随机利率下寿险精算模型的研究

随机利率下寿险精算模型的建立研究摘要精算是利用数学、统计、金融、保险、人口学等学科的知识和原则，分析保险业经营管理的各个环节，为保险业制定战略和决策、提高管理水平提供工具和科学依据的学科。在我国保险业快速发展的背景下，精算知识在保险业务中得到了越来越广泛的应用。在影响人寿保险产品定价的诸多因素中，最关键、最基础的两个因素是：被保险人剩余寿命的不确定性和预定利率的大小。我国保险业发展历史不长，人身保险业发展也比较不成熟。长期以来，中国人身保险业的产品定价假设中的预定利率一直是固定的。但是自20世纪90年代以来，因为不断下调的基准利率，寿险公司普遍积累了巨大的利差损失。预定利率虽然目前来看维持在相对较低的水平，但随着我国利率市场化改革的推进，在与世界各国经济合作不断加深的背景下，更多复杂的因素将影响利率变化，更加频繁和复杂的利率波动将成为一种常态。因此，固定预定利率对人身保险业的发展有些不合适，甚至成为阻碍其发展的因素。本文充分考虑了影响利率变动的因素,对利率建立了ARMA(p,q)模型,选取近十年的一年期中国国债收益率作为基础数据，并运用stata统计软件对所建立的随机利率模型进行参数估计并检验,验证了该模型的合理性,并拟合出了对应的ARMA(1,1)模型。在基于建立的随机利率模型下，本文分别对单生命和多生命联合寿险保单进行了研究。对于单生命寿险保单，通过计算随机利率与固定利率下保单的精算现值差异，发现运用随机利率模型可更加合理的计算保费，能够降低保险公司可能由于保费收取不足而导致的利润风险。除此之外，基于随机利率的精算模型可以更合理审慎地评估计提保险公司在不同保单年度应提取的未到期责任准备金额度，降低了保险公司或因为准备金提取不足而造成的偿付能力风险。并且，通过研究联合寿险保单下的精算现值，发现对于联合生存寿险保单，保险公司可通过提高年金的给付额度、相对降低死亡利益给付来丰富公司的产品类型，并与其它保险公司推出的同类型保险产品竞争。关键词：随机利率；ARMA模型；寿险精算目录引论 引论（一）研究背景及意义1.研究背景从保险企业的经营角度来看，保险企业的利润可分为承保利润与投资利润，其中承保利润主要有三种区分：利差益、费差益和死差益。利差益，是指保险公司实际投资收益高于预期投资收益时产生的盈余；费差益，是指保险公司的实际运营管理成本低于预期运营管理成本时产生的盈余；死差益，指保险公司实际出险率低于预期出险率时，也就是说，实际死亡人数低于预定死亡人数时产生的盈余。长期以来，中国人身保险业的产品定价假设中的预定利率一直是固定的。但是自20世纪90年代以来，因为不断下调的基准利率，寿险公司普遍积累了巨大的利差损失。预定利率虽然目前来看维持在相对较低的水平，但随着我国利率市场化改革的推进，在与世界各国经济合作不断加深的背景下，更多复杂的因素将影响利率变化，更加频繁和复杂的利率波动将成为一种常态。因此，固定预定利率对人身保险业的发展有些不合适。为了化解利率波动给保险公司经营带来的风险，有必要建立随机利率模型，用于保险产品的费率厘定与责任准备金的提取。2.研究意义为了达到风险最小化、利润最大化的目标，保险公司需要更加精准地预测未来市场利率，从而计算出应收取的保费。现有的较多精算模型通常将利率假定为常数，但是事实上，利率是随机变动的，应可视为一个随机变量。利率随机变动的不确定性将给保险公司经营管理带来较大的风险，为了防范化解该风险，国内外学者都有在尝试着运用随机模型或随机过程去模拟利率的变动，推测未来时间的利率，并在寿险精算模型中引用该利率。目前，在对于随机利率寿险模型问题的研究上，众多国内外的教精算研究人员做出了很大的贡献，他们构建了许多基于随机利率的寿险模型，且具有很高的参考价值，但美中不足的是，这些模型大多实用性不高，为增强模型实用性需要对其进行改进。本文将以此为主要目标，参考近年来国内外研究者对于随机利率的自回归特点的研究，对利率建立时间序列随机利率自回归(ARMA)模型，结合经验死亡率的分布，研究随机利率下风险保费的厘定与责任准备金的提取。同时研究多生命联合寿险保单的精算现值，为保险公司的产品开发提出建议。（二）文献综述1.国外文献综述在国外，1971年，J.H.Polland第一次提出利率的随机性，将利率看成随机变量来处理，并在此基础上对精算函数进行了研究。之后，逐渐有更多的外国研究者通过构建随机模型来对利率进行模拟预测。对于利率的建模，主要可分为对利息力累积函数建模和直接对利息力建模两种。Boyle在1976年把利息力看成是一种白噪声过程，研究了在死亡率分布和利息力都是随机变量的情况下保险利益赔付和生存年金给付的精算现值。1981年Bellhouse和Panjer采用AR(2)自回归时间序列模型对利率进行建模，研究了关于两全保险和年金保险方面的精算理论，得出了基于随机利率得寿险模型的一些重要结论；不久之后，Dhaene和Giaccotto等也运用时间序列，如白噪声过程和ARIMA过程等进行随机利率建模。Frees在1990年采用可逆移动平均MA（1）模型模拟利率，并得出在此模型下得生存年金利益给付的精算现值。