1.2 活动 思考 课件

第1章

数学与我们同行1.2活动

思考课程导入德国数学家高斯在十岁的时候，他的数学老师出了一道数学题：

1+2+3+4+5+...+100=

同学们，这道题，你有什么好的办法吗？解决问题的方法不止一种，我们要开动脑筋，积极思考，尝试多从不同的角度寻找解决问题的方法，进而解决问题。一、在动手操作的过程中感受数学

折纸、剪纸等是日常生活中常见的操作活动，它体现了图形之间的变化和一些数学性质的应用，这些活动能培养我们的动手能力和空间想象能力，同时还能提高我们的思维能力。活动一把一张长方形纸片按图折叠、裁剪、展开，能得到什么图形？说说理由。折叠裁剪展开答：得到的是正方形。理由：因为得到的图形是长和宽相等的长方形，所以它是正方形。示例1如图，将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片展开，则展开后的图形是（）解析：取出一张长方形纸，严格按照图中顺序进行折叠和裁剪。方法规律：解这类题目一般采用动手操作的方法来寻找答案。动手操作是发现问题的本质、找到问题答案比较简捷有效的方法。A二、探索图形的变化规律

通过一些数字或图形信息，可以寻找它们变化的共同之处，也就是蕴含在它们之间的共同规律.数学知识是无穷无尽的，若要全部了解是不可能的，但我们可以通过归纳、总结，及时地发现其中的规律，运用规律来解决.活动二按图示的方式，用火柴棒搭三角形。搭1个三角形需要火柴棒

根；搭2个三角形需要火柴棒

根；搭3个三角形需要火柴棒

根；搭10个三角形需要火柴棒_______根；搭n个三角形需要火柴棒_________________根。5＝3+2＝3+2×17＝3+2+2＝3+2×2搭n个三角形需要火柴棒3+2×（n－1）3+2×（10－1）＝2135721[3+2×（n－1）]方法1：方法2：3＝1+2＝1+2×15＝1+4＝1+2×27＝1+6＝1+2×3搭n个三角形需要火柴棒1+2n（1+2n)提醒：对于最后一步运算是加或减的代数式，遇到后面有单位的，一定要代数式整体用括号括起来。示例2人行道用同样大小的蓝、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图，每一个小正方形表示一块地砖.如果按图①②③…的次序铺设地砖，第1个图中有____块白色小正方形地砖，第2个图中有_____块白色小正方形地砖，第3个图中有____块白色小正方形地砖……第50个图中有_______块白色小正方形地砖。解析∶由图可知第1、2、3个图中分别有12、19、26块白色小正方形地砖。12192619=12+7×1=12+7×（2-1）26=12+14=12+7×（3-1）所以第50个图中有12+7×（50-1）=355（块）白色小正方形地砖.法一∶法二∶12=7+519=5+7×226=5+7×3所以第50个图中有5+7×50=355（块）白色小正方形地砖.355方法规律∶解这类探索图形的变化规律的问题时，一般先观察随着图形序号的变化，组成这个图形的元素在数量上的变化规律，再根据规律确定任意一个图形中上述元素的数量.三、月历中的数字规律月历是我们日常生活中使用比较多的一种日用品，每个学校每学期都会根据月历制定校历，月历中每一行相邻的数、每一列相邻的数、同一行上下相邻的数之间都存在一定的数量关系，利用这些关系我们可以解决一些问题.活动三观察月历⑴月历中蓝色方框内的4个数之间有什么关系？在月历中再画一个这样的方框，其中的4个数也有这样的关系吗？日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031左右两个数相差1，上下两个数相差7上面2个数的和+14=下面两个数的和方框对角相加和相等活动三观察月历⑵月历中黄色方框内的9个数，你能发现它们之间有什么关系吗？

⑶小明一家外出旅游5天，这5天的日期之和是20，小明

号回家。说明你的方法？日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031⑴同一横行中，相邻两数相差

