5.1 平面向量-10年高考数学真题分类汇编

专题五平面向量与复数5.1平面向量考点1平面向量的概念及运算1.(2023北京,3,4分,易)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2=()A.-2B.-1C.0D.1答案B由题知a+b所以|a|2-|b|2=4-5=-1.2.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=()A.2B.3C.4D.5答案D由题意知a-b=(4,-3),所以|a-b|=42+(−3)2=53.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n答案B由题意可知,DA=CA−CD=m-n,又BD=2DA,所以BD=2DA=2(m-n),所以CB=CD+DB=n-2(m-4.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.ADC.AD=43AB+13ACD.AD答案AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB+43BC=AB+43(AC-AB)=-13AB5.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.ADB.12ADC.BC答案A设AB=a,AC=b,则EB=-12b+a,FC=-12a+b,从而EB+FC=−12b+a+−12a+6.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A根据题意得AB=(3,1),∴BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.7.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=()A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)答案A由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A.8.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案Bb-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.9.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B设a=k1e1+k2e2,A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴k2=3,B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴−k1故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D选项同A选项,无解.10.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.

答案1解析由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于λ1=12,即λ=11.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则x=,y=.

答案12;-解析由AM=2MC知M为AC上靠近C的三等分点,由BN=NC知N为BC的中点,作出草图如下:则有AN=12(AB+AC),所以MN=AN-AM=12(AB+AC)-23·AC=1又因为MN=xAB+yAC,所以x=12,y=-112.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为答案1解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC∵DE=λ1AB+λ2AC,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=13.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=.

答案8解题指导:利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2=x2y1”解题.解析由已知a∥b得2×4=5λ,∴λ=85解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.14.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=.

答案-3解析本题考查向量平行的条件.∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.15.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=.

答案-6解析因为a∥b,所以m3=4−2易错警示容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.评析本题考查了两个向量平行的充要条件.16.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=答案1解析∵a∥b,∴sin2θ×1-cos2θ=0,∴2sinθcosθ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cosθ>0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=16.2平面向量的数量积及其应用考点2平面向量的夹角与模1.（2023全国甲文，3）已知向量，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，则，，所以，故选：B.2.（2023全国乙文，6）正方形的边长是2，是的中点，则（）A. B.3 C. D.5【答案】B【解析】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.3.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a-2b|=3,则a·b=()A.-2B.-1C.1D.2答案C由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=3,所以a·b=1,故选C.4.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则BD·CD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.答案DBD·CD=(BC+CD)·CD=BC·CD+CD2=12a2+a2=325.(2015重庆理,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=223|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与bA.π4B.π2C.答案A∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·cos<a,b>-2|b|2=0.又∵|a|=223|b|,∴83|b|2-223|b|2·cos<a,b>-2|b|2=0.∴cos<a,b>=22.∵<∴<a,b>=π4.选6.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为()A.π3B.π2C.2答案C因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=−2|a|24|a|27.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.2答案C因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.8.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=()A.20B.15C.9D.6答案C依题意有AM=AB+BM=AB+34BC,NM=NC+CM=13DC-14BC=13AB-14BC,所以AM·NM=9.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=()A.5B.4C.3D.2答案A∵四边形ABCD是平行四边形,∴AC=AB+AD=(3,-1),∴AD·AC=2×3+1×(-1)=5.选A.10.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=()A.1B.2C.3D.5答案A∵|a+b|=10,∴a2+2a·b+b2=10.①又|a-b|=6,∴a2-2a·b+b2=6.②①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故选A.11.(2014大纲全国文,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=()A.-1B.0C.1D.2答案B(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.12.(2014大纲全国理,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=()A.2B.2C.1D.2答案B由题意得(a+b)·a=a2+a·b=0,(2a+b)·b=2a·b+b213.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=3A.30°B.45°C.60°D.120°答案Acos∠ABC=BA·BC|BA|·|BC思路分析由向量的夹角公式可求得cos∠ABC的值,进而得∠ABC的大小.14.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=()A.-6B.-5C.5D.6答案C由题意可得c=(3+t,4),由<a,c>=<b,c>得cos<a,c>=cos<b,c>,即3(3+t)+4×45(3+t)2+15.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是(A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]答案D解法一:取AB的中点D,PA·PB=(PC+CA)·(PC+CB)=PC2+(CA+CB)·PC+CA·CB=PC2+2CD·PC=1+5×1×cosθ=1+5cosθ(θ为解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),B(-4,0),设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),则PA·PB=(-cosθ,3-sinθ)·(-4-cosθ,-sin=cos2θ+4cosθ+sin2θ-3sinθ=1+4cosθ-3sinθ=1+5cos(θ+φ),其中tanφ=34因为θ∈[0,2π),所以PA·PB∈[-4,6].故选16.(2019课标Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.2B.2C.52D.50答案A本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|=(−1)2+一题多解∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|=a2−2a·b+17.（2023课标II，13）已知向量，满足，，则______．【答案】【解析】法一：因为，即，则，整理得，又因为，即，则，所以.法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即.18.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=.