基于Frees的基础成果，在1997年，Haberman将其可逆移动平均MA(1)模型扩展到可逆移动平均MA(2)模型，并计算出了在此随机利率模型下生存年金利益给付精算现值的二阶矩和一阶矩。并且，Haberman还采用了稳定自回归AR(1)时间序列模型下的随机利率，并基于该利率推出了企业生存年金期满给付的精算现值模型。XiaY在2012年采用了稳定自回归AR(1)时间序列模型和二项式树模型，并研究了基于这两种随机利率下，长期伤残保险组合即一次性死亡利益给付和每半年一次给付的伤残补助金的组合的精算现值。Parker和NoldeN在2014年，采用稳定自回归AR(1)时间序列模型对利息力进行模拟，并研究了随着时间的变化，相同寿险保单组合的保险盈余的行为。2.国内文献综述相较于国外，国内对于随机利率下寿险模型的研究起步较晚，但也对一些寿险产品在随机利率下的状况进行了研究。吴岚、杨静平在1997年将利息力视为白噪声，并递推了该过程在极限分布情况下的密度函数，还探讨了n年定期寿险产品的总体累积赔付的极限分布函数及其总量大小。高建伟等在2004年将随机利率由条件自回归AR(p)时间序列模型扩展到广义自回归AR(p)时间序列模型，推出了在该随机利息力模型下离散型生存年金利益给付的精算现值。周宏波等在2006年采用ARIMA(p,d,q)时间序列模型对利息力进行建模，得出了关于定期生存年金利益给付的精算现值表达式。郭芳等在2008年基于残差序列具有异方差性的特点，采用ARCH利息力模型，得到了在此模型下的定期寿险均衡净风险保费和准备金，以及准备金的方差表达式。2009年，解强等采用ARMA(p,q)自回归移动平均模型，推导了在此模型下的年金保险利益给付的精算现值，还计算了年金保险利益给付精算现值的一阶矩和二阶矩。2011年，冉启康对利息力分别建立Cox-IngersonRoss模型和ARMA(p,q)自回归移动平均时间序列模型，还采取Lee-Carter随机死亡率分布，推导出了随机利息力和随机死亡率下的年金利益给付现值精算模型。（三）研究方法1.文献分析法本文参考了国内外关于随机利率下的寿险精算模型的相关文献并对其进行分析。同时，参考国内外关于研究随机利率下寿险精算模型的建立分析的实证方法，并从多角度对随机寿险精算模型进行分析，最终得出相关的结论。2.实证分析法本文充分考虑了影响利率变动的因素,对利率建立了ARMA(p,q)自回归移动平均模型,采用近十年的一年期中国国债收益率作为基础数据，并运用stata统计软件对所建立的随机利率模型进行参数估计并检验,验证了该模型的合理性,并拟合出了对应的ARMA(1,1)模型。在基于建立的随机利率模型下，本文分别对单生命和多生命联合寿险保单进行了研究。对于单生命寿险保单，通过分别计算固定利率下与随机利率下寿险保单的精算现值，对比差异，发现运用随机利率模型可更加合理的计算保费，能够降低保险公司可能由于保费收取不足而导致的利润风险。除此之外，基于随机利率的精算模型可以更合理审慎地评估计提保险公司在不同保单年度应提取的未到期责任准备金额度，降低了保险公司或因为责任准备金提取不足而造成的偿付能力风险。一、寿险精算理论基础（一）货币的时间价值所谓利息，可以认为是资金实际使用者支付给资金所有者的报酬。尽管有多种多样的利息和资金的存在形式，但随着经济的发展，我们可以用货币来衡量和表示几乎所有的资金和利息。1.积累函数：定义a(t)为积累函数，表示单位本金在t期末的积累值。通常有a(t)>0。2.总量函数：A(t)=k∙a(t),其中k表示期初的本金为3.折现函数：积累函数a(t)的倒数a−1(t)4.实际利率：实际利率的定义通常是与具体的度量时间区间相联系的，一般用i表示，有i5.单利和复利：记i=如果at=1+it,则如果at=6.实际贴现率：与实际利率相对应，将d=1−7.利息强度：考虑i=An−A为t时的利息强度，又称利息力。注意到δtδ对上式等号两端同时积分，得到：a（二）生命函数1.单生命函数年龄为x岁的人通常用符号(x)来表示，用T(x)表示(x)这个人将来持续生存的时间长度，即余命，X表示(x)将来死亡时的年龄，由于(x)在未来什么具体时间死亡是不确定而且未知的变量，因此可以将X视为随机变量，将X称为(x)若T是一个连续型随机变量时，则其分布函数为Ft=Pr⁡(T≤t),个体(x)在将来某个时刻t依旧存活的概率用函数S如果一个个体在x岁时存活，则用函数npx表示(x)在该个体在ｎ年后依然存活的概率，即n根据式(6),对应的死亡概率用nqn此外，用t|来表示未来持续存活时间t年。则对于x将在未来存活t年后然后在u年内死亡的概率，可用t|uqt|u若u=1，则可将上式简记为t|qt|2.双生命函数寿险保单中,被保险人一般有且只有一个人,但在实际中,也可以存在一张寿险保单包含多个被保险人的情况。根据保单中包含得被保险人的人数对寿险保单进行分类,通常可以分为连生寿险保单，单生寿险保单。连生保险保单是指一张寿险保单中包含两个及两个以上的被保险人。在此,我们考虑一个二元的保险。我们可将保单中包含的若干个生命看成一个组合,这个组合定义为一个状态。