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文档简介
第14章全等三角形专题训练10【一题多解】构造全等三角形的辅助线作法
遇到中点，可尝试倍长中线法或作平行线法1.
如图，
AD
是△
ABC
的边
BC
上的中线，
AB
＝7，
AD
＝
5，求
AC
长的取值范围.(试用2种方法完成此题)21解法一：(可以尝试倍长中线
AD
，再根据
SAS
证全等)如图①，延长
AD
至
E
，使
DE
＝
AD
＝5，连接
CE
.
∵
AD
是△
ABC
的中线，∴
BD
＝
CD
.
在△
ABD
和△
ECD
中，
∴△
ABD
≌△
ECD
(
SAS
)，∴
CE
＝
AB
＝7.在△
ACE
中，
AE
－
CE
＜
AC
＜
AE
＋
CE
，∴5＋5－7＜
AC
＜5＋5＋7，即3＜
AC
＜17.21解法二：(可以尝试过点
C
作
AB
的平行线，交
AD
的延长线
于点
E
，或过点
B
作
AC
的平行线，交
AD
的延长线于点
E
，
再根据
AAS
或
ASA
证全等)1.
如图，
AD
是△
ABC
的边
BC
上的中线，
AB
＝7，
AD
＝
5，求
AC
长的取值范围.(试用2种方法完成此题)21如图②，过点
C
作
AB
的平行线，交
AD
的延长线于点
E
，
∵
AD
是△
ABC
的中线，∴
BD
＝
CD
.
∵
CE
∥
AB
，∴∠
DAB
＝∠
E
，∠
B
＝∠
DCE
.
∴△
ABD
≌△
ECD
(
AAS
).∴
DE
＝
AD
＝5，
CE
＝
AB
＝7.
在△
ACE
中，
AE
－
CE
＜
AC
＜
AE
＋
CE
，∴5＋5－7＜
AC
＜5＋5＋7，即3＜
AC
＜17.21
遇到角平分线，可尝试截长补短法2.
已知，如图，在△
ABC
中，
AB
＞
AC
，∠1
＝
∠2，
D
为
BC
上一点，
P
为
AD
上任一点，求证：
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
.
(试用2种方法完成此题)证法一：(利用截长法，再根据
SAS
证全等)21如图①，在
AB
上截取
AN
＝
AC
，连接
PN
，在△
APN
和△
APC
中，∵
AN
＝
AC
，∠1＝∠2，
AP
＝
AP
，∴△
APN
≌△
APC
(
SAS
)，∴
PC
＝
PN
.
∵在△
BPN
中，有
PB
－
PN
＜
BN
，∴
AB
－
AN
＞
PB
－
PN
，∴
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
.
212.
已知，如图，在△
ABC
中，
AB
＞
AC
，∠1
＝
∠2，
D
为
BC
上一点，
P
为
AD
上任一点，求证：
AB
－
AC
＞
PB
－
PC
.
(试用2种方法完成此题)证法二：(利用补短法，再根据
SAS
证全等)21如答图，延长
AC
至
M
，使
AM
＝
AB
，连接
PM
，在△
ABP
和△
AMP
中，∵
AB
＝
AM
，∠1＝∠2，
AP
＝
AP
，∴△
ABP
≌△
AMP
(
SAS
)，∴
PB
＝
PM
.
∵在△
PCM
中，
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