专题21 尺规作图（精讲精练）（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

第21讲尺规作图（精讲）

I卜■■■■■■总■■■港■■■点■■■4。

1「学会作一条线段等于已知线段

2.学会作一个角等于已知角

3.学会作已知角的角平分线

4.学会过一点作已知线段的垂线

5.作已知线段的垂直平分线

国考鱼与猛

第21讲尺规祚图（精讲）.二….................................1

考点1:作等线段..................................................................2

考点2：作等角....................................................................6

考点3：作角平分线...............................................................14

考点4：过直线外一点作已知直线的垂线...........................................22

考点5：作垂直平分线.............................................................26

考点6:综合运用.................................................................31

课堂总结：思维导图..............................................................60

分层训练：课堂知识巩固..........................................................61

2和叙气双

考点1:作等线段

作一条线段等于已知线段

已知：线段4,作一条线段AB,AB=a?

A

作法：

①用直尺画射线AC

②用圆规在射线AC上截取AB=a

，线段AB即为所求

学有笔记

［二&制疆行新

【例题精析1】在给出的图形中，完成以下作图（尺规作图，保留作图痕迹）：

①作NAC8的平分线CD,交A3于点。；

②延长3c到E,使CE=C4,连接

B

【分析】根据角平分线的定义利用直尺和圆规作出即可.

【解答】解：如图所示：射线CD和线段CE即为所求.

【点评】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，正确理解角平分线的定义是关键.

【例题精析2】如图，在AABC中，ZC=90°.

（1）用尺规作NABC的平分线交AC于点£＞：（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若AD=BD,求Z4的度数.

【分析】（1）利用基本作图作NA8C的平分线即可；

（2）由8。平分NABC得到ZAB£＞='NA8C,由AO=8。得到NA=NA8D,然后根据三

2

角形内角和计算的度数.

【解答】解：（1）如图，加＞为所作；

:.ZABD=-ZABC,

2

AD=BD,

：.ZA=ZABD,

:.ZA=-ZABC,

2

ZC=90°,

/.ZA+ZABC=90°,

即NA+2NA=90。，

/.ZA=30°.

【点评】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）是解决问

题的关键.也考查了等腰三角形的性质.

国O!珠

【对点精练1】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹,

已知：如图，线段机，

求作：线段43,使A8=2%-〃.

mn

【分析】作射线A",在射线A"上截取AB=2加，在线段84上截取3C=〃，则线段AC

即为所求.

【解答】解：如图，线段AC即为所求.

mn

【点评】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题

型.

【对点精练2】如图，已知线段射线按要求完成作图：

（1）用圆规在射线AP上截取AC=2A8,连接C8；

（2）以AC为一边，以C为顶点，在射线"上方，用三角尺作NACA7=75。；延长43,

交CM于点D；

（3）比较线段£）3与CB的大小，瓦）与AC的大小，并直接写出结论.

【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据要求作出图形即可；（3）利用测量法解决问

题即可.

【解答】解：（1）如图，线段AC即为所求；

（2）如图，射线CM即为所求；（3）利用测量法可知，BD=CB,BD>AC.

A/

{D

/B.:\

/:'A

Az-------；------才P

【点评】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

【对点精练3】如图，已知直线/和直线外三点A,B,C,请按下列要求画图：

(1)画线段3C；(2)画射线AC；(3)延长3c到。，使得3£)=23C;

(4)在直线/上找一点M,使得AM+BM最小，并说明你的作图依据：两点之间线段

最短.

C

--------------------I

A

【分析】根据线段，直线，射线的定义，两点之间线段最短画出图形即可.

【解答】解：(1)如图，线段3c即为所求；(2)如图，射线AC即为所求；

(3)如图，线段8即为所求；(4)如图，点M即为所求.理由是：两点之间线段最短.

故答案为：两点之间线段最短.

【点评】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义，两点之间线段最短等知识,

解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型.

图攵曾极雄

考点2：作等角

作一个角等于已知角

已知：ZAOB

求作：ZAOB^ZAO'B'

作法：①以0为圆心，任意长为半径画弧，交0A与点D,交0B于点E；

②作射线O'夕

③以。'为圆心,OD长为半径画弧，交OB,于点E

④以£为圆心,ED长为半径画弧，交上一步所画的弧与。’

⑤过D'作射线O'A,NAO'B'为所求

i-员制发行新

【例题精析1】已知，如图，作△钻。的外接圆，在上方作弦4）使4）=3。，连接

CD,并求证：CD//AB.（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作线段AB，8C的垂直平分线交于点O,连接Q4,以。为圆心，为半径作O,

以A为圆心，为半径作弧，在川的上方交。于点。，连接CD即可.