根据组合中各个生命的生存与死亡情况，定义一个状态的存续与终止。例如:一个组合中有1个人,可以将状态的存续设定为全部存活,同样我们也可以定义存续状态为至少存活一人,这样的话，该组合内生命的全部死亡为终止状态。双生命状态的讨论：1.二元联合生存状态:该状态包含两个生命,第一个为x岁,第二个则是y岁,当两个生命中只要有一个死亡时,我们称之为消亡状态,当这两个生命均为存活状态时,称该状态为存续状态,表示为xy。2.二元生命最后状态:该状态也包含两个生命,其中一个为x岁,另外一个是y岁,与二元联合生存状态不同的是，当这两个生命当中至少有一个依然存活时称该状态为存续,而在两个生命中最后一个生命死亡时称该状态为消亡状态,该状态用符号记为xy。对于双生命状态的生存概率，有以下两个表达式：=PT(x)tPxy=1−P=1−1−（三）未来价值的精算现值在精算学中，对于未来预期发生的现金流，其预期精算现值的表达式为：EPV其中，A表示未来现金流的数额大小，P表示该现金流发生的概率，vt为贴现因子。二、随机利率(ARMA)模型的建立（一）随机利率模型简介1.ARMA模型简介在对离散利率模型的研究方面，许多研究者主要使用的是时间序列模型，并且已经得到了许多研究成果，如MA(q)、AR(p)还有扩展的ARMA(p,q)随机利息力模型。现阶段主要是在金融证券等领域应用ARMA(p,q)模型，研究人员也只是对通过采用已有的金融数据去建立模型，继而研究金融序列的特性。本文采用利息力建模方式，建立随机利息力ARMA模型，应用到精算领域并结合死亡随机性研究寿险精算中的实际问题。2.随机利息力(ARMA)模型设δt为第(t-1，t时刻的利息力，建立随机利息力Aδ其中δ0，δt−1,…,εt−在上式中，当所有参数为0时，利息力为常数δ0（二）数据选取选取2010年3月至2021年3月每季度末的一年期中国国债收益率作为后续分析的利率基础，利率数据数据来源：中国人民银行如表1。数据来源：中国人民银行表1利率表时间i时间i时间i时间i2010.31.59%2010.61.87%2010.91.85%2010.122.95%2011.32.92%2011.63.45%2011.92.58%2011.122.60%2012.32.86%2012.62.30%2012.92.80%2012.122.90%2013.32.64%2013.63.43%2013.93.45%2013.124.12%2014.32.87%2014.63.37%2014.93.77%2014.123.26%2015.33.19%2015.61.77%2015.92.36%2015.122.33%2016.32.16%2016.62.39%2016.92.19%2016.122.75%2017.32.89%2017.63.45%2017.93.46%2017.123.80%2018.33.35%2018.63.21%2018.92.98%2018.122.58%2019.32.40%2019.62.65%2019.92.67%2019.122.44%2020.31.82%2020.62.16%2020.92.61%2020.122.70%2021.32.54%（三）随机利率ARMA（p,q）模型建立对于表1中各季度末的利率，依照公式δ=log⁡(1+通过利息力表表2的数据可作出利息力序列的时序图1，观察利息力序列图可以发现，利息力的数值始终在0.028左右上下随机波动，而且其波动的范围有明显的边界，但同时也可看出利息力的这种波动无波动的相应周期特征以及无明显的波动趋势。表2利息力表时间δ时间δ时间δ时间δ2010.30.0157752010.60.0185272010.90.0183312010.120.0290732011.30.0287822011.60.0339182011.90.0351742011.120.0256682012.30.0281992012.60.0227392012.90.0276152012.120.0285872013.30.0260672013.60.0337252013.90.0339182013.120.0403742014.30.0282962014.60.0331452014.90.0369782014.120.0321092015.30.0314022015.60.0175162015.90.0233262015.120.0230232016.30.0213992016.60.0236192016.90.0216152016.120.0271382017.30.0284422017.60.0339472017.90.0340152017.120.0373252018.30.0329512018.60.0315962018.90.0293652018.120.0254242019.30.0237072019.60.0261942019.90.0263502019.120.0241072020.30.0180362020.60.0213702020.90.0257652020.120.0266422021.30.025083图1利息力序列选择滞后期数20并用stata软件得到其自相关系数自相关系数是将自协方差标准化为介于[-1,1]之间的量，对于严格平稳过程，其不依赖于时间，而只是滞后阶数的函数。