2024-2025学年广西钦州市浦北县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

-2025学年广西钦州市浦北县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．）1．（3分）下列选项中，是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（3分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．3．（3分）判断方程的根的情况，正确的是A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根4．（3分）如图，将△绕着点顺时针旋转一定角度后得到△，若，，则的度数是A． B． C． D．5．（3分）把x2﹣4x+1化成（x﹣h）2+k（其中h，k是常数）形式的结果为（）A．（x﹣2）2﹣3 B．（x﹣4）2﹣15 C．（x﹣2）2+3 D．（x﹣2）2+156．（3分）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是A． B． C． D．点与点是对应点7．（3分）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是A． B． C． D．8．（3分）若，是方程两个根，则A． B． C． D．9．（3分）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是A． B． C． D．10．（3分）某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位．每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛A．6 B．5 C．4 D．311．（3分）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为32米，则长方形的最大面积为A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米12．（3分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为A．6 B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）13．（2分）方程的二次项系数是．14．（2分）点关于原点对称点的坐标为．15．（2分）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为．16．（2分）已知函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围为．17．（2分）如图，△为直角三角形，是斜边，将△绕点逆时针旋转后，能与△重合，如果，求的长为．18．（2分）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）解方程：（1）；（2）．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC向x轴正方向平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，以点O为中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．21．（8分）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）证明：方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．22．（8分）已知二次函数的图象经过点，．（1）求该二次函数的解析式；（2）在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量的取值范围．23．（10分）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．（1）求证：；（2）若，，求的度数．24．（10分）某工程队采用，两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划型设备每小时铺设路面比型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．（1）求型设备每小时铺设的路面长度；（2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．25．（10分）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？26．（10分）【探索发现】如图①，为等腰直角三角形，，．以为边向左侧作，当时，以为旋转中心把旋转到的位置．求证：；【类比应用】如图②，为等边三角形，以为边向左侧作，当时，以为旋转中心把旋转到的位置．当，时，的长为；【拓展应用】如图③，已知；，．若，则四边形的面积为．

参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案称号涂黑．）1．（3分）下列选项中，是一元二次方程的是A． B． C． D．解：、未知数的次数是1，不是一元二次方程，不符合题意；、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；、是一元二次方程，符合题意；、不是等式，不是一元二次方程，不符合题意，故选：．2．（3分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．解：，抛物线顶点坐标为，故选：．3．（3分）判断方程的根的情况，正确的是A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根解：，，，△，方程没有实数根，故选：．4．（3分）如图，将△绕着点顺时针旋转一定角度后得到△，若，，则的度数是A． B． C． D．解：△绕着点顺时针旋转一定角度后得到△，，在△中，．故选：．5．（3分）把x2﹣4x+1化成（x﹣h）2+k（其中h，k是常数）形式的结果为（）A．（x﹣2）2﹣3 B．（x﹣4）2﹣15 C．（x﹣2）2+3 D．（x﹣2）2+15解：x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）﹣4+1＝（x﹣2）2﹣3．故选：A．6．（3分）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是A． B． C． D．点与点是对应点解：与关于点成中心对称，，与为对应点，不符合题意；对应点到对称中心的距离相等，，不符合题意；，，，，，不符合题意；通过观察图象，可得与不是平行关系，符合题意，故选：．7．（3分）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是A． B． C． D．解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的抛物线的解析式是．故选：．8．（3分）若，是方程两个根，则A． B． C． D．解：，是方程两个根，，．故选：．9．（3分）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是A． B． C． D．解：，，为二次函数的图象上的三点，；；，．故选：．10．（3分）某中学组织九年级学生篮球比赛，以班为单位．每两班之间都比赛一场，总共安排15场比赛，则共有多少个班级参赛A．6 B．5 C．4 D．3解：设共有个班级参赛，根据题意得：，解得：，（不合题意，舍去），则共有6个班级参赛．故选：．11．（3分）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为32米，则长方形的最大面积为A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米解：由题意，木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为米，长为：．又设苗圃的面积为，，，当时，随的增大而减小，，得，时，最大为，答：当为米时，苗圃的最大面积为平方米．故选：．12．（3分）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，若，，则线段的长为A．6 B． C． D．解：将绕点顺时针旋转，得到，，，，，为等腰直角三角形，在中，，，，，，所以符合题意，故选：．二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）13．（2分）方程的二次项系数是1．解：方程的二次项系数是1．故答案为：1．14．（2分）点关于原点对称点的坐标为．解：点关于原点对称点的坐标为．故答案为：．15．（2分）关于的一元二次方程的一个根为，则的值为．解：关于的方程的一个根是，，解得，故答案为：．16．（2分）已知函数与的图象相交于，两点，当时，的取值范围为或．解：观察函数图象，可知：当时，函数的图象在的图象下方，当时，的取值范围为或．故答案为：或．17．（2分）如图，△为直角三角形，是斜边，将△绕点逆时针旋转后，能与△重合，如果，求的长为．解：△为直角三角形，是斜边，，△绕点逆时针旋转后，能与△重合，，，由勾股定理得：，．故答案为：．18．（2分）对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为①④⑤．解：①由图象可知：，，，，，故①正确，符合题意；②抛物线与轴有两个交点，，，故②错误，不符合题意；③当时，，故③错误，不符合题意；④当时，，，故④正确，符合题意；⑤由图象可知，当时，随的增大而减小，故⑤正确，符合题意．故答案为：①④⑤．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（8分）解方程：（1）；（2）．解：（1），，或，解得，；（2），，，或，，．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC向x轴正方向平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，以点O为中心，将△A1B1C1旋转180°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．21．（8分）已知一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）证明：方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值．【解答】（1）证明：x2﹣mx+m﹣1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：∵该方程两个实数根的和为3，∴．22．（8分）已知二次函数的图象经过点，．（1）求该二次函数的解析式；（2）在图中画出该函数的图象，观察图象，直接写出当函数值时，自变量的取值范围．解：（1）二次函数的图象经过点，．，解得，该二次函数的解析式为；（2）如图，由图象知，当函数值时，自变量的取值范围．23．（10分）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．（1）求证：；（2）若，，求的度数．【解答】（1）证明：，．将线段绕点旋转到的位置，．在与中，，，；（2）解：，，，，．，，．24．（10分）某工程队采用，两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划型设备每小时铺设路面比型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．（1）求型设备每小时铺设的路面长度；（2）通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．解：（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意得，，解得：，则，答：型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，，整理得，，解得：，（舍去），的值为10．25．（10分）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？解：【建立模型】以的中点为平面直角坐标系的原点，如图1所示：款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，，，，．又设抛物线函数关系式为，抛物线经过点，，．，【运用模型】，且椅子高度，宽度，．，，，的距离为2．，椅子数量为正整数，最多可摆放的椅子数量为3张．26．（10分）【探索发现】如图①，为等腰直角三角形，，．以为边向左侧作，当时，以为旋转中心把旋转到的位置．求证：；【类比应用】如图②，为等边三角形，