12.2 第3课时 三角形内角和定理的证明 习题练

苏科版七年级下12.2证明第3课时三角形内角和定理的证明第十二章证明答案呈现温馨提示：点击进入讲评习题链接1234567810119CCCCDCC理解三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于

180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角

形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.知识点1

三角形的内角和定理1.将一副三角尺按如图方式重叠，则∠1的度数为(

C

)A.45°B.60°C.75°D.105°(第1题)C2.

［2023·江西新考向·学科综合］如图，平面镜MN放置在

水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜

面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，

则∠OBD的度数为(

C

)A.35°B.45°C.55°D.65°(第2题)C【点拨】利用光的反射原理得∠BOD＝∠AOC＝35°，根据垂直

的定义得∠ODB＝90°，再利用三角形内角和定理即可得出

答案.3.[2022·北京]下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助

线的方法，选择其中一种，完成证明.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.已知：如图是△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.方法一证明：如图，过点A作

DE∥BC.

方法二证明：如图，

过点C作CD∥AB.

【证明】方法一：因为DE∥BC，所以∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE.因为∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，所以∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.方法二：因为CD∥AB，所以∠A＝∠ACD，∠B＋∠BCD＝

180°.因为∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，所以∠B＋∠ACB＋∠ACD＝∠B＋∠ACB＋∠A＝180°.(选择一种证明即可)知识点2

三角形的内角和定理的推论4.(母题：教材P153图12－8)

如图，CE平分△ABC的外角

∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD的度数为

(

C

)A.40°B.45°C.50°D.55°(第4题)C5.如图，∠ABD，∠ACE分别是△ABC的两个外角，若∠A

＝70°，则∠ABD＋∠ACE＝(

C

)A.210°B.230°C.250°D.240°(第5题)C6.如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，

BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为(

D

)A.31°B.28°C.62°D.56°(第6题)D【点拨】在长方形ABCD中，∠C＝90°，AD∥BC.因为∠BDC＝

62°，所以∠DBC＝90°－62°＝28°，所以根据折叠的性质可

得∠FBC＝2∠DBC＝2×28°＝56°.因为AD∥BC，所以

∠DFE＝∠AFB＝∠FBC＝56°.7.[2023·荆州]在如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B

＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是(

C

)A.80°B.76°C.66°D.56°(第7题)C【点拨】如图，延长AB交EG于点M，延长CD交FG于点N，过点G作GK∥AB.∵AB∥CD，AB∥GK，∴GK∥CD，∠KGM＝∠EMB，∴∠KGN＝∠DNF.∴∠KGM＋∠KGN＝∠EMB＋∠DNF.∴∠EGF＝∠EMB＋∠DNF.∵∠ABE＝80°，∠E＝47°，∴∠EMB＝80°－47°＝33°.同理可得∠DNF＝33°.∴∠EGF＝∠EMB＋∠DNF＝33°＋33°＝66°.故选C.易错点忽略外角的性质中“不相邻”这一条件8.如图，在△ABC中，在BC延长线上取点D，E，连接AD，

AE，则下列式子中正确的是(

C

)A.∠ACB＞∠ACDB.∠ACB＞∠1＋∠2＋∠3C.∠ACB＞∠2＋∠3D.以上都不对C【点拨】

由三角形外角的性质可得∠ACB＝∠1＋∠ADC＝∠1＋∠2＋∠3，则∠ACB＞∠2＋∠3，无法得到∠ACB＞∠ACD.

故选C.

利用三角形内角和定理进行计算9.(母题：教材P155习题T6)

如图，已知点E在线段AB上，点

C，F在线段BD上，ED与AC交于点M，∠BEF＝∠AME，

EF平分∠BED.(1)求证：∠A＝∠CMD；【证明】因为EF平分∠BED，所以∠BEF＝∠DEF.因为∠BEF＝∠AME，所以∠DEF＝∠AME，所以EF∥AC，所以∠A＝∠BEF＝∠AME.因为∠AME＝∠CMD，所以∠A＝∠CMD.(2)若∠D＝30°，∠CMD＝55°，求∠ABC的度数.【解】因为∠D＝30°，∠CMD＝55°，所以∠DCM＝180°－30°－55°＝95°.又因为∠A＝∠CMD＝55°，所以∠ABC＝∠DCM－∠A＝95°－55°＝40°.

利用三角形外角关系进行计算10.如图，点E在△ABC的边BC上，AD∥BC，∠DAE＝

∠BAC，∠1＝∠2.(1)证明：AB∥DE；【证明】因为AD∥BC，所以∠DAE＝∠2.因为∠1＝∠2，所以∠DAE＝∠1.因为∠DAE＝∠BAC，所以∠BAC＝∠1，所以AB∥DE.【解】因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAC＝∠BAE.因为AE平分∠BAC，所以∠EAC＝∠BAE＝∠DAC.因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠C＝35°，所以∠EAC＝∠DAC＝35°，所以∠2＝∠EAC＋∠C＝70°.(2)若AE平分∠BAC，∠C＝35°，求∠2的度数.

利用三角形内、外角关系探究两角关系11.

［新考法

类比变式法］已知直线PQ∥MN，△ABC的顶

点A与B分别在直线MN与PQ上，点C在直线AB的右侧，

且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β.(1)如图①，当点C落在直线PQ的上方时，AC与PQ交于点

D，求证：∠β＝∠α＋45°.证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角(三角形外角的定义)，∴∠CDQ＝∠α＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻

的两个内角的和).∵PQ∥MN(

)，∴∠CDQ＝∠β(

)，∴∠β＝

(等量代换).已知两直线平行，同位角相等∠α＋∠C

请将下列推理过程补充完整：∵∠C＝45°(已知)，∴∠β＝∠α＋45°(等量代换).【解】∠α＝∠β＋45°.理由如下：∵∠CFN是△ACF的一个外角(三角形外角的定义)，∴∠CFN＝∠β＋∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角