(ACF)和偏自相关系数自相关系数是将自协方差标准化为介于[-1,1]之间的量，对于严格平稳过程，其不依赖于时间，而只是滞后阶数的函数。给定{yt+1,…,yt+k−1}条件下，表3利息力序列相关性LAGACPACQProb>Q10.59150.593416.8160.000020.40160.103224.750.000030.0881-0.257225.1410.00004-0.0740-0.150125,4240.00005-0.13430.042426.3770.00016-0.3903-0.532234.640.00007-0.25600.268138.2880.00008-0.3204-0.039344.1550.00009-0.1946-0.093546.3810.000010-0.1785-0.174648.3070.000011-0.1344-0.010249.430.0000120.0634-0.100549.6880.0000130.0048-0.261049.690.0000140.16790.112851.6120.0000150.0833-0.110952.1010.0000160.0962-0.293652.7760.0000170.02050.089152.8080.000018-0.04210.290552.9460.0000190.0636-0.062653.2750.000020-0.0035-0.084953.2760.0001根据表3可看出，偏自相关系数与自相关系数始终在0周围波动，结合时序图可判断该序列为平稳时间序列。并根据相关分析，所选利息力的偏自相关系数和自相关系数都表现为拖尾性，因此初步判断可以对于利息力采用ARMA模型，对于移动平均阶数和自回归阶数可别采用1或2进行分析。利用stata软件针对ARMA(p,q),p=1,2;q=1,2进行参数估计和检验，得到不同利息力模型下的检验结果如表表4不同利息力模型的检验结果模型AICAICAIC即赤池信息准则，是衡量统计模型拟合优良性的一种标准，一般认为之越小拟合优良性越高SCSCSC即施瓦兹准则，其检验思想也是通过比较不同分布滞后模型的拟合优度来确定合适的滞后期长度。ARMA(1,1)-1.684085-1.542643ARMA(1,2)-1.627492-1.468665ARMA(2,1)-1.626848-1.468776ARMA(2,2)-1.597341-1.396591将各利息力模型的检验结果进行对比，由表4可知自回归移动平均ARMA(1,1)的AIC值和SC值均为最小值，因此判定自回归和移动平均阶数均为1，用stata软件建立A表5参数检验VariableCoefStd.Err.zP>zAR(1)0.69683430.2023583.440.001MR(1)-0.08860130.3470128-3.320.0011/sigma0.00444950.00048699.140.000根据表5中的系数数据，对于利息力建立ARMA(1,1)模型：δ并由表5可知，在0.01的显著水平下，表中的t统计量和p值显示各参数估计值是显著的。（四）随机利率模型检验ARMA(1,1)模型拟合利息力后，检验拟合模型的残差序列是否为白噪声序列。首先用stata软件生成拟合模型的残差序列并得到其自相关与偏相关分析结果如表6所示。表6残差序列相关性LAGACPACQProb>Q1-0.0100-0.01000.013270.90832-0.0003-0.00040.013290.993430.01030.01060.02760.99984-0.0033-0.00310.02910.99995-0.0328-0.03410.177650.999360.02560.02600.268790.999670.09120.09651.43760.98448-0.0211-0.01901.50050.99279-0.0429-0.04811.76380.9947100.07830.08012.64690.9886根据表6数据，自相关函数值、偏自相关函数值以及Q值及其ｐ值显示，残差序列为白噪声序列，因此模型是适合的模型。（五）随机利率模型预测根据建立的ARMA(1,1)模型对未来10年的利息力进行预测如图5，得到每年４个季节共40个数据如表7。