【解答】解：如图，O,线段CD即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握五种基

本作图，属于中考常考题型.

三.对JL科隹

【对点精练1】已知：线段”，AELAF,垂足为点A.

求作：四边形ABC。，使得点8,。分别在射线AE,AF上，且AB=BC=a,N4BC=60。,

CDIIAB.

a

AF

【分析】以A为圆心，a为半径作弧交越于点3,分别以A,B为圆心，a为半径作弧,

两弧交于点C,连接3C,作GD_LAF于。，四边形ABC。即为所求.

【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

【实战经典1]（2021•福建）如图，已知线段仞V=a,ARVAK,垂足为A.

（1）求作四边形ABCD,使得点3,。分别在射线轨，4?上，且AB=BC=a,ZABC=60。,

CDIIAB（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设P,Q分别为（1）中四边形AfiCD的边AB,CD的中点，求证：直线AZ）,BC,

PQ相交于同一点.

,a,

RMN

【分析】（1）先截取他=。，再分别以A、3为圆心，〃为半径画弧，两弧交于点C,然

后过C点作AR的垂线得到CD；

（2）证明：设尸。交4）于G,交4）于G，，利用平行线分线段成比例定理得到

型=型，GD=DC=2DQ=DQ则空=必，于是可判断点G与点G，重合.

GAAPGrAAB2APAPGrAGA

【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；

（2）证明：设尸。交AD于G,BC交AD于G「

DQ//AP.

,GD_DQ

…GA-AP5

DC!IAB,

.GDDC

"G\4-AB

P,。分别为边AB,CD的中点,

:.DC=2DQ,AB=2AP,

.GDDC2DQDQ

~GA~^B~2AP-APJ

G'DGD

..---=---,

G'AGA

.•.点G与点G，重合，

直线4）,BC,PQ相交于同一点.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线分线段成比

例定理.

【实战经典2]（2020•福建）如图，C为线段/W外一点.

（1）求作四边形A8C。，使得CD//AB,且CD=2A8；（要求：尺规作图，不写作法，保

留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形ABCD中，AC,或）相交于点P,AB,C£＞的中点分别为M,N,

求证：M,P,N三点在同一条直线上.

A1--------------------'B

【分析】（1）利用尺规作图作8//AB,且8=2AB,即可作出四边形至8；

（2）在（1）的四边形ABC。中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M,P,N三点

在同一条直线上.

【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；

（2）证明：如图,

D.

CD/1AB,

:.ZABP=NCDP,ZBAP=ZDCP,

:4BPs〉CDP,

ABAP

----=----，

CDCP

AB,CD的中点分别为M,N,

:,AB=2AM,CD=2CN,

AMAP

CNPC

连接MP,NP,

ZBAP=ZDCP,

:.^APMS^CPN,

:.ZAPM=/CPN,

点P在AC上,

...ZAPM+/CPM=180°,

.../CPN+/CPM=180。，

.•./，P,N三点在同一条直线上.

【点评】本题考查了作图-复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相

似三角形的判定与性质.

【实战经典3】（2020•陕西）如图，已知AABC,AC>AB,ZC=45°.请用尺规作图

法，在AC边上求作一点P,使NP3C=45。.（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）

【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点尸，使N必C=45。即

可，或作8c的垂直平分线交AC于点尸

【解答】解：如图，点P即为所求.

【点评】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

【实战经典4】（2017•泰州）如图，AA8C中，ZACB>ZABC.

（1）用直尺和圆规在NAC3的内部作射线CM,使=（不要求写作法，保留

作图痕迹）；

（2）若（1）中的射线CM交回于点O,/3=9,AC=6,求AD的长.

【分析】（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在ZACB的内部作ZACM=ZABC即可；

（2）根据AACZ）与AABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可.

【解答】解：（1）如图所示，射线CM即为所求；

（2）ZACD=ZABC,ZCAD=ZBAC,

■.MCD^iSABC,

ADACAD6

­.——=——,B即n——=-,

ACAB69

\AD=4.

【点评】本题主要考查了基本作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两角

对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例.

【实战经典5]（2017•青岛）已知：四边形ABCD.

求作：点P,使NPCB=NB,且点尸到边AD和CD的距离相等.

A

BC

【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：到边4）和CD的距离相等的点在

的平分线上，所以第一步作/4DC的平分线AE,要想满足NPCB=Zfi,则作

CP、I/AB,得到点片，再作两角相等得点g.