答案32解析依题意可得|a-b|=(a−b)2=a|19.(2017课标Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.

答案23解析本题考查向量数量积的计算.由题意知a·b=|a|·|b|cos60°=2×1×12=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b所以|a+2b|=23.20.(2014重庆文,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=10,则a·b=.

答案10解析由a=(-2,-6),得|a|=(−2)∴a·b=|a||b|cos<a,b>=210×10×cos60°=10.21.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为.

答案π解析∵cos<a,b>=a·b|a|∴a与b夹角的大小为π622.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=答案2解析令e1与e2的夹角为θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b·(e1-e2)=0,所以b与e1、e2的夹角均为30°,从而|b|=1cos30°23.(2014课标Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为答案90°解析由AO=12(AB+AC)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以AB与AC的夹角为24.(2014湖北文,12,5分)若向量OA=(1,-3),|OA|=|OB|,OA·OB=0,则|AB|=.

答案25解析|AB|=|OB-OA|=OA2∵|OA|=|OB|=12+(−3)2=∴|AB|=20=25,故答案为25.25.(2019课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=.

答案-2解析本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算方法的素养要素.由题意知cos<a,b>=a·b|a|考点3平面向量数量积及其应用1.（2023课标I，3）已知向量，若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．2.（2023全国甲理，4）向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形，AB边上的高,所以，,.故选:D.3.(2015福建文,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于()A.-32B.-53C.5答案Ac=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-32.故选4.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为A.4B.-4C.94D.-答案B因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-n2t,又4|m|=3|所以cos<m,n>=m·n|m|·|n|=4m5.(2017课标Ⅱ理,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-4答案B设BC的中点为D,AD的中点为E,则有PB+PC=2PD,则PA·(PB+PC)=2PA·PD=2(PE+EA)·(PE-EA)=2(PE2-EA而AE2=322当P与E重合时,PE2有最小值0,故此时PA·(PB+PC)取最小值最小值为-2EA2=-2×34=-方法总结在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用PA·PD=PE2-EA2一题多解以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,则A(-1,0),B(1,0),C(0,3),设P(x,y),取BC的中点D,则D12,32.PA·(PB+PC)=2PA·PD=2(-1-x,-y)·12因此,当x=-14,y=34时,PA·(PB+PC)取得最小值,为2×−34=-6.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的边长为23,平面ABC内的动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是()A.434B.494C.37+6答案B以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),C(23,0),B(3,3).设P(x,y),∵|AP|=1,∴x2+y2=1,∵PM=MC,∴M为PC的中点,∴Mx+2∴|BM|2=x+232−32+y2−3又∵-1≤y≤1,∴当y=-1时,|BM|2取得最大值,且最大值为494思路分析由△ABC为正三角形,|AP|=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题.评析本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.7.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是(A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案A解法一:如图,过点P作PP1⊥直线AB于P1,过点C作CC1⊥直线AB于C1,过点F作FF1⊥直线AB于F1,AP·AB=|AP|·|AB|·cos∠PAB,当∠PAB为锐角时,|AP|·cos∠PAB=|AP1|,当∠PAB为钝角时,|AP|·cos∠PAB=−|AP1|,所以当点P与C重合时,AP·AB最大,此时AP·AB=|AC1||解法二:连接AE,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),设P(x0,y0),则-1<x0<3.AB=(2,0),AP=(x0,y0),则AB·AP=2x0∈(-2,6),故选解后反思解决以平面多边形为载体,有关平面向量数量积的复杂计算问题时,可以建立恰当的坐标系,将复杂的运算转化为简单的坐标运算,会大大降低难度.8.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则()A.|OPC.OA答案ACA项,∵|OP1|=cos2α+sin2α=1,|OP2|=cos2β|AP2|=(cosβ−1)2+(−sinβ)2=2−2cosβ,C选项,∵OA·OP3=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(OP1·OP2=(cosα,sinα)·(cosβ,-sinβ)=cosαcosβ-sinαsinβ∴OA·OP3D选项,∵OA·OP1=(1,0)·(cosα,sinαOP2·OP3=(cosβ,-sinβ)·(cos(α+β),sin(α+β))=cosβ·cos(α+β)-sinβ·sin(α+β)=cos(β+α+β)∴OA·OD选项不正确.故选AC.9..(2022全国甲文,13,5分)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=.

