5.1 投影 第2课时 数学北师大版九年级上册学案

1投影第2课时【旧知再现】投影现象：物体在__光线__的照射下，会在地面或其他平面上留下它的__影子__，这就是投影现象．__影子__所在的平面称为__投影面__．【新知初探】阅读教材P129—P130完成下面问题：1．平行投影与正投影(1)平行投影：太阳光线可以看成__平行光线__，像这样的光线所形成的投影．(2)正投影：平行光线与投影面__垂直__的投影．2．平行投影的规律(1)在同一时刻，不同物体的影子的规律：同一时刻，不同物体的高度与影长成__正比__，即eq\f(甲物高,甲影长)＝__eq\f(乙物高,乙影长)__，且影子的方向__相同__．(2)在不同时刻，同一物体的影子的变化规律：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的方向：西→__西北__→北→东北→__东__．物体影子的长度：长→__短____→__长__．3．平行投影与中心投影的区别(1)光：平行投影的光一般是__太阳____，其光线是__平行__的，中心投影的光是点光，其光线交汇于__点光__，是__发散__的(填“平行”或“发散”).(2)同一时刻，阳光下所有物体的影子总是__同一__方向的，而灯光下的影子因光位置不同，影子的方向__也可能不同____．【图表导思】如图，AC，DF是太阳光线，BC，FE是物体AB，DF形成的影子．1．AC与DF的关系是什么？【解析】AC∥DF.2．△ABC与△DEF的关系是什么？为什么？【解析】△ABC∽△DEF，∵AC∥DF，∴∠DFE＝∠ACB，又∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF.3．同一时刻，物体的影长与高度有什么关系？【解析】同一时刻，物体的影长与高度成正比．【质疑判断】1．平行投影中，物体越高影子越长．(√)2.太阳光线是平行的，中心投影的光线是不平行的．(√)3．平行投影与中心投影的区别是只有光不同．(×)平行投影【教材P131“做一做”拓展】——平行投影作图如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝4m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m.(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影．(2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，请你计算DE的长．【完善解答】(1)连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段__EF__即为DE的投影．(2)∵AC∥DF，∴__∠ACB＝∠DFE__．两直线平行同位角相等∵∠ABC＝__∠DEF__＝90°，∴△ABC∽△DEF.两角相等的两个三角形相似∴AB∶__DE__＝BC∶__EF__，相似三角形的性质∵AB＝4m，BC＝3m，EF＝8m，∴4∶DE＝3∶8，等量代换∴DE＝__eq\f(32,3)__(m).求值【归纳提升】平行投影作图的思路：eq\x(根据物体与它的影子)⇨eq\x(画出太阳光线)⇨eq\x(画出平行的另一条太阳光线)⇨eq\x(画出另一个物体的影子)变式一：巩固(2021·青岛质检)如图，水平方向的粗实线是旗杆在太阳光下的投影．(1)画出此时标杆A在太阳光下的影子；(2)如果不想看到标杆的影子，标杆应放在何处．【解析】(1)如图，线段AB即为所求．(2)应放在OC中．变式二：提升某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上．(1)在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；(2)若AB＝6米，CD＝3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长．【解析】见全解全析平行投影与相似【教材P130“例2”拓展】——利用三角形相似计算影子的长度李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.6m，CA＝30m(点A，E，C在同一直线上).已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB.【自主解答】过点D作DN⊥AB，垂足为N.交EF于M点，∴四边形CDME，ACDN是矩形，∴AN＝ME＝CD＝1.2m，DN＝AC＝30m，DM＝CE＝0.6m，∴MF＝EF－ME＝1.6－1.2＝0.4m．依题意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴eq\f(DM,DN)＝eq\f(MF,BN)，即eq\f(0.6,30)＝eq\f(0.4,BN)，BN＝20，AB＝BN＋AN＝20＋1.2＝21.2米．答：楼高为21.2米．【归纳提升】利用平行投影求物高的步骤1．根据光线的平行特征构造相似三角形，方法有两种：(1)截线．(2)延长，使图中出现矩形或直角三角形．2．利用常用的关系式：eq\f(甲物高,甲影长)＝eq\f(乙物高,乙影长)，列方程求解．变式一：巩固如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1∶eq\r(2)，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？(结果保留根号)【解析】见全解全析变式二：提升(2021·平顶山期末)小明测得树AB落在水平地面上的影长BC为2.4米，落在坡面上的影长CE为3.2米，身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落在坡面上，小芳帮他测得他的影长为2m．已知坡面的铅直高度CH与水平距离DH的比为3∶4，试求树AB的高度．【解析】见全解全析【一题多变】“影子落在墙上”问题如图，小明同学想利用树影测出树高AB，他在某时刻测得直立的标杆高1米，影长是0.9米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，他测得BC＝2.7米，CD＝1.2米．试问你能帮他求出树高AB为多少米吗？【解析】因为同一时刻物高与影长成正比，所以eq\f(标杆高度,标杆影长)＝eq\f(树影落在地上部分的树高,落在地上的影长)，即eq\f(1,0.9)＝eq\f(树影落在地上部分的树高,2.7)，解得树影落在地上部分的树高＝3米，所以树的高度为3＋1.2＝4.2米．【母题变式】“影子落在台阶上”问题在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，求树的高度．【解析】如图，∵eq\f(DE,EH)＝eq\f(1,0.6)，∴EH＝0.3×0.6＝0.18(米)，∴AF＝AE＋EH＋HF＝4.42＋0.18＋0.2＝4.8(米).∵eq\f(AB,AF)＝eq\f(1,0.6)，∴AB＝eq\f(4.8,0.6)＝8(米)，∴树的高度为8米．难题拆解(2021·重庆质检)某数学兴趣小组，利用树影量树高，如图(1)所示，已测出树AB的影长AC为12m，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，求树与地面成45°时的影长．(用图(2)解答)层层剖析——清障碍拆解一：求出树高AB；【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴AB＝eq\f(\r(3),3)AC＝eq\f(\r(3),3)×12＝4eq\r(3)(m)，即树高为4eq\r(3)拆解二：在图(2)中标出AB的影长，并画出添加辅助线的图形．【解析】AB的影长是AC.水到渠成——破难题【自主解答】在题干图(1)中，对于Rt△ABC，∵∠ACB＝30°，∴AB＝eq\f(\r(3),3)AC＝eq\f(\r(3),3)×12＝4eq\r(3)(m)，即树高为4eq\r(3)如图，作BH⊥AC于点H，在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，∴AH＝BH＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×4eq\