表7未来利息力时间3月6月9月12月20210.0257610.0260950.02632820220.0264910.0266040.0266830.02673720230.0267760.0268020.0268210.02683420240.0318430.0318490.0318540.03185720250.0327590.0328660.0328610.03286220260.0282510.0271180.0269860.02685420270.0267230.0265920.0264630.02633320280.0262050.0255720.0254470.02532320290.0251990.0250760.0249540.02483220300.0247110.0245900.0244700.02435120310.024232三、随机利率模型下寿险精算实际案例分析（一）单生命寿险精算模型分析1.寿险产品选取选取我国中国平安人寿保险股份有限公司中的保险产品《平安金瑞人生（2021）年金保险》，根据其主要条款可知，对于被保险人，保险公司在合同期间为该保险提供的主要保障如下：（1）特别生存保障若投保人选择的交费期间为3年，则自本主险合同生效之日起，到达第5个及第6个保单周年日被保险人仍生存，保险人在第5个及第6个保单周年日按本主险合同基本保险金额确定的年交保险费的60%给付特别生存保险金。（2）生存保障若投保人选择的交费期间为3年或5年，则自本主险合同第7个保单周年日开始，至第9个保单周年日（含第9个保单周年日），每年到达保单周年日被保险人仍生存，保险人按本主险合同基本保险金额的30%给付生存保险。（3）满期生存保障被保险人于本主险合同保险期满时仍生存，保险人按期满时本主险合同的基本保险金额给付满期生存保险金，本主险合同终止。（4）身故保障被保险人身故，保险人按本主险合同的所交保险费给付身故保险金，本主险合同终止。“所交保险费”按照被保险人身故当时本主险合同的基本保险金额确定的年交保险费×已交费年度数计算。2.被保险人相关假设假设一位35岁的男性于2020年12月31日为自己投保了《平安金瑞人生（2021）年金保险》，基本保险金额100000元，选择的交费期间为3年，保险期间为10年，年交保费93680元。对于该保险条款，被保险人死亡率将依据《中国人身保险业经验生命表（2010-2013）》：CL1。3.身故保险金给付以及满期生存给付现值假设在这保险期间内无退保或者其他可能导致合同终止的情况，各保单年度被保险人的死亡概率、生存概率及其对应的保险死亡利益与期满给付利益如表8所示。表8身故及满期给付时间kx+kqkk|DBkFTBδ20200350.001111--0.02664220211360.001200.998890.0011193680-0.02632820222370.001290.997690.00120187360-0.02673720233380.001400.996410.00129281040-0.02683420244390.001520.995020.00139281040-0.03185720255400.001650.993510.00151281040-0.03286220266410.001800.991870.00164281040-0.02685420277420.001980.990080.00179281040-0.02633320288430.002170.988120.00196281040-0.02532320299440.002390.985980.00215281040-0.024832203010450.002640.983620.002362810401000000.024351注：k表示对应到达的保单年度，x+k为在该保单年度时被保险人的年龄大小；qx+k即死亡率的分布的数据来自《中国人身保险业经验生命表（2010-2013）》：CL1;DBk和FTB由于该评估是针对每个保单年度，所以δk该保单的满期生存给付与身故保障给付结合起来类似于10年期两全保险，故由表6可计算出其预期精算现值为：EPV==3582.281+74742.41=78324.69如果选取2020年底利息力=0.026642作为之后各保单年度评估的基准利息力，则在此情况下，期满生存利益给付与身故保障利益给付精算现值为：EPV==3098.454+68732.83=71831.28比较常数利息力和的ARMA(1,1)4.年金给付现值从产品条款中可得知，该保单包含的年金分为特别给付年金与生存给付年金两种，分别记为SSB、SB，不同的保单年度年金给付情况如表9。表9年金给付时间kx+kqkk|SSBSBδ20200350.0011110.02664220211360.001200.998890.00111--0.02632820222370.001290.997690.00120--0.02673720233380.001400.996410.00129--0.02683420244390.001520.995020.00139--0.03185720255400.001650.993510.0015156208-0.03286220266410.001800.991870.0016456208-0.02685420277420.001980.990080.00179-300000.02633320288430.002170.988120.00196-300000.02532320299440.002390.985980.00215-300000.024832203010450.002640.983620.00236--0.024351根据表7可计算出该保险两种生存给付年金的预期现值为：EPV==同样在固定利率下的生存年金给付预期现值：EPV==对比二者的现值差异可发现，在具有年金给付利益的保险产品中，采取常数利息力下的精算现值会低于ARMA(1,1)随机利息力情形下的生存年金给付精算现值。