【解答】解：作法：①作N4QC的平分线DE,

②过C作CK//AB,交DE于点

③以C为角的顶点作N£CB=N6C3,

则点q和八就是所求作的点；

【点评】本题是作图题，考查了角平分线的性质、平行线的性质，熟练掌握角平分线上的点

到角两边距离相等是关键.

岛A鸽林万

考点3：作角平分线

作已知角的角平分线

作法：①在0A和0B上分别截取OD、0E,使OD=OE。

②分别以D、E为圆心，以大于‘DE的长为半径作弧，两弧在NAOB内交于点C

2

③作射线0C,则0C就是NAOB的平分线

:二&制疆行新

【例题精析1】如图所示，要把残破的轮片复制完整，己知弧上的三点A,B,C.

用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；

【解答】解：分别作他和AC的垂直平分线，设交点为。，则。为所求圆的圆心;

【点评】本题综合考查作图，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

【例题精析2】在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在V,N两处参加植树劳动，

现要在道路的A3,AC交叉区域内设一个茶水供应点尸，使尸到两条道路的距离相等,

且使=请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，

不要证明.

【分析】因为P到两条道路的距离相等，且使=所以P应是的平分线和MN的

垂直平分线的交点.

【解答】解：如图，理由是：因为P是的平分线和的垂直平分线的交点，

所以P到NA的两边钻和AC的距离相等，P到A/、N的距离相等，所以P就是所求.

【点评】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题

意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键.

三J支树珠

【对点精练1】如图，在RtAABC中，4=90".

（1）作AC的垂直平分线ED,交BC于点E,交AC于点。（尺规作图，不写作法，保留

作图痕迹）；

（2）当/W=3,8C=5时，求AABE的周长.

【分析】（1）利用基本作图作上垂直平分AC；

（2）根据线段垂直平分线的性质得到E4=EC,然后利用等线段代换得到AABE的周长

=AB+BC.

（2）近垂直平分AC,

EA=EC>

.•.AABE的周长=舫+BE+钻=Afi+BE+EC=+BC=3+5=8.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一

个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂

线）.也考查了线段垂直平分线的性质.

【对点精练2】如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点4,B,C.

用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）

A

B,

C

【分析】作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O：

【解答】解：分别作他和AC的垂直平分线，设交点为O,则O为所求圆的圆心;

【点评】本题综合考查作图，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

【对点精练3】如图，已知AAfiC.

①请用尺规作图法作出AC边的垂直平分线，交A3于。点；（保留作图痕迹，不要求写作

法）

②在（1）的条件下，连接8,若A8=15,BC=8,求AB8的周长.

【分析】①利用基本作图作AC的垂直平分线即可；

②利用线段垂直平分线的性质得到8=A。，然后利用等线段代换得到ABC。的周长

AB+BC=23.

【解答】解：（1）①如图，点。为所作;

②点。为AC的垂直平分线与A3的交点，

:.CD=AD

:.BD+CD=BD+AD=AB=\5,

.ABC£>的周长=3D+8+BC=/W+BC=15+8=23.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一

个角等于已知角：作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线：过一点作已知直线

的垂线）.

【对点精练4】如图，在AABC中，AB=AC

（1）尺规作图：作NABC的平分线，交AC于点。（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）£是底边BC的延长线上一点，M是BE的中点，连接。E,DM,若CE=CD,求

【分析】（1）以点5为圆心，适当的长为半径作弧，交NA8C于两点，分别以这两点为圆

心，适当的长为半径画弧，交于一点，最后过该点与点5作射线，交AC于点。即可；

（2）先根据角平分线的定义以及三角形外角性质，求得NE=NDBC,进而得出=

再根据M是展的中点即可得出结论.

【解答】解：（1）如图所示，射线比>即为所求；

(2)证明：AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

加)平分NABC,

ZDBC=-ZABC,

2

CD=CE,

：.ZE=ZCDE,

ZACH是△COE的外角,

/.NE=1/ACB,

2

/.NE=NDBC,

/.BD=DE，

又，M是BE的中点，

:.DM工BE.

【点评】本题主要考查了基本作图的运用以及等腰三角形的判定与性质的综合应用，解决问

题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质.

【对点精练5】如图，已知AABC,用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写

作法）：

（1）作AABC的角平分线AD；

（2）在A8边上找一点E,使得AE=CE.