.1⑵同一竖列中，相邻两数相差

.7⑶用方框框出9个数时，两对角线上数的

相等。和⑷以一个数为中心的9个数之和等于这个数的

.9倍⑸以一个数为中心的5个数之和等于这个数的

.5倍6解析：20÷5=4，所以小明出去5天的中间日期是4号，所以小明是2,3,4,5,6这5天在外旅游，因此6号是最后一天，6号是回家日期。示例3在如图所示的2021年3月的月历表中，任意框出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）。A.27B.51C.65D.72解析∶月历中竖列三个相邻的数中最中间的一个数比上面的数大7，比下面的数小7，所以任意框出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和是中间一个数的3倍，即这三个数的和一定是3的倍数.在A、B、C、D四个选项中，只有C选项的数65不是3的倍数.方法规律∶月历表中隐含两个规律：⑴左、右相邻的两个数相差1;⑵上、下相邻的两个数相差7.解决与月历相关的题目时，我们如能灵活运用这两个规律，题目就比较简单了.C特别注意，我们也要考虑和的范围，必须是6-90的3的倍数。我们算出来的日期不能超过这个月应有的天数。四、统计知识在进行生产、生活和科学研究时，往往需要设计合适的统计表，通过各种各样的调查收集数据，为了便于发现在调查中获取的数据规律，人们往往要把获取的杂乱无章的数据进行适当分析、整理，从而清楚地获取有关信息。活动四

在教育局的样品室里摆放着6件校服样品，有6种不同的价格（单位∶元），分别为50、70、90、110、130、150。现要为某校1500名学生统一征订校服，由于价格相差甚远，于是学校决定征求家长的意见，想要制作一张调查表对家长的意见进行调查，该怎样设计这张调查表（要求家长用画"√"的形式来表达）?本题答案不唯一，可以通过把已知数据分组来设计表格，进而得出答案即可.答案不唯一，如把已知数据分成6组来设计调查表，表格如下∶在设计调查问题时，既要考虑到设计的问题能方便快捷地回答，还要考虑到答案的唯一性.示例4现场调查本班学生最喜爱的体育活动并根据所调查的数据给出一个分析报告．活动名称篮球足球乒乓球羽毛球健美操跳绳人数第二步，信息调查。

现在，请同学们根据自己的喜好进行举手表决。第一步，列表格：第三步，根据咱们调查的结果，请为本班开展体育活动提出合理建议。阅读

条形码由美国的N.T.Woodland在1949年首先提出的。近年来，随着计算机的不断普及，条形码得到了广泛的应用。现在，如食品、饮料、书籍、彩电、冰箱等商品都印有条形码（也称为“条码”）。商品条形码是商品的“身份证”。

商品条形码是由“条”，“空”及对应数字字符“码”组成的，可以提供商品的生产国、制造厂家、商品名称等信息。

例如，七年级上册苏科版数学书的条形码，下方从左到右的13个数字中，“978”是图书代码，“7”表示中国出版的图书，“5345”是江苏凤凰科学技术出版社的代号，“9338”表示本册课本在该出版社排列的出版序号，“3”是校验码。

条形码上方的“ISBN978-7-5345-9338-3”为国际标准书号。其中，“978-7-5345-9338-3”与条形码的数字相同，“ISBN”是标识码，是InternationalStandardBookNumbering(国际标准书号）的缩写。典型例题1

剪纸是我国传统的民间艺术.将一张纸片按如图①②所示的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图形应该是（）方法一：取一张与题中相同的纸片按照题目中的要求，先分别从左向右、从下向上对折两次，再剪去两个三角形，展开后，可得A选项中的图形.方法二：逆向思维法，即先根据折纸的顺序，逆向画出图形，如图⑤⑥⑦所示，即可得到展开铺平后的图形.A总结归纳解决这类问题时，方法一比方法二准确度高，但是操作烦琐，所以一般开始时使用方法一，并在使用方法一找到正确答案后，再运用方法二验证答案，等方法二使用熟练后，即可使用方法二直接寻找答案.典型例题2

解析∶⑵观察发现，这组数的规律为从第3个数起，前两个相邻数的和等于后一个数.所以需填写的数等于它前面两个数8与13的和，为21。⑶因为第1、2、3、4个圆中的最下面的数分别为4=1×2＋2、9=2×3+3、19=3×5＋4、33=4×7＋5，所以最后一个圆中的最下面的数为5×11+6=61.方法归纳

