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文档简介
安徽省皖北名校2024年高三下学期学习能力诊断(一模)数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A,若|OA|=|OF|,则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.+12.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别,数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究,且每个方向均有研究生学习,其中刘泽同学学习人脸识别,则这6名研究生不同的分配方向共有()A.480种 B.360种 C.240种 D.120种4.一个陶瓷圆盘的半径为,中间有一个边长为的正方形花纹,向盘中投入1000粒米后,发现落在正方形花纹上的米共有51粒,据此估计圆周率的值为(精确到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1475.已知集合,则=A. B. C. D.6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为()A. B. C. D.7.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角所对的边分别为,则的面积.根据此公式,若,且,则的面积为()A. B. C. D.8.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.19.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则框图中①处可以填().A. B. C. D.10.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.11.已知双曲线满足以下条件:①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点.则双曲线的离心率是()A. B. C. D.12.已知复数满足,则=()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在平面五边形中,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.14.在平面直角坐标系xOy中,已知A0,a,B3,a+415.如图,是圆的直径,弦的延长线相交于点垂直的延长线于点.求证:16.正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程;(2)点是曲线上的一点,试判断点与曲线的位置关系.18.(12分)如图1,在等腰中,,,分别为,的中点,为的中点,在线段上,且。将沿折起,使点到的位置(如图2所示),且。(1)证明:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρcos2θ=4asinθ (a>0),直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-1+(I)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程(不要求具体过程);(II)设P(-2,-1),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.20.(12分)2018年9月,台风“山竹”在我国多个省市登陆,造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失,将收集的数据分成五组:,,,,(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图.(1)试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议,为该地区的农户捐款帮扶,现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶,设抽出损失超过8000元的农户数为,求的分布列和数学期望.21.(12分)等差数列的前项和为,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)设数列{}的前项和为,求使成立的的最小值.22.(10分)已知函数.(1)若曲线在处的切线为,试求实数,的值;(2)当时,若有两个极值点,,且,,若不等式恒成立,试求实数m的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,可求出点,则,整理计算可得离心率.【详解】解:以为圆心,以为半径的圆的方程为,联立,取第一象限的解得,即,则,整理得,则(舍去),,.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,考查学生的计算能力,是中档题.2、D【解析】
由恒成立,等价于的图像在的图像的上方,然后作出两个函数的图像,利用数形结合的方法求解答案.【详解】因为由恒成立,分别作出及的图象,由图知,当时,不符合题意,只须考虑的情形,当与图象相切于时,由导数几何意义,此时,故.故选:D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题,利用了数形结合的思想,属于难题.3、B【解析】
将人脸识别方向的人数分成:有人、有人两种情况进行分类讨论,结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时,有种,当人脸识别方向有1人时,有种,∴共有360种.故选:B【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题,考查分类讨论的数学思想方法,属于基础题.4、B【解析】
结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图,由几何概型公式可知:.故选:B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型,属于基础题5、C【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得,,则.故选C.【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.6、C【解析】
由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出底面面积,代入锥体体积公式,可得答案.【详解】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其底面面积,高,故体积,故选:.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.7、A【解析】
根据,利用正弦定理边化为角得,整理为,根据,得,再由余弦定理得,又,代入公式求解.【详解】由得,即,即,因为,所以,由余弦定理,所以,由的面积公式得故选:A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理,还考查了运算求解的能力,属于中档题.8、A【解析】
由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.9、C【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果,直到输出结果是8时.【详解】第一次循环:第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:第七次循环:第八次循环:所以框图中①处填时,满足输出的值为8.故选:C【点睛】此题考查算法程序框图,根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决,属于简单题目.10、C【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.11、B【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率.【详解】依题意可得,抛物线的焦点为,F关于原点的对称点;,,所以,,设,则,解得,∴,可得,又,,可解得,故双曲线的离心率是.故选B.【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.12、B【解析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由,得,所以,.故选:B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设的中心为,矩形的中心为,过作垂直于平面的直线,过作垂直于平面的直线,得到直线与的交点为几何体外接球的球心,结合三角形的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】设的中心为,矩形的中心为,过作垂直于平面的直线,过作垂直于平面的直线,则由球的性质可知,直线与的交点为几何体外接球的球心,取的中点,连接,,由条件得,,连接,因为,从而,连接,则为所得几何体外接球的半径,在直角中,由,,可得,即外接球的半径为,故所得几何体外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及多面体的外接球的表面积的计算,其中解答中熟记空间几何体的结构特征,求得外接球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力与运算求解能力,属于中档试题.14、(-53,【解析】
求出AB的长度,直线方程,结合△ABC的面积为5,转化为圆心到直线的距离进行求解即可.【详解】解:AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3设△ABC的高为h,则∵△ABC的面积为5,∴S=12|AB|h=即h=2,直线AB的方程为y﹣a=43x,即4x﹣3y+3若圆x2+y2=9上有且仅有四个不同的点C,则圆心O到直线4x﹣3y+3a=0的距离d=|3a|则应该满足d<R﹣h=3﹣2=1,即|3a|5得|3a|<5得-53<故答案为:(-53,【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用,求出直线方程和AB的长度,转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键.15、证明见解析.【解析】试题分析:四点共圆,所以,又△∽△,所以,即,得证.试题解析:A.连接,因为为圆的直径,所以,又,则四点共圆,所以.又△∽△,所以,即,∴.16、【解析】
试题分析:因为正三棱柱的底面边长为,侧棱长为为中点,所以底面的面积为,到平面的距离为就是底面正三角形的高,所以三棱锥的体积为.考点:几何体的体积的计算.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)点在曲线外.【解析】
(1)先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程;(2)由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.【详解】(1)由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即(2)由题,点是曲线上的一点,因为,所以,即,所以点在曲线外.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)要证明线面平行,需证明线线平行,取的中点,连接,根据条件证明,即;(2)以为原点,所在直线为轴,过作平行于的直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,求两个平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.【详解】(1)证明:取的中点,连接.∵,∴为的中点.又为的中点,∴.依题意可知,则四边形为平行四边形,∴,从而.又平面,平面,∴平面.(2),且,平面,平面,,,且,平面,以为原点,所在直线为轴,过作平行于的直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则,,,,,,,,.设平面的法向量为,则,即,令,得.设平面的法向量为,则,即,令,得.从而,故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题,意在考查空间想象能力,推理证明和计算能力,属于中档题型,证明线面平行,或证明面面平行时,关键是证明线线平行,所以做辅助线或证明时,需考虑构造中位线或平行四边形,这些都是证明线线平行的常方法.19、(I)x2=4aya>0,x-y+1=0【解析】
(I)利用所给的极坐标方程和参数方程,直接整理化简得到直角坐标方程和普通方程;(II)联立直线的参数方程和C的直角坐标方程,结合韦达定理以及等比数列的性质即可求得答案.【详解】(I)曲线C:ρcos2可得ρ2cos2直线l的参数方程为x=-2+22t,x-y=-1,得x-y+1=0;(II)将x=-2+22t,y=-1+2t韦达定理:t1由题意得MN2=PM可得(t即32(a+1)解得a=【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标和普通方程的互化,以及参数方程的综合知识,结合等比数列,熟练运用知识,属于较易题.20、(1)3360元;(2)见解析【解析】
(1)根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失;(2)根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值,再求X的分布列和数学期望值.【详解】(1)记每个农户的平均损失为元,则;(2)由频率分布直方图,可得损失超过1000元的农户共有(0.00009+0.00003+0.00003)×20
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