【分析】（1）利用尺规作4c的角平分线交8c于点。，线段4）即为所求;

（2）作线段AC的垂直平分线交A3于点E,连接EC,点E即为所求.

【解答】解：（1）如图，线段4）即为所求；

（2）如图，点E即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，角平分线，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟

练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

【对点精练6】如图，在A48C中，点。为边上一点，连接8,用尺规在边AC上

找一点E,使得ABCE与反亚心的面积相等.（保留作图痕迹，不写作法）

A

【分析】利用尺规作OE//3c交AC于点E,连接BE,ABCE即为所求.

解决面积线段问题，是中考常考题型.

【对点精练7】如图，在A48C中，

(1)用直尺和圆规分别作NACB的平分线、线段43的中垂线、它们的交点〃(不写作法,

保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M)；

(2)过点M作皿EJ_3C,MFVAC,垂足分别为点E、F.求证：BE=AF.

【分析】(1)利用尺规作出加C的角平分线，线段他的中垂线即可;

(2)证明RtAMEB=RtAMFC,可得BE=AF.

【解答】(1)解：如图，点例即为所求；

点M在他的垂直平分线上，

M4平分/B4C,ME1AB,MFVAC,

:.ME=MF,

ZMEB=ZMFA=90°f

在RtAMEB和RtAMFA中，

^MB=MA

\ME=MF9

・•.RtAMEB=RtAMFA(HL),

:.BE=AF.

【点评】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解

题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

司m

【实战经典1](2017•福建)如图，AA3C中，ZBAC=90°,AD±BC,垂足为。.求

作Z4BC的平分线，分别交4),AC于P,Q两点；并证明AP=AQ.(要求：尺规

作图，保留作图痕迹，不写作法)

【分析】根据角平分线的性质作出8Q即可.先根据垂直的定义得出NAZ)5=90。，故

ZBPD+ZPBD=90°.

再根据余角的定义得出NAQP+NABQ=90。，根据角平分线的性质得出NABQ=NP8O,再

由=可知NAPQ=ZAQP,据此可得出结论.

【解答】解：3。就是所求的NABC的平分线，P、Q就是所求作的点.

证明：ADYBC,

ZADB=90°,

:.ZBPD+ZPBD=90。.

ABAC=90°,

ZAQP+NABQ=90。.

.ZABQ=/PBD,

ZBPD=ZAQP.

/BPD=ZAPQ,

ZAPQ=ZAQP,

/.AP=AQ.

【实战经典2]（2017•陕西）如图，在钝角A48C中，过钝角顶点5作3D，8c交AC

于点。.请用尺规作图法在BC边上求作一点P,使得点。到AC的距离等于8尸的

长.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】根据题意可知，作如C的平分线交BC于点尸即可.

【解答】解：如图，点尸即为所求.

【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键.

应和但保理

考点4：过直线外一点作已知直线的垂线

过一点作已知线段的垂线

求作：AB的垂线，使它经过点C

作法：①以点C为圆心，大于到线段距离为半径作弧，交AB与点D、E。

②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F。

2

③作直线CF,CF即为所求的直线

沙算制易新

【例题精析1】如图，在AABC中，NA=NB=30。.

（1）尺规作图：在线段相上找一点O,以O为圆心作圆，使oO经过3、C两点;

（2）在（1）中所作图中，求证：AC与。的相切.

【分析】（1）作线段8c的垂直平分线MV,交A3于点O,以。为圆心，08为半径作O

即可.

（2）欲证明AC是O的切线，只要证明NACO=90。即可.

【解答】解：（1）如图，。即为所作.

C

(2)证明：连接OC

AABC中，ZA=ZB=30°

ZACS=120°

由(1)可知，OC=OB

/.ZOCB-ZB=30°

/.ZACO-90°

」.AC是。的相切.

【点评】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，切线的判定等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

【例题精析2】如图在A48c中，N8AC=90。，ZC=30°,请利用尺规作图法作［P使

【分析】作NABC的平分线班■，与AC交于点P,以点P为圆心，钎长为半径作P.P

即为所求.

【解答】解：如图，P即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质定理，切线的判定和性质等知识，解题

的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

【例题精析3】作图与计算：如图正方形ABCZ).

(1)用带刻度的直尺和圆规，分别作正方形ABCD的外接圆和内切圆.

(2)若正方形的边长是4e",求它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积(答案保留万).

【分析】(1)连接AC,BD交于点、O,分别。为圆心，OA,的一半为半径作圆即可;

(2)判断出利用圆的半径，可得结论.