联系前一部分死亡寿险两种情形下的精算现值差异可发现，对于年金保险产品，A5.责任准备金的提取经计算，在第五个保单年度，即2025年底固定常数利息力下需要计提的未到期责任准备金数额为168673.64元而在ARMA(1,1)利息力下应提取的未到期责任准备金数额为186573.84元。而且经过对比二者的精算现值差异可发现，固定常数利息力下应计提的责任准备金额度要始终低于ARMA(1,1)利息力下应计提的责任准备金额度，这是因为ARMA(1,1)利息力充分考虑了利率的响因素，保险公司若采用ARMA(p,q)（二）多生命联合寿险保单分析假设一个三口之家，男方35岁、女方32岁以及一个9岁的儿子，假设三人共同投保了上述《平安金瑞人生（2021）年金保险》产品，并且假设他们的死亡率分布均是100%《中国人身保险业经验生命表（2010-2013）》：CL3（2010-2013）、ＣL4（2010-2013），并且在保险期间没有退保或其他可能导致保单失效或终止的情况，则根据该联合保险各保单年度的死亡率如表10，并可进一步根据最后生存、联合生存，以及考虑死亡顺序先后的死亡率分布分别如表11，表12，表13，表14，表15计算其对应的保险死亡利益给付精算现值和两类年金利益给付精算现值。表10联合寿险死亡率时间kx+kyz+kqqqk20200353290.000850.0002770.0001771202113633100.0009190.0002970.0001870.99915202223734110.0009950.0003190.0002020.998232202333835120.0010780.0003460.000220.997239202443936130.001170.0003760.000240.996164202554037140.001270.0004110.0002610.994998202664138150.001380.000450.000280.993734202774239160.00150.0004940.0002980.992363202884340170.0016310.0005420.0003150.990874202994441180.0017740.0005950.0003310.9892582030104542190.0019290.0006530.0003460.987503表11联合寿险死亡率时间kk|kk|kk|20200-1-1-202110.000850.9997230.0002770.9998230.000177202220.0009180.9994260820.0002969180.9996360330.000186967202330.0009930.9991072650.0003188170.9994341070.000201926202440.0010750.9987615740.0003456910.9992142310.000219876202550.0011660.998386040.0003755340.998974420.000239811202660.0012640.9979757030.0004103370.9987136870.000260732202770.0013710.9975266140.0004490890.9984340480.00027964202880.0014890.9970338360.0004927780.9981365140.000297533202990.0016160.9964934440.0005403920.9978221010.0003144132030100.0017550.995900530.0005929140.9974918220.000330279表12联合寿险死亡率时间kkkk|k|k|202001202110.9986964350.9997230.0002770.0001768010.000177202220.9972957630.9994260820.0002969180.0001865290.000186967202330.9957844440.9991072650.0003188170.0002011890.000201926202440.9941480580.9987615740.0003456910.0002187610.000219876202550.9923733160.998386040.0003755340.0002382270.000239811202660.990447080.9979757