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文档简介

2.1.1倾斜角与斜率第二章

§2.1

直线的倾斜角与斜率1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.(重点)2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率.(重点)学习目标导语交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=若k>0,则表示上坡,若k<0,则表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?本节课我们就来学习一下.一、直线的倾斜角二、直线的斜率课时对点练三、倾斜角和斜率的应用随堂演练

内容索引直线的倾斜角一问题1在平面中,怎样才能确定一条直线?提示两点确定一条直线,一点和一个方向也可以确定一条直线.问题2在平面直角坐标系中,规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向,图中过点P的直线有什么区别?提示直线的方向不同,相对于x轴的倾斜程度不同.1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴

与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为

.2.直线的倾斜角α的取值范围为

.正向0°≤α<180°0°注意点:(1)从运动变化的观点来看,当直线l与x轴相交时,直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.例1

(1)(多选)下列命题中,正确的是A.任意一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为-30°C.倾斜角为0°的直线有无数条D.若直线的倾斜角为α,则sinα∈(0,1)√任意一条直线都有唯一的倾斜角,故A正确;倾斜角不可能为负,故B错误;倾斜角为0°的直线有无数条,它们都垂直于y轴,故C正确;当α=0°时,sinα=0;当α=90°时,sinα=1,故D错误.√(2)(多选)设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角可能为A.α+45° B.α-135°C.135°-α

D.α-45°√√根据题意,画出图形,如图所示.通过图象可知,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.直线倾斜角的概念和范围(1)直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.(2)注意倾斜角的范围.跟踪训练1

(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°,则直线l的倾斜角为____________.60°或120°有两种情况:①如图(1),直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直线l的倾斜角为60°.(1)

(2)②如图(2),直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°,即直线l的倾斜角为120°.(2)已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向所成的角为120°,如图,则直线l2的倾斜角为_______.135°设直线l2的倾斜角为α2,l1和l2向上的方向所成的角为120°,所以∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°.直线的斜率二问题3在平面直角坐标系中,设直线l的倾斜角为α.(1)已知直线l经过O(0,0),P(,1),α与O,P的坐标有什么关系?(2)类似地,如果直线l经过P1(-1,1),P2(,0),α与P1,P2的坐标有什么关系?(3)一般地,如果直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α与P1,P2的坐标有什么关系?1.把一条直线的倾斜角α的

叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k=

.2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=

,当x1=x2时,直线P1P2的斜率不存在.3.直线的方向向量与斜率的关系:若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=

.正切值tanα注意点:(1)当x1=x2时,直线的斜率不存在,倾斜角为90°.(2)斜率公式中k的值与P1,P2两点在该直线上的位置无关.(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.(4)若直线与x轴平行或重合,则k=0.例2

(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并确定直线的倾斜角.①A(2,3),B(4,5);则直线AB的倾斜角α满足tanα=1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=45°.②C(-2,3),D(2,-1);则直线CD的倾斜角α满足tanα=-1,又0°≤α<180°,所以倾斜角α=135°.③P(-3,1),Q(-3,10).不存在.因为xP=xQ=-3,所以直线PQ的斜率不存在,倾斜角α=90°.(2)求经过两点A(a,2),B(3,6)的直线的斜率.当a=3时,斜率不存在;求直线的斜率的两种方法(1)利用定义:已知直线的倾斜角为α,且α≠90°,则k=tanα.跟踪训练2

(1)若直线的倾斜角为120°,则直线的斜率为______.(2)若过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为______.1(3)已知直线l的方向向量的坐标为(1,

),则直线l的倾斜角为______.设直线l的斜率为k,倾斜角和斜率的应用三问题4

当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°,其斜率如何变化?提示当倾斜角为锐角时,斜率为正,而且斜率随着倾斜角的增大而增大;当倾斜角为钝角时,斜率为负,而且斜率随着倾斜角的增大而增大.设直线的倾斜角为α,斜率为k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范围k=0_____不存在_____k的增减性

随α的增大而_____

随α的增大而_____k>0k<0增大增大课本例1如图,已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.由kAB>0及kCA>0可知,直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由kBC<0可知,直线BC的倾斜角为钝角.例3已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围;要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度,二者相互联系.(2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.跟踪训练3已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).(1)求直线AB和AC的斜率;(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围.如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是1.知识清单:(1)直线的倾斜角及其范围.(2)直线斜率的定义和斜率公式.2.方法归纳:数形结合法.3.常见误区:忽视倾斜角范围,图形理解不清.随堂演练四12341.(多选)下列说法正确的是A.若α是直线l的倾斜角,则0°≤α<180°B.若k是直线的斜率,则k∈RC.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率D.任意一条直线都有斜率,但不一定有倾斜角√√√12342.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m等于A.2B.1C.-1D.-2√12343.已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x=_____,直线AB的倾斜角为_____.因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,312344.经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是____________.(其中m≥1)当m=1时,倾斜角α=90°;0°<α≤90°∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.课时对点练五12345678910111213141516基础巩固1.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是A.(4,2)与(-4,1)B.(0,3)与(3,0)C.(3,-1)与(2,-1)D.(-2,2)与(-2,5)√D项,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在.123456789101112131415162.(多选)已知直线斜率的绝对值为

,则直线的倾斜角可以为A.30° B.60°C.120° D.150°√√12345678910111213141516A.60° B.30°C.120° D.150°∴θ=30°.√√12345678910111213141516123456789101112131415165.如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则A.k1<k3<k2

B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3

D.k3<k2<k1√设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°,所以tanα1<0,tanα2>tanα3>0,即k1<0,k2>k3>0.123456789101112131415166.直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是如图所示,当直线l在l1的位置时,k=tan0°=0;故直线l的斜率的取值范围是[0,2].√123456789101112131415167.若经过点A(1-t,1+t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角,则实数t的取值范围是________.因为直线的倾斜角为钝角,(-2,1)解得-2<t<1.123456789101112131415168.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为________________.若点P在x轴上,设点P的坐标为(x,0),(3,0)或(0,-3)若点P在y轴上,设点P的坐标为(0,y),综上,P为(3,0)或(0,-3).123456789101112131415169.已知直线l经过两点A(-1,m),B(m,1),问:当m取何值时:(1)直线l与x轴平行?若直线l与x轴平行,∴m=1.12345678910111213141516(2)直线l与y轴平行?若直线l与y轴平行,则直线l的斜率不存在,∴m=-1.12345678910111213141516(3)直线l的方向向量的坐标为(3,1).12345678910111213141516(4)直线的倾斜角为45°?由题意可知,直线l的斜率k=1,12345678910111213141516(5)直线的倾斜角为锐角?解得-1<m<1.1234567891011121314151610.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,OB边在x轴的正半轴上,已知∠BOD=60°,求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.12345678910111213141516在菱形OBCD中,OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角相等,都为60°,所以kOD=kBC=tan60°=

.因为CD∥OB,且OB在x轴上,所以直线OB,CD的倾斜角相等,都为0°,所以kOB=kCD=0,由菱形的性质,知∠COB=30°,∠OBD=60°,所以直线OC,BD的倾斜角分别为30°,120°,12345678910111213141516综合运用11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度,再沿y轴正方向平移2个单位长度后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是A.-2B.-1C.1D.2√设A(a,b)是直线l上任意一点,则平移后得到点A′(a-2,b+2),1234567891011121314151612.已知点A(2,3),B(-

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