9.1 计数原理-10年高考数学真题分类汇编

专题九计数原理、概率与统计9.1计数原理考点1计数原理、排列与组合1.（2023课标II，3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．A.种 B.种C.种 D.种【答案】D【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种，故选：D.2.（2023全国乙理，7）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种 B.60种 C.120种 D.240种【答案】C【解析】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C.3.（2023全国甲理，9）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120 B.60 C.40 D.30【答案】B【解析】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种，故选：B.4.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种答案C解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有C61=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有C52=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有C33=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C(易错5.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有()A.12种B.24种C.36种D.48种答案B丙和丁相邻共有A22·A44种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有C21·A6.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有()A.60种B.120种C.240种D.480种答案C先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有C52=10种分法,然后将4个项目全排列,共有A44=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有C52易错警示本题容易出现将5人分为4组,共有分法C52·7.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案D奇数的个数为C38.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2A43=48个;同理,以5开头的有3A43=72个.于是共有48+72=120评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.9.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案C从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有C62·10.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有A43=24种放法,11.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种答案B若最左端排甲,其他位置共有A55=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A44=24种排法,12.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案B先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有A33·A43=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有A33·A22·13.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.评析本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.14.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种答案A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C42种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A22种方案,故不同的安排方案共有C4评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.15.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!答案C第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.评析本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.16.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4答案D由题意及C62=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A32人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.17.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.思路分析小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步乘法计数原理即可得结果.18.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案C当m=4时,数列{an}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有C41=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有C31=3种情况;③若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有C31=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有C21=2种情况.思路分析根据题意可知a1=0,a8=1,进而对a2,a3,a4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.19.（2023新课标I，13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种.20.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

答案1260解析本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.含有数字0的没有重复数字的四位数共有C52C31A31A33=540个,不含有数字0易错警示数字排成数时,容易出错的地方:(1)数字是否可以重复;(2)数字0不能排首位.21.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)

答案1560解析∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1560条毕业留言.22.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.

答案96解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4A423.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)

答案480解析先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有A44=24种排法,再将甲、乙插入有A52=20种,所以6人排成一行,24.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).

答案480解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法A55=120种;若C排在第2位,共有排法A42·A33=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法A22·A33+A32·A33=48种;25.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)

答案14解析解法一:数字2只出现一次的四位数有C41=4个;数字2出现两次的四位数有C42C22=6个;数字2出现三次的四位数有C解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.评析本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.考点2二项式定理1.(2023北京,5,4分,易)在2x−1x5的展开式中,xA.-40B.40C.-80D.80答案D2x−1x5的展开式的通项为Tk+1=C5k(2x)5-k·−1xk=C5k25-k(-1)kx5-2k,令5-2k=1,得k=22.(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=()A.40B.41C.-40D.-41答案B∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,∴a0+a2+a4=12×(1+34)=41.故选B3.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix4答案AT3=C62x4i2=-15x4,易错警示易误认为i2=1而致错.4.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211C.210D.29答案D∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为Cn3,Cn7,∴Cn从而有C100+C101+C102+C10又C100+C102+…+C1010=C10∴奇数项的二项式系数和为C100+C102+…+评析本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.5.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.4B.5C.6D.7答案C因为(x+1)n的展开式中x2的系数为Cn所以Cnn−2=15,即Cn2=15,亦即n6.(2015课标Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C52(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为C57.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10答案C在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=C62·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x38.(2014湖南理,4,5分)12x−2y5的展开式中A.-20B.-5C.5D.20答案A展开式的通项为Tk+1=C5k12x5−k·(-2y)k=(-1)k·22k-5C5kx5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的系数为评析本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.9.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案C在(1+x)6的展开式中,xm的系数为C6m,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为C4n,故f(m,n)=C6m·C4n.从而f(3,0)=C63=20,f(2,1)=C62·C410.(2013课标Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1答案D由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为C52,当r=1时,x2的系数为C51·a,所以C11.(2013辽宁理,7,5分)使3x+1xxn(n∈NA.4B.5C.6D.7答案BTr+1=Cnr(3x)n-r·x−32r=Cnr·3n-r·xn−若Tr+1是常数项,则有n-52r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),当r=0,1时,n=0,52,不满足条件;当r=2时,n=5,12.(2013大纲全国理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是()A.56B.84C.112D.168答案D(1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数为C82·C413.(2013课标Ⅰ理,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8答案B由题意得:a=C2mm,b=C2m+1m,所以13C2mm=7C2m+1m,∴14.(2012湖北理,5,5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=()A.0B.1C.11D.12答案D512012+a=(52-1)2012+a=522012+C20121×522011×(-1)+…+C20122011×52×(-1)2011+(-1)2012+a能被13整除,只需(-1)2012+a=1+a能被13整除即可.∵0评析本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.15.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)1x2A.-3B.-2C.2D.3答案D由题意知展开式的常数项为2×(-1)5+C51×(-1)4=-2+5=3,16.在的展开式中，项的系数为_________．【答案】【解析】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.17.(2021北京,11,5分)x3−1答案-4解析Tr+1=C4r(x3)4-r−1xr=(-1)rC4rx12-4r,令12-4r=0,得r=3,所以x3−1x18.(2022新高考Ⅰ,13,5分)1−yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为(用数字作答答案-28解析(x+y)8的展开式中x2y6的系数为C86=28,x3y5的系数为C85=56,因此1−yx(x+y)8的展开式中x219.(2022浙江,12,6分)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.

答案8;-2解析由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=C43(-1)3+2C42(-1对于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=0,得a0=2×(-1)4=2;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.20.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).

答案21解析本题主要考查二项展开式.(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为C72=21.(2016天津理,10,5分)x2−1x8的展开式中x7答案-56解析Tr+1=C8rx16-2r(-x)-r=(-1)-rC8rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为易错警示本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.评析本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.22.(2015天津,12,5分)在x−14x6的展开式中答案15解析x−14x6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r−14xr=−14rC6r23.(2015重庆理,12,5分)x3+12x5的展开式中x答案5解析二项展开式的通项为Tr+1=C5r(x3)5-r·12xr=12rC5r·x15−3r−r2,令24.(2015课标Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.

答案3解析设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴1评析二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.25.(2014安徽理,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,1+xan的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则答案3解析根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得Cn1·126.(2014课标Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展