上任取一点

，求和

。如果各小闭区域的直径中的最大值

趋于零时，该和式的极限存在，则称此极限为函数

在闭区域D上的二重积分。记作

，即其中

称为被积函数，

称为被积表达式，

称为面积元素，

称为积分变量（二重积分的值与积分变量用什么字母无关），D称为积分区域，

称为积分和。二重积分的定义中对区域D的划分方式是任意的。在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线网划分D，那么除了包含边界点的一些不规则小区域外，其余的都是小矩形闭区域

，边长分别记为

及

，则

。因此，在直角坐标系中有时把面积元素

记作

，故把二重积分

写为

。其中

称作直角

坐标中的面积元素。一般地，若

，则该积分在几何意义就是以区域D为底，以曲面

为顶的曲顶柱体体积。如果

在D的若干部分区域上是正的，我们可以把在

面上方的柱体体积取成正，在

面下方的柱体体积取成负。当

时，柱体在

面的下方，二重积分的值是负的，它的绝对值仍等于柱体的体积。于是，

在D上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。下面的定理给出二重积分存在的一个充分条件。定理

设函数

在有界闭区域上有定义，且连续，则

在该区域上的二重积分一定存在。二、二重积分的性质性质1

（线性性）设

为常数，则性质2

（区域可加性）如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分区域，则在D上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域

和

，则性质3

如果在D上，

，

为D的面积，则这就是说，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质4

如果在D上，

，则有特殊地，由于

，则有性质5（估值不等式）

设M，m分别是

在闭区域D上的最大值和最小值，

是D的面积，则有性质6

（二重积分的中值定理）设函数

在闭区域D上连续，

是D的面积，则在D上至少存在一点

，使得一、直角坐标下二重积分的计算二、极坐标下二重积分的计算第二节二重积分的计算法重积分1．垂直型区域一、直角坐标下二重积分的计算设区域D为由介于上下两条自变量为

的单值连续曲线

与

和两条竖直线

与

之间所构成的，即可表示为且穿过区域D内部平行于

轴的直线与D的边界至多交于两点。2．水平型区域且穿过区域D内部平行于

轴的直线与D的边界至多交于两点。设区域D为由介于上下两条自变量为

的单值连续曲线

与

和两条竖直线

与

之间所构成的，即可表示为这种垂直型区域与水平型区域统称为简单区域。按照二重积分的几何意义，

等于以区域D为底，以D上曲面

为顶的曲顶柱体的体积V。先假设D为垂直型区域。设平行于

坐标面且在

轴上的截距为()的平面与曲顶柱体相截而成截面的面积为

。由“平行截面面积已知的立体体积”计算方法，可知

其中

为曲边梯形的面积。该曲边梯区间

为底，以曲线

为顶，所以于是，曲顶柱体体积为把上式右端积分写成在上述讨论中，我们始终假定

，但上述计算公式的成立并不受此条件限制。其中积分区域

为垂直型区域，

为

上的连续函数。最后，得到二重积分化为先对

、后对

的二次积分的公式：类似地，如果积分区域D为水平型区域，

为

D上的连续函数，可以写出体积V的另一种二次积分的表达式如果积分区域D是非简单区域，即D的边界与穿过D的内部且平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则可把D分成若干部分，使每个部分都是简单区域。再在每个区域上用前面两个公式来计算。定理(富比尼定理)设

在平面闭区域

上连续，（1）若闭区域

可表示为：

，其中

和

在

上连续，则（2）若闭区域

可表示为：

，其中

和

在

上连续，则例1

计算

，其中D是有抛物线

和直线

所围成的闭区域。解：方法1先画出积分区域D。把区域D看作二个垂直型区域的并集。这时，区域边界的下部是由两条不同的曲线组成的，两条曲线交点为

，

；因此用直线

将D分为和方法2：

将区域D是水平型区域，D可表示为

所以

解

由于

这个积分的原函数不能表示为一个初等函数，因此无法直接计算，为此我们需要交换积分次序。首先确定积分限例2

计算累次积分把

变换为

故积分例3

计算

，其中D是由

及

所围

成的区域解：

方法1：如图，若把D看作垂直型区域，则

可应用区域对称性及函数奇偶性来简化运算。因为区域

是关于

轴对称，设

是

在第一象限的部分，

是关于

的奇函数，故方法2：所以而

是关于

的偶函数，故例4

求两个底圆半径都为

的直交圆柱面所围的立体的体积。解

设这两个圆柱面的方程分别为利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积,可得立体体积为及所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为如图所示。它的顶是柱面

。于是从而所求立体的体积为二、极坐标下二重积分的计算有些二重积分，其积分区域

的边界用极坐标表示比较方便，例如圆弧或过原点的射线，且被积函数用极坐标

、

表示比较简单，诸如

、

、

等。此时可以考虑用极坐标来计算这些二重积分。如图所示的区域可以分别表示为：假定闭区域

的边界与从极点

出发穿过

的内部的射线的交点不多于两点，或者边界的一部分是射线的一段。在极坐标系中，我们采用两族曲线：

常数及

常数，即以一族过极点的射线与一族以极点为圆心的同心圆来细分区域

。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积

可计算如下：其中

为相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周

上的点

设该点的直角坐标为

则由直角坐标与极坐标之间的关系有于是

这样，直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分的变换公式为要把直角坐标系中的二重积分变换为极坐标系中的二重积分，只要把被积函数中的

