2025年中考数学考点分类专题归纳之 一元二次方程

年中考数学考点分类专题归纳一元二次方程知识点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.备注：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．备注：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是x1，x2，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.备注：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审：(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设：(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列：(根据题目中的等量关系，列出方程)；解：(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验：(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答：(写出答案，切忌答非所问).1．（2024•万州区）下列方程中不一定是一元二次方程的是（）A．（a+3）x2+2x＝5（a≠﹣3） B．x2 C．（x﹣1）（x+4）＝2x2﹣5 D．ax2+bx+c＝02．（2024•宁夏）若2是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．1 B． C． D．3．（2024•盐城）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．44．（2024•万州区）已知x＝2是关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）A．0 B．0或﹣2 C．﹣2或6 D．65．（2024•临沂）一元二次方程y2﹣y0配方后可化为（）A．（y）2＝1 B．（y）2＝1 C．（y）2 D．（y）26．（2024•万州区）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0时可配方得（）A．（x﹣2）2＝7 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝1 D．（x+2）2＝27．（2024•安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9 C．13 D．12或98．（2024•万州区）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k且k≠﹣2 B．k C．k且k≠﹣2 D．k9．（2024•锦州）一元二次方程2x2﹣x+1＝0根的情况是（）A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断10．（2024•青海）关于一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根11．（2024•桂林）已知关于x的一元二次方程2x2﹣kx+3＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A． B． C．2或3 D．12．（2024•山西）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0 B．x2+4x﹣1＝0 C．2x2﹣4x+3＝0 D．3x2＝5x﹣213．（2024•湘潭）若一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜114．（2024•娄底）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（）A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定15．（2024•泸州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．k≤0 C．k＜2 D．k＜016．（2024•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣317．（2024•湘西州）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则另一个解为（）A．1 B．﹣3 C．3 D．418．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x0有两个不相等的实数根x1，x2．若4m，则m的值是（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在19．（2024•眉山）若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则的值是（）A． B． C． D．20．（2024•本溪）关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k＝0的一个根为1，则k的值是___．21．（2024•扬州）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为______．22．（2024•资阳）已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m＝0有一个根为0，则m＝___．23．（2024•荆门）已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，则k的值为____．24．（2024•齐齐哈尔）解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）．25．（2024•柳州）一元二次方程x2﹣9＝0的解是____________．26．（2024•绵阳）已知a＞b＞0，且0，则_．27．（2024•十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，例如，5※3＝52﹣5×3＝10．若（x+1）※（x﹣2）＝6，则x的值为___．28．（2024•大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x＝32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32 C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．10×6﹣4x2＝3229．（2024•宁夏）关于x的方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是____．30．（2024•荆州）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝4，则x12﹣x1x2+x22的值是___．31．（2024•莱芜）已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝_______．32．（2024•达州）已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为___．33．（2024•江西）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为___．34．（2024•乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（）A．（180+x﹣20）（50）＝10890 B．（x﹣20）（50）＝10890 C．x（50）﹣50×20＝10890 D．（x+180）（50）﹣50×20＝1089035．（2024•德州）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝____．36．（2024•绍兴）（1）计算：2tan60°（2）0+（）﹣1．（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．37．（2024•泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为_______．38．（2024•梧州）解方程：2x2﹣4x﹣30＝0．39．（2024•巴中）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．40．（2024•黄石）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1﹣x2＝2，求实数m的值．41．（2024•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．42．（2024•玉林）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）给k取一个负整数值，解这个方程．43．（2024•成都）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．44．（2024•遂宁）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．45．（2024•湖北）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．46．（2024•呼和浩特）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1•x2．47．（2024•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若1，求k的值．48．（2024•孝感）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22﹣x1x2＝3p2+1，求p的值．49．（2024•上海）方程组的解是_________．50．（2024•赤峰）2017﹣2024赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（）A．x（x﹣1）＝380 B．x（x﹣1）＝380 C．x（x+1）＝380 D．x（x+1）＝38051．（2024•宁夏）某企业2024年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（）A．300（1+x）＝507 B．300（1+x）2＝507 C．300（1+x）+300（1+x）2＝507 D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝50752．（2024•眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）A．8% B．9% C．10% D．11%53．（2024•绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人54．（2024•遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？55．（2024•沈阳）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．56．（2024•重庆）在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．（1）原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里