安徽省2024届高三数学信息押题卷(三)（含答案解析）

2024届高三信息押题卷（三）数学试题1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机变量服从正态分布，则（）A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.9【答案】A【解析】【分析】由题可知，所以和对称，据此求解即可.【详解】因为随机变量服从正态分布，所以；所以．故选：A．2.已知全集，集合，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合交集、并集、补集的定义逐一判断即可.【详解】因为，故错误；因为，故B错误；因为，故C错误；因为，故D正确.故选：D3.已知非零平面向量，，那么“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】在向量非零向量的情况下，若，即，即有，即．又，故，又，所以，即方向相反，故，即“”是“”的必要条件；若，则共线，但与的方向可能相同也可能相反，所以由推不出，故充分性不成立；综上所述，“”是“”的必要而不充分条件．故选：B．4.已知满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先应用两角和的正弦化简得出，再应用两角差的正弦计算即可.【详解】，所以，所以，故选:C．5.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（）A若，，则B.若与所成的角相等，则C.若，，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案.【详解】对于A，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，与所成的角相等，则可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误，对于C，，，则可能垂直，但也可能平行或者相交或者异面，故C错误；对于D，，则，D正确.故选：D．6.已知双曲线分别为的右焦点和左顶点，点是双曲线上的点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据、点在上，求出可得答案．【详解】由题设知，，则，所以，且，易知，又因为点在上，所以，所以，因为，所以，则，化简得，解得或（舍去）．所以，故的离心率为．故选：B．7.已知成等比数列，且．若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则但，即，不合题意；因此，，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如8.已知函数满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解.【详解】取代入，得即，由题解得，令代入得，故，所以是周期为6的周期函数，又，，所以，所以，故选：D.【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先设，其中，对于选项A、B结合共轭复数定义、复数乘除运算直接进行运算即可判断；对于C，设且，结合三角恒等变换公式、复数乘除运算以及复数模长公式进行运算即可求解判断；对于D，根据复数模长公式进行运算且结合特殊值法举例即可求解判断.【详解】设，其中，对于选项A：，，因为与不一定相等，故选项A错误；对于选项B：因为，所以，因为，所以，故选项B正确；对于选项C：设且，则，所以，故选项C正确；对于选项D：因为，所以，，而与不一定相等，如当时，，两者不相等，故选项D错误.故选：BC.10.已知函数，对于任意，有，则（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递减D.函数在上共有6个极值点【答案】ACD【解析】【分析】由题意推导出周期，求出的值，再利用函数关于对称，可求出的值，再利用三角函数的对称性和单调性逐一分析选项即可.【详解】因为，所以，因此，从而，注意到，故，所以，又，所以的图象关于直线对称，从而，即，所以，又，所以，所以，所以的最小正周期为，故A正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；当时，，故函数在上单调递减，故C正确；令，得，令，得，故，易知函数在单调递增，在单调递减，故函数在上共有6个极值点，故D正确．故选：ACD．11.已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（）A.存在直线，使得B.若为的中线，则C.若为的角平分线，则D.对于任意直线，都有【答案】BD【解析】【分析】设，不妨令都在第一象限，，联立抛物线，根据韦达定理可得，，则，再根据各选项描述、抛物线定义判断它们正误.【详解】由题意，设，不妨令都第一象限，，联立和，则，且，即，所以，则．A选项，若，过点作垂直于准线于点，则，即为等腰直角三角形，此时，即，所以，所以，所以，所以，则此时为同一点，不合题设，故A错误；B选项，若为的中线，则，所以，所以，故，所以，则，故B正确；C选项，若为的角平分线，则，作垂直准线于，则且，所以，即，则，将代入整理得，则，所以，故C错误；D选项，，而，结合，可得，即恒成立，故D正确．故选：BD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一个劳动小组有名同学，其中名女生，名男生．从这个小组中任意选出名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为__________．【答案】【解析】【分析】根据条件，求出基本事件的总数及既有男生又有女生的基本事件的个数，利用古典概率公式，即可求出结果.【详解】一个劳动小组有3名同学，其中2名女生，1名男生，所以从这个小组中任意选出2名同学基本事件总数为，选出的同学中既有男生又有女生包含的基本事件个数为，则所求事件的概率为，故答案为：．13.若直线是曲线fx=lnx的切线，也是曲线的切线，则__________【答案】##【解析】【分析】根据函数在切点的横坐标处的导数即为斜率和切点在直线上即可先求出公切线的方程，然后根据函数在切点的横坐标处的导数即为斜率和切点在直线上即可求解.