先把题目中的每个数据依次标上序号，然后从和、差、倍、分等角度，分别比较每个数与序号之间、数与数之间的关系，最后根据寻找的规律填写答案.典型例题3

如图，找出以下图形变化的规律，，则第2021个图形中的蓝色正方形的个数是（）A.3030B.3031C.3032D.3033解析∶因为第2021个数据比较大，显然需通过寻找规律来解答.观察图形，可以发现直接寻找蓝色正方形的个数规律比较困难，但是第偶数个图形和第奇数个图形都是有明显特征的。方法一：通过寻找第2020个图形中的蓝色正方形的个数来解答.C方法二：通过寻找第奇数个图形之间的关系，确定2021个图形中的蓝色正方形的个数来解答.第1个图形蓝色正方形的个数2第3个图形蓝色正方形的个数5第5个图形蓝色正方形的个数85＝2+38＝2+3×2第1个奇数第2个奇数第3个奇数第n个奇数2+3×（n－1）第2n-1个图形蓝色正方形的个数方法归纳第2021个图形是第1011个奇数2+3×（

1011

－1）＝3032

典型例题4

用同样大小的两种不同的小正方形纸片按如图所示的方式拼正方形.第1个图形中有1个小正方形;第2个图形中有1+3=4（个）小正方形;第3个图形中有1+3+5=9（个）小正方形;第5个图形中有________个小正方形（直接写出结果）.⑴根据上面的发现我们可以猜想∶

1＋3+5+7+…+（2n-1）=_________（用含n的式子表示）.⑵请根据你的发现计算∶①1+3+5+7+…+99=________;②101＋103＋105十…+199=________。解析∶

由图可以看出，第1、2、3、4个图形中小正方形的个数分别为1=1²、4=2²、9=3²、16=4.根据规律，易知第5个图形中小正方形的个数为52=25.25⑴式子1＋3+5＋7＋…+（2n-1），可以看作第n个图形中小正方形的个数，易知这个式子的值为n2n2⑵①设所求式子表示的是第x个图形中小正方形的个数，则2x一1=99，解得x=50.所以1+3+5+7十…+99=502=2500;2500②101+103+105＋…+199=100+1+100+3+100+5+…+100+99=(100+100+100+…+100)+(1＋3+5＋…＋99)=100×50+502=7500.7500典型例题5

如图，点A处有一只猫，点B处有一只老鼠，从点A到点B有两条路径，分别为①和②.现在猫以不变的速度去捉老鼠，你认为猫走哪条路径才能在较短的时间内捉到老鼠?为什么?因为速度不变，要比较走哪条路径能先捉到老鼠，只需比较路径①和②的长短.通过平移，构造出较熟悉的长方形，可知CD的长等于GE的长，DE的长等于CG的长，所以两条路径的长度相等.解析∶解答∶两条路径一样长，随便走哪一条，捉到老鼠的时间相同.因为平移后，路径①和②的长度都等于构造出的长方形的一条长与一条宽之和（其周长的一半）。方法归纳化曲为直解决问题的方法

化曲为直解决问题分两种情况∶一种情况是比较平面内的线段和的长短，这种题目一般可先通过适当的平移，把其中的曲线（或折线）转化到某一条线段上，再进行比较;另一种情况是寻找立体图形的表面两点之间的最短距离，这时一般先把立体图形展开，转化成平面图形，然后利用平面图形的知识解答.巩固练习1：将一张长方形的纸对折，如图，可得到一条折痕（图中虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕；那么连续对折四次后，可以得到

条折痕；连续对折五次后，可以得到

条折痕；连续对折九次后，可以得到

条折痕．第1次对折第2次对折第3次对折1531511解：对折次数

折痕

层数11221+2431+2+4841+2+4+81651+2+4+8+163261+2+4+8+16+3264...每次对折折痕增加的数=对折前的层数巩固练习2：观察下面一组式子。（1）你能说出这组式子所表达的规律吗？用含字母n的式子表达出来。（2）利用这一规律，计算下列式子。巩固练习3：下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）

A.50 B.64 C.68 D.72【解析】解：第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有2×（1+3）=8个五角星