黑龙江省牡丹江市省级示范高中2024-2025学年高三上学期期中考试 数学 含解析

牡丹江市省级示范高中2024--2025学年度高三期中数学试卷考试时间:120分钟分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则（）A. B. C.D.2.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（）A.16 B.30 C.32D.513.如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.4.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则春分时节的日影长为()A．2.5尺B．3.5尺C．4.5尺 D．1.5尺5.若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知，是一元二次方程的两个根，则（）A. B. C. D.7.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（）A.4 B.5 C.6 D.7二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，共线，则C.不可能是单位向量 D.若，则10.在等比数列中，，则（）A.的公比为 B.的公比为2C. D.数列递增数列11.已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（）A.B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量满足，且，则________.13.若，且，则__________.14.设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋2,4n＋5).设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(a1＋a5,b3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.16.（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）证明：.（2）若点在边上，且，求的取值范围.17.（15分）8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（BrookTaylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f'x的导数，表示的阶导数．(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；18.（17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn1≤n≤6的数学期望为(1)求EX1及(2)写出EXn与EX(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：1.2619.已知.(1)求的定义域；(2)若恒成立，求能够取得的最大整数值；(3)证明：.数学试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根据复数的除法运算求得，再根据共轭复数的概念分析判断.【详解】因为，则，所以．故选B．2.从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（）A.16 B.30 C.32 D.51【答案】C【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解.【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32.故选：.3.如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可.【详解】由，解得.设，则.4.的展开式中的常数项为（）A.147 B. C.63 D.【答案】C【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式中项即可列式计算即得【详解】二项式展开式中项分别为，所以的展开式中的常数项为．故选：C5.若函数在区间上单调递增．则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数及对数函数的定义域计算求解.【详解】在区间上单调递增，令单调递减，则在区间上单调递减且恒为正，所以且，所以．故选：D．6.已知，是一元二次方程的两个根，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合根与系数关系可得，，再利用两角和的正切公式可求出的值.【详解】因为，是一元二次方程的两个根，显然，所以，，所以，所以．故选：A．7.已知函数，若关于的方程有实数解，则的取值范围为（）A. B. C.D.【答案】D【分析】设，利用函数的单调性和奇偶性，把转化成，再结合三角函数的性质求的取值范围.【详解】令，则恒成立，则在上单调递增，且是奇函数.由，得，即，从而，即故选：D【点睛】方法点睛：设，可得函数为奇函数，利用导函数分析函数的单调性，把转化成，再求的取值范围8.若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【分析】就、、分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.【详解】令，则或，由，当时，在0,4上没有零点，则在0,4上应有3个零点，因为，所以，即，与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；当时，在0,4上有1个零点，在0,4上有3个零点，不满足题意；当时，在0,4上有2个零点，故在0,4上应有1个零点，因为，所以该零点与的零点不相同，所以，即，与联立得，因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.若，则 B.若，共线，则C.不可能是单位向量 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D.【详解】对于A，由，得，解得，A正确；对于B，由，共线，得，解得，B错误；对于C，当时，是单位向量，C错误；对于D，当时，，则，D正确．故选：AD10.在等比数列中，，则（）A.的公比为 B.的公比为2C. D.数列递增数列【答案】BC【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.【详解】设等比数列an的公比为，依题意得解得所以故，故BC正确，A错误；对于D，，则数列为递减数列，故D错误.故选：BC.11.已知函数，，若，的图象与直线分别切于点，，与直线分别切于点C，D，且，相交于点，则（）A.B.C. D.【答案】BC【分析】根据公切线的有关概念判断与的关系，可判断A、B选项的真假；根据指数函数与对数函数的图象的对称性，可判断公切线斜率的关系，结合基本不等式，判断C的真假；也可求两条公切线的交点，判断D的真假.【详解】由题意得，，所以，即，由，整理得，且，A错误；把，，代入，整理得，B正确；分别作出与的图象如下：两图象有2个交点，所以图象上的切点有2个，即与的公切线有2条．因为，的图象关于直线对称，所以点关于直线的对称点为，，，，C正确；因为直线，关于直线对称，则点就是直线与直线的交点，直线的方程为，与联立得，所以，所以，由且可得，设，则，所以，所以，D错误．故选：BC．【点睛】关键点点睛：（1）同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，这一性质的应用在判断D选项时很重要.（2）看到不等式，就要想到求代数式的最值，常见的最值的求法有：第一：与二次函数有关的最值问题的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函数的单调性求最值；第三：利用三角函数的有界性求最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量满足，且，则________.【答案】【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.【详解】因为，所以，则，所以.故答案为：.13.若，且，则__________.【答案】【分析】化简三角函数式，求出，根据即可求解.【详解】由，得.因为，所以，则，则.由，得，则，解得.故答案为：.14.设Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋2,4n＋5).设A是直线BC外一点，P是直线BC上一点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(a1＋a5,b3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．答案－eq\f(9,25)解析依题意，B，C，P三点共线，∴eq\f(a1＋a5,b3)＋λ＝1，∴λ＝1－2×eq\f(a3,b3)，依题意，eq\f(a3,b3)＝eq\f(2a3,2b3)＝eq\f(a1＋a5,b1＋b5)＝eq\f(a1＋a5×\f(5,2),b1＋b5×\f(5,2))＝eq\f(S5,T5)＝eq\f(3×5＋2,4×5＋5)＝eq\f(17,25)，∴λ＝1－2×eq\f(17,25)＝－eq\f(9,25).四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.【答案】(1);(2)，【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据题意可得，解得或，因为等比数列为递增数列，所以，所以数列的通项公式为.（2）因为数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.16.（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）证明：.（2）若点在边上，且，求的取值范围.【答案】【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.【小问1详解】证明：因为，所以，整理得又，所以，从而，整理得，则.由，得，即，结合锐角中，，则，即.【小问2详解】如图，由，可得，则.在中，由正弦定理得，整理得.因为，且是锐角三角形，所以解得，则，从而，即的取值范围为.17.（15分）8世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（BrookTaylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，f″x表示的二阶导数，即为f'x的导数，表示的阶导数．(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；(3)已知，证明：．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值；（2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为，再裂项求和即可证明.【详解】（1）记，则，，所以，因为，所以且，，．（2）令，则，恒成立，在递增，在递增，在递增，，即.（3）由题，，则，则，令，易得在上递增，在上递减，从而，即当且仅当时取等号），，即，，，得证．【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题.18.（17分）某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额Xn1≤n≤6的数学期望为(1)求EX1及(2)写出EXn与EX(3)若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值.（考数据：1.26【答案】(1)EX(2)EX(3)所得奖券数额的期望约为593.7元.【分析】（1）利用古典概型求出抽到红球、黑球的概率，求出EX1，再求出（2）分析求出递推关系，利用构造法证明即可.（3）由（2）的结论，利用分组求和及等比数列前n项和公式求解即得.【详解】（1）依题意，抽到一个红球的概率为610显然X1的值为25，50，则P所以EX又X2的值为25,50,100则PX所以X2X2550100P0.40.240.36（2）依题意，当n≥2时，甲第n次抽到红球所得的奖券数额为2EXn−1，对应概率为抽到黑球所得的奖券数额为25元，对应概率为0.4，因此当2≤n≤6时，EXEXn+50=1.2EXn−1数列