030.0004103370.0002585740.000260732202770.9883583590.9975266140.0004490890.0002768180.00027964202880.9860943610.9970338360.0004927780.0002939440.000297533202990.9836425050.9964934440.0005403920.0003099450.0003144132030100.9809884790.995900530.0005929140.0003248150.000330279表13联合寿险死亡率时间kkkkk|k|20200111--202110.9991503860.9997232840.9998231990.0000000000420.000000000042202220.9990826420.9997037150.9998134710.0000000001920.000000000191202330.9990082080.9996822430.9997988110.0000000005020.000000000498202440.9989271520.9996559060.9997812390.0000000010460.000000001042202550.9988375630.9996267270.9997617730.0000000019290.000000001926202660.9987405330.9995927590.9997414260.0000000032900.000000003307202770.9986341810.9995550390.9997231820.0000000053120.000000005371202880.9985186360.9995126290.9997060560.0000000082280.000000008380202990.9983930580.9994665770.9996900550.0000000123420.0000000126422030100.9982566340.9994159640.9996751850.0000000180450.000000018584表14联合寿险死亡率时间kk|kkk20200-111202110.0000002354080.9999999999580.9999999999580.999999764592202220.0000010144430.9999999998080.9999999998090.999998985557202330.0000024638550.9999999994980.9999999995020.999997536145202440.0000047474660.9999999989540.9999999989580.999995252534202550.0000080647390.9999999980710.9999999980740.999991935261202660.0000126672030.9999999967100.9999999966930.999987332797202770.0000188596550.9999999946880.9999999946290.999981140345202880.0000270174060.9999999917720.9999999916200.999972982594202990.0000375841870.9999999876580.9999999873580.9999624158132030100.0000511009430.9999999819550.9999999814160.999948899057表15死亡或满期保险利益给付及生存年金时间kDBFTBSSBSBδ202000.02664220211936800.026328202221873600.026737202332810400.026834202442810400.03185720255281040-56208-0.03286220266281040-56208-0.02685420277281040--300000.02633320288281040--300000.02532320299281040--300000.024832203010281040100000--0.024351在表10，表11，表12，表13，表14的死亡率分布及表15的死亡利益给付、期满生存给付和两类年金给付额，可得到不同情形下的保险利益精算现值和年金给付精算现值。1.联合生存状态：对于联合生存状态下的10年期两全保险死亡利益给付与期满生存给付精算现值及10年定期两类年金给付精算现值分别为：EP=1429.13+6634.88=8064.01（元）EP2.