答案-3解析因为a⊥b,所以a·b=0,即m×1+3(m+1)=0,解得m=-3410.(2021全国乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=.

答案3解题指导:根据(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,再转化为坐标运算,得到关于λ的方程求解即可.解析解法一:由a=(1,3),b=(3,4),得a-λb=(1-3λ,3-4λ),由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,故3(1-3λ)+4(3-4λ)=0⇒15-25λ=0⇒λ=35解法二:由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,即a·b-λb2=0,a·b=1×3+3×4=15,b2=3×3+4×4=25,则15-25λ=0,∴λ=3511.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=.

答案-10解题指导:首先确定c的坐标表示,然后依据向量垂直的条件建立等式,进而确定k的值.解析由题意知c=a+kb=(3,1)+k(1,0)=(3+k,1),结合a⊥c得3(3+k)+1×1=0,解得k=-103易错警示在利用a,b的坐标表示c时,易出现运算错误.12.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为.

答案-3解析本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2,0),∴AE=(1,m),BF=(-2,n).∴AE·BF=-2+mn,又知|EF|=2,∴|m-n|=2.①当m=n+2时,AE·BF=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3.∴当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,AE·BF取得最小值-3.②当m=n-2时,AE·BF=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3.∴当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,AE·BF取得最小值-3.综上可知,AE·BF的最小值为-3.13.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.

答案-2解析由|a+b|2=|a|2+|b|2可得a·b=0,∴a·b=m+2=0,∴m=-2.思路分析由|a+b|2=|a|2+|b|2得a·b=0,然后利用数量积的坐标表示得到关于m的方程,解方程求得m.14.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=.

答案-1解析本题主要考查平面向量数量积的坐标运算.∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,即ma2-a·b=0,即m-(-1)=0,∴m=-1.15.(2017课标Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.

答案7解析本题考查向量数量积的坐标运算.∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.16.(2016课标Ⅰ文,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=.

答案-2解析因为a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-23易错警示混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.17.(2016山东文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为.

答案-5解析因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=2,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.评析本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.18.(2014湖北理,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=.

答案±3解析|a|=32,|b|=2,a·b=3×1+3×(-1)=0.因为(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.19.(2013课标Ⅰ,理13,文13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=.

答案2解析解法一:∵b·c=0,∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,又∵|a|=|b|=1,<a,b>=60°,∴12解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=12则c=32把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.评析本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c的坐标是解题关键.20.(2012课标,理13,文13,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=.

答案32解析|2a-b|=10两边平方得4|a|2-4|a|·|b|cos45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-22|b|-6=0.∴|b|=32或|b|=-2(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键.21.(2012安徽文,11,5分)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=.

答案2解析a+c=(3,3m),∵(a+c)⊥b,∴(a+c)·b=0,∴3m+3+3m=0,∴m=-12∴a=(1,-1),∴|a|=12+(−评析本题主要考查向量的基本运算,考查了向量垂直的充要条件.22.(2011课标,文13,5分)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=.

答案1解析由题意知|a|=1,|b|=1,<a,b>≠0且<a,b>≠π.由a+b与向量ka-b垂直,得(a+b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos<a,b>-|b|2=0,(k-1)(1+cos<a,b>)=0.又1+cos<a,b>≠0,∴k-1=0,k=1.评析本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识,考查学生的运算求解能力,属中等难度试题.23.(2015福建理,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是△AB