、

分别换成

、

，并把直角坐标系中的面积元素

换成极坐标系中的面积元素

就可以了。极坐标系中的二重积分，利用富比尼定理同样可以化为累次积分来计算。(1)假设极点

在积分区域

外，即

夹于两条射线

之间，而对

内任一点

，其极径

始终介于

与

之间。则区域

在极坐标系中可表示为其中函数

和

在

上连续。对于在

上任意取定的一个

值，对应此

值在

点的极径为从

变到

，因此可得在此区域D上的极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为(2)极点

在积分区域

的边界上，即由如图所示的曲边扇形，则可以把它看作当

时的特例，这时区域可表示为(3)极点

在积分区域

的内部，如图所示，这时区域

可表示为由二重积分的性质3可知，闭区域

的面积

可表示为所以，在极坐标系中，面积元素

于是区域D的面积例5

计算

其中

是由中心在原点、半径为

的圆周所围成的闭区域。解

在极坐标系中，闭区域

可表示为由于积分

不能用初等函数表示，本题如果用直角坐标计算，则无法算出结果。下面我们用上面的结果来计算概率论中常用的反常积分设显然

。由于

，所以有不等式故应用上面已得的结果有于是不等式可写为因为令

上式两端趋于同一极限

从而

例6

求抛物面

下方,坐标面上方,圆柱面

内部的立体体积。解

立体关于

面对称,设

在第一卦限部分的体积为

，则

立体在

坐标面上的投影区域是由圆周

所围成。其在第一象限中的半区域

可用极坐标表示为该立体的顶为抛物面

故其体积为一、三重积分的概念二、三重积分的计算第三节三重积分重积分一、三重积分的概念定义

设

是定义在空间有界闭区域

上的有界函数。将闭区域

作任意分割，分割成n个小闭区域

，其中

既表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在

上任取一点

，作乘积

，并作和

。如果当各小闭区域直径中最大值

趋向于零时，该和式的极限总存在，则称此极限值为函数

在闭区域

上的三重积分。记作

，即其中

称作体积元素。在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面划分

，那么除了包含

的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域

是长方体，其边长分别为

及

，则

，因此在直角坐标系中，有时也把体积元素

记作

，而把三重积分记作其中

称作直角坐标系中体积元素。连续函数

在闭区域

上的三重积分必存在。以后我们总假定函数

在闭区域上是连续的。类似地,我们可以将三重积分推广到n重积分。对于空间物体的质量，如果它的密度函数为

，该物体所占空间为闭区域

，则物体的质量可表示为二、三重积分的计算1．直角坐标计算三重积分(1)设区域

由许多小柱体组合而成。假定平行于z轴且穿过闭区域

内部的直线与闭区域

的边界曲面相交不多于两点(当

不满足这一条件时,可将

分成若干个满足条件的区域之和,利用区域可加性进行处理)。把闭区域

投影到xOy平面上，得一平面闭区域

。过

内的任一点(x,y)作平行于z轴的直线自上向下地穿透

。设穿入

内时的竖坐标为

，穿出

外时的竖坐标为

，且

与

皆为连续函数。此时积分区域

可表示为如果投影区域

为垂直型，则于是空间闭区域

可表示为可得三重积分的计算公式为若把投影区域

为水平型区域，则三重积分可表示为解

作闭区域如图所示,将

投影到xOy面上，得投影区域例1

计算,其中

由平面

及三坐标面所围区域。在

内任取一点作平行于

轴的直线，该直线在平面

处穿入

内，又在平面

处穿出

外。于是例2

计算,其中

由平面

及三坐标面所围区域。解

由于函数

及积分区域

关于自变量均为对称，所以于是在

中任取一点作平行于

轴的直线，该直线由锥面

穿入

内，又由平面

穿出

外。于是解

积分区域

如图，

在xOy面上的投影可表示为例3

计算三重积分

其中

由锥面

及平面

所围。这一在

上的二重积分可以考虑用极坐标计算，由于故(2)设区域由平面薄片叠加而成。于是，三重积分化为如果区域

由垂直于

轴的平面闭区域

与高度为

的立体叠加而成,由

叠加至

，则例4

计算三重积分

其中

是由椭球面

所围成的空间闭区域。解

空间闭区域

可表示为如图所示，则可得其中

为垂直于

轴的平面截

所得的平面截面区域。它是椭圆盘

其面积为

因此2．柱面坐标下计算三重积分当空间闭区域

在坐标面上的投影为由圆弧与直线所围成的区域，被积函数为

等形式时，常常用柱面坐标计算。设

为空间内一点,并设点

在

面上的投影

的极坐标为

则这样的三个数

、

、

就叫做点

的柱面坐标，并规定

、

、

的变化范围为：三组坐标面分别为显然，点

的直角坐标与柱面坐标的关系为

常数,即以轴为中心轴的圆柱面；常数,即过轴的半平面；常数,即与面平行的平面。现在要把三重积分

化为柱面坐标下的三重积分.为此,我们用上述三组坐标面将

分割成许多小区域,除了含

的边界外,这种小闭区域都是柱体。现在考虑

、

、

各取微小增量

、

、

时所成的柱体体积。在不计高阶无穷小时，该体积可近似地看作边长分别为

、

、

的长方体体积。故可得柱面坐标中的体积元素为解

球面与抛物面的交线为

因此，闭区域

在

面上的投影为圆形闭区域例5

计算三重积分

，其中

为由球面

与抛物面

所围成的闭区域。在

内过任意点做平行于z轴的直线，此直线由

穿入

内，然后由

穿出

外，因此

可表示为于是例6

计算累次积分

。解

这一累次积分可看作是由函数