【详解】因为，所以，设设直线与的切点为，则切线方程为,即，又因为所以，解得，，所以切线方程：，因为，所以，设直线与的切点为，所以①，又因为切点在直线上，所以②，由①和②可得，所以，解得故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用导数研究两个函数的公切线问题，解题的关键是根据函数解析式设出切点坐标，然后利用函数在切点横坐标处的导数即为斜率以及切点在切线上求解即可.14.在平面四边形中，，将沿折起，使点到达，且，则四面体的外接球的体积为____________；若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为____________．【答案】①.②.##【解析】【分析】先由题意求出，从而得的中点满足，进而得的中点为四面体的外接球的球心，再依据条件求出外接球半径即可得四面体的外接球的体积；过点作球的截面，截面圆面积最小只需截面圆半径最小，从而依据球的截面性质可知，截面圆面积最小，只需球心到截面的距离最大即可，再由球的结构特征可知，接着取的中点，依据已知条件求出即可依据求出，进而依据求出.详解】由题意知，，，，由勾股定理可知，所以，取的中点，所以，所以四面体的外接球的球心在斜边的中点处，四面体的外接球的半径，外接球的体积；根据题意可知，过点作球的截面，若要所得的截面圆面积最小，只需截面圆半径最小，设球到截面的距离为，则由球的截面性质可知，故若要所得的截面圆面积最小，只需球心到截面的距离最大即可，又由球的结构特征可知当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即，取的中点，所以，所以截面圆的半径为.故答案为：；.【点睛】结论点睛：（1）球心与球的截面圆圆心所在直线垂直于截面，（2）球的半径R与球的截面圆半径r以及球心与球的截面圆的距离d的关系为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，证明：.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将原函数求导，就参数进行分类讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（2）构造函数gx=fx−ax，在条件下，判断的符号，得到得证【小问1详解】的定义域,若则在0,+∞上单调递增；若当时，则单调递减，时，则单调递增.综上：当时，在0,+∞上单调递增，无减区间；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】因，设则，则在1,+∞上单调递减，故.16.如图，多面体中，已知面是边长为4的正方形，是等边三角形，，，平面平面．（1）求证：；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即可得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出二面角.【小问1详解】由是正方形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，又平面，于是，又，所以.【小问2详解】在平面内过作，由平面平面，平面平面，得平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，得，而平面的法向量为，设二面角的平面角为，显然为锐角，于是，则，所以二面角的大小.17.已知椭圆，左右顶点分别为，长半轴等于焦距，过点的直线与椭圆交于点，点不与重合．（1）若点与点关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；（2）若直线过椭圆的焦点，且满足，求椭圆的标准方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据题意知长半轴等于焦距可得且，设出坐标后表示出斜率，结合点在椭圆上，计算即可得；(2)结合(1)问所得，联立方程计算即可得.【小问1详解】根据题意知长半轴等于焦距可得且，可得．设，则，由题可知，，所以①，由在椭圆上，得，即代入①得．【小问2详解】由对称性，不妨设直线过焦点，根据(1)问知，，，所以直线的斜率为，根据点斜式可设直线为：，与椭圆联立方程组得化简得：，，解之得或(因为所以舍弃)，故代入直线，得．，解得，所以椭圆的方程为：．18.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束．（1）求事件“且乙获胜”的概率；（2）求；（3）记事件“且甲获胜”的概率为，求证：．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）事件“且乙获胜”，表示在双方平后，甲先发球，两人又打了2个球，且这两个求均由乙得分;（2）事件“”表示在双方平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或则均由乙得分;（3）对和进行分析研究，，再求出甲先发球，记“比赛2局结果为平局”为事件，求出其概率为，最后得到当时，，再利用等比数列得通项公式以及求和公式可得答案.【小问1详解】记事件“且乙获胜”为事件，则这两个求均由乙得分，所以.【小问2详解】由题可得：事件“”表示在双方平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或则均由乙得分，所以【小问3详解】由比赛规则可知：当时，．当时，事件“且甲获胜”，就是在双方平后，甲先发球，两人又打了个球，且这个球的得分情况为：前个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第，个球均由甲得分；记“比赛2局结果为平局”为事件，则．则．又因为，所以．综上，所以，因为，，所以19.已知数列满足：．（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求实数的值，使得数列是等差数列；（3）对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中．如果的一阶差分数列满足，则称是“绝对差异数列”．判断数列是否为“绝对差异数列”并给出证明．【答案】（1）（2）（3）数列是“绝对差异数列”，证明见解析【解