2024-2025学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元素养评价含解析新人教A版选修2-2

PAGE单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2024·全国Ⅱ卷)(1-i)4= ()A.-4 B.4 C.-4i D.4i【解析】选A.(1-i)4=QUOTE=QUOTE=(-2i)2=-4.2.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是 ()A.-1-i B.-1+iC.1-i D.1+i【解析】选A.因为z=i(i+1)=-1+i,所以QUOTE=-1-i.3.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a= ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选B.因为(2+ai)(a-2i)=-4i,所以4a+(a2-4)i=-4i.所以QUOTE解得,a=0.4.设i是虚数单位,则复数QUOTE在复平面内所对应的点位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1+i,由复数的几何意义知,-1+i在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于其次象限.5.已知复数z满意|z|=2,则|z+3-4i|的最小值是()A.5 B.2 C.7 D.3【解析】选D.|z|=2表示复数z在以原点为圆心,以2为半径的圆上,而|z+3-4i|表示圆上的点到(-3,4)这一点的距离,故|z+3-4i|的最小值为QUOTE-2=5-2=3.6.复数QUOTE=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a2-b2的值为 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选A.QUOTE=QUOTE=-i=a+bi,所以a=0,b=-1,所以a2-b2=0-1=-1.7.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是 ()A.(-3,1) B.(-1,3)C.(1,+∞) D.(-∞,-3)【解析】选A.由题意知QUOTE即-3<m<1.故实数m的取值范围为(-3,1).8.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是QUOTE,则QUOTE等于 ()A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i【解析】选C.由题意可得QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1+2i.【补偿训练】已知复数z=-QUOTE+QUOTEi,则QUOTE+|z|= ()A.-QUOTE-QUOTEi B.-QUOTE+QUOTEiC.QUOTE+QUOTEi D.QUOTE-QUOTEi【解析】选D.因为z=-QUOTE+QUOTEi,所以QUOTE+|z|=-QUOTE-QUOTEi+QUOTE=QUOTE-QUOTEi.9.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.m=1时,z1=3-2i=z2,故“m=1”是“z1=z2”的充分条件.由z1=z2,得m2+m+1=3,且m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,故“m=1”不是“z1=z2”的必要条件.10.设z是复数,则下列命题中的假命题是 ()A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0【解析】选C.设z=a+bi,a,b∈R⇒z2=a2-b2+2abi.对于选项A:若z2≥0,则b=0⇒z为实数,所以z为实数正确.对于选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0⇒z为纯虚数,所以z为虚数正确.对于选项C:若z为虚数,则z2不肯定为实数,所以z2≥0错误.对于选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0⇒z2<0,所以z2<0正确.11.若1+QUOTEi是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则 ()A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1【解析】选B.由题意可得(1+QUOTEi)2+b(1+QUOTEi)+c=0⇒-1+b+c+(2QUOTE+QUOTEb)i=0,所以QUOTE⇒QUOTE12.已知复数z=(x-2)+yi(x,y∈R)在复平面内对应的向量的模为QUOTE,则QUOTE的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为|(x-2)+yi|=QUOTE,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,y)在以C(2,0)为圆心,以QUOTE为半径的圆上,如图,由平面几何学问知,-QUOTE≤QUOTE≤QUOTE.二、填空题(每小题5分,共20分)13.若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·QUOTE+z=________.

【解析】因为z=1-2i,所以z·QUOTE=|z|2=5,所以z·QUOTE+z=6-2i.答案:6-2i14.设z2=z1-QUOTE(其中QUOTE表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________.

【解析】设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1-QUOTE=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.答案:115.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=________.

【解析】设m=bi(b∈R,且b≠0),方程的实根为x0,则QUOTE+(2-i)x0+(2bi-4)i=0,即(QUOTE+2x0-2b)-(x0+4)i=0,即QUOTE解得x0=-4,b=4.故m=4i.答案:4i16.已知复数z=a+bi(a,b∈R)且QUOTE+QUOTE=QUOTE,则复数z在复平面对应的点位于第________象限.

【解析】因为a,b∈R且QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以5a+5ai+2b+4bi=15-5i,即QUOTE解得QUOTE所以z=7-10i.所以z对应的点位于第四象限.答案:四三、解答题(共70分)17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.【解析】因为向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.18.(12分)已知复数z1=i(1-i)3,(1)求|z1|.(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.【解析】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),所以|z1|=QUOTE=2QUOTE.(2)|z|=1,所以设z=cosθ+isinθ,|z-z1|=|cosθ+isinθ-2+2i|=QUOTE=QUOTE.当sinQUOTE=1时,|z-z1|取得最大值QUOTE,从而得到|z-z1|的最大值为2QUOTE+1.【一题多解】本题还可用下面的方法求解:|z|=1,可把复数z在复平面内对应点的轨迹看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,由图可知:|z-z1|max=2QUOTE+1.19.(12分)已知z=1+i,a,b为实数.(1)若ω=z2+3QUOTE-4,求|ω|;(2)若QUOTE=1-i,求a,b的值.【解析】(1)因为ω=z2+3QUOTE-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,所以|ω|=QUOTE=QUOTE.(2)由条件QUOTE=1-i,得QUOTE=1-i,即QUOTE=1-i.所以(a+b)+(a+2)i=1+i,所以QUOTE解得QUOTE20.(12分)已知复数z1满意(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,a∈R,若|z1-QUOTE|<|z1|,求a的取值范围.【解析】因为z1=QUOTE=2+3i,z2=a-2-i,QUOTE=a-2+i,所以|z1-QUOTE|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=QUOTE,又因为|z1|=QUOTE,|z1-QUOTE|<|z1|,所以QUOTE<QUOTE,所以a2-8a+7<0,解得1<a<7.所以a的取值范围是(1,7).21.(12分)已知复数z满意|z|=QUOTE,z2的虚部是2.(1)求复数z.(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以QUOTE=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以QUOTE=1.22.(12分)已知z=m+3+3QUOTEi,其中m∈C,且QUOTE为纯虚数,(1)求m对应的点的轨迹;(2)求|z|的最大值、最小值.【解析】(1)设m=x+yi(x,y∈R),则QUOTE=QUOTE=QUOTE