最后生存状态：对于最后生存状态下的10年期两全保险死亡利益给付与期满生存给付精算现值及10年定期两类年金给付精算现值分别为：EP=18904.87+6805.748=25710.62（元）EP由于Txyz=minT(x),T(yEP若死亡利益给付额度与期满生存利益给付额度减少m，则相对应的精算现值之差减少17646.60m,同样，在相同年金利益给付额度下:EP同理，若年金利益给付增加m则年金利益给付现值之差增加552.72m。又依照保费厘定的公式可知,保费的精算现值会等于未来死亡利益给付额度与期满生存给付额度精算现值、年金利益给付精算现值二者之和。因此对于保险公司而言，针对相同的年金利益给付额度和死亡利益给付额度的保单，若小幅度减少死亡给付额度并且大幅度增加年金给付额度，则收取的净保费之差可以被缩小。所以，保险公司可推出虽然满期生存或死亡利益给付额度低、但具有较高额度年金保险利益给付的联合生存保险保单来增添公司的产品多样性，还可与其它保险公司的同年金给付额度同死亡利益保额但以最后生存为给付条件的保险保单产品竞争。分析死亡顺序的先后且以最先死亡为给付条件情况下给付的期满生存给付与死亡利益给付精算现值及两类年金给付精算现值。1.x最先死亡，即T(x)EP=871.55+6702.34=7573.89(元)EP2.y最先死亡，即T(y)EP=341.99+6765.01=7107.00（元）EP3.z最先死亡，即T(z)EP=214.69+6779.16=6993.85（元）EP通常我们有x≥y≥z,在同一死亡年龄的情况下，显然会有T(x)≤Ty≤EPEP所以，对于保险公司而言，针对同样的年金利益给付额度和满期生存或死亡利益给付额度保单，若减少满期生存或死亡利益给付额度，增加年金利益给付额度，则收取的净保费之差可被缩小。因此，保险公司可通过开发出针对以组合中年龄更大的被保险人第一个死亡为利益给付条件的保险给付低额期满生存或死亡利益给付、高额年金利益给付的保险保单来丰富公司的产品类型，而且还能够与其它公司以相对年龄更地的被保险人第一个死亡为利益给付条件的保险产品竞争。分析死亡顺序的先后且以最后死亡为利益给付条件情况下的死亡利益给付与精算现值及两类年金给付精算现值。1.x最后死亡，即T(x)EP=0.005+6805.795=6805.80（元）EP2.y最后死亡，即T(y)EP=0.005+6805.795=6805.80（元）EP3.z最后死亡，即T(z)EP=0.005+6805.749=6805.75（元）EP对于以顺序最后死亡为利益给付条件的保险产品，有现实年龄x≥y≥z，在死亡年龄相同的情形下，显然有T(x)≤Ty≤T四、结论与建议（一）研究结论本文不仅考虑未来社会经济对利率本身造成的波动因素，而且考虑过去数年利率对未来利率的影响，对利率建立时间序列模型，并得出如下的结论：１.选取2010年3月到2021年3月每季度末的一年期中国国债收益率数据作为利率基础数据，对其运用ARMA(p,q)随机利率模型进行参数估计并检验，得出收益率数据符合２.相较于固定常数利息力，ARMA(p,q)随机利率模型下的利息力会估计出更高的净保费，这是因为ARMA(p,q)利息力充分考虑了利率的波动对保费造成的风险，且利息力波动越大，对寿险给付保单尤其是期满给付额度较高的保单，会造成更大的风险，通过运用ARMA(p３．相较于固定常数利息力，ARMA(p,q)模型下的利息力会在任一保单年度估计出更高的应提取的未到期责任准备金，因此利率的波动会对责任准备金评估计提造成较大的风险，且利息力波动越大，对年金给付保险产品或寿险给付保险产品的责任准备金估计产生更大的风险，保险公司可采用ARMA(p,q)随机利率模型以更加合理审慎的提取责任准备金，降低准备金虽然本文对于随机利率下的寿险精算模型进行改进增强其实用性，并做了进一步研究，但仍然存在以下几点不足：1.只考虑到随机利率波动性对于传统寿险产品造成的影响，对于新型保险产品如万能险、投连险的影响还有待进一步研究分析。2.本文对于寿险中人的死亡率因素主要是使用了现有的生命表，生命表在此就代表了随机死亡率但是生命表的构造并不代表了所有的人群的死亡特征，所以可以从人口模型上考虑这一因素从理论上进一步丰富随机死亡率这一方面的研究。3.联合寿险中的实例分析采用各项假设是基于个人寿险产品，而联合保单与个人寿险保单有较大的差异，这对于结论可能会造成与现实有一定的偏差。建议从保险公司经营管理角度来说，公司的盈利能力会受到未来现金流的影响，因此有必要对与贴现率直接挂钩的利率进行合理的估计。通过上述的分析与研究，对保险公司经营提出以下几点建议。1.由实例可以看出，固定利率下与随机利率下的精算现值具有较大的差异，故建议保险公司在进行费率厘定与提取未到期责任准备金时，应更多的假定随机利率，采取可靠的随机利率模型，以避免利率波动带来的风险，实现稳健经营。2.保险公司可推出虽然满期生存或死亡利益给付额度低、但具有较高额度年金保险利益给付的联合生存保险保单来增添公司的产品多样性，还可与其它保险公司的同年金给付额度同死亡利益保额但以最后生存为给付条件的保险保单产品竞争。3.可通过开发出针对以组合中年龄更大的被保险人第一个死亡为利益给付条件的保险给付低额期满生存或死亡利益给付、高额年金利益给付的保险保单来丰富公司的产品类型，而且还能够与其它