【解答】解：(1)正方形ABCD的外接圆和内切圆如图所示;

(2)由题意，OE=AE=2cm,OA=2血cm,

：.它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积=TX(2夜尸-万x2?=4乃.

【点评】本题考查作图-复杂作图，正方形的性质，圆的面积等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

考点5：作垂直平分线

作已知线段的垂直平分线

作法：①以A为圆心大于LAB长为半径作弧，以B为圆心大于工A3长为半径作弧，两弧

22

交于C、D两点

②连接CD,即为所求

国钠飙行新

【例题精析1】如图，在四边形ABCD中，ZABC=ZDCB,请利用尺规作图法在4）边

上求作一点E，连接5£、CE,使得NABE=NDCE.（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作线段BC的垂直平分线交4）于点E,点E即为所求.

【点评】本题考查组-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基

本作图，属于中考常考题型.

,对老树林

【对点精练1】（2021•阿坝州）如图，在AABC中，ZBAC=7O°,ZC=40°,分别以

点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MV交

2

BC于点D,连接4）,则的大小为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出〃4C=NC=40。，进而求出NBA。的度数.

【解答】解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，

:.DA=DC,

ZDAC=ZC=4O°.

ABAC=70°,

ABAD=ZBAC-ZDAC=70°-40°=30°.

故选：A.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

【对点精练2】（2019•无锡）如图，A3为半圆。的直径，。为半圆上一点，AC<BC.

（I）请用直尺（不含刻度）与圆规在8c上作一点O,使得直线OD平分的周长；（不

要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若AB=10,00=2石，求AABC的面积.

【分析】（1）延长BC,在延长线上截取CE=C4,作3E的中垂线，垂足为。，作直

线OO即可得；

（2）由作图知OD是AAfiE中位线，据此知AE=2O£>=4上，继而由AACE为等腰直角三

角形得出AC=2jQ,利用勾股定理求出BC的长，进一步计算得出答案.

【解答】解：（1）如图所示，直线OD即为所求；

（2）如图，8为AABE的中位线,

AE=2OD=4y[5,

AB是O的直径,

:.ZACB=90°,

CE=CA,

.•.AACE是等腰直角三角形,

AC=—AE=2V10,

2

由勾股定理可得8。=2岳,

则AABC的面积为LAC.BC=！X2而x2后=10面.

22

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、线段中垂线

的尺规作图、中位线定理等知识点.

【对点精练3】（2019•枣庄）如图，BZ）是菱形A8CD的对角线，ZCBD=15°,

（1）请用尺规作图法，作他的垂直平分线EF,垂足为£,交4）于产；（不要求写作法，

保留作图痕迹）

（2）在（1）条件下，连接8尸，求NOB尸的度数.

【分析】（1）分别以A、8为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可;

2

（2）根据"8尸=/钻£＞一/45尸计算即可；

【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求；

(2)四边形ABCD是菱形，

ZABD=ZDBC=-ZABC=75°,DC//AB,ZA=ZC.

2

.'.ZABC=150°,ZABC+ZC=180°,

/.ZC=ZA=30°,

所垂直平分线段AB,

：.AF=FB,:.ZA=ZFBA=30°,ZDBF=ZABD-ZFBE=45°.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于常考题型.

【对点精练4】（2018•河池）如图，在A48C中，248=90。，

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）

①作AC的垂直平分线，垂足为

②以。为圆心，D4长为半径作圆，交于E（E异于4）,连接CE；

（2）探究CE与"的位置关系，并证明你的结论.

【分析】（1）根据线段中垂线的尺规作图及圆的概念作图可得:

(2)连接Z)E,由(1)知D4=£)E=QC,据此得NQ4£=ZDE4=x。，ZCDE=2x°,结

合DC=DE知ZDCE=ZDEC=竺23=90-x,相加即可得出答案.

2

【解答】解：（1）如图所示，直线上和.。即为所求.

(2)CEYAB,连接£>E,由(1)知外:小二女，^\ZDAE=ZDEA,

ion_

设NZME=ZDE4=x，则NC£)E=2x,DC=DE,;"DCE=NDEC=------=90-x,

2

:.ZDEA+ZDEC^=90-x+x=90,:.CEA.AB.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和圆的概

念、性质及等腰三角形的性质.

考点6：综合运用

匕国制总行新

【例题精析1】如图，在A48c中，ZB=62°,ZC=24°,分别以点A和点C为圆心，

大于」AC的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点V、N,连接MN,交3c于点

2

D,连接4%则44。的度数为（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

【分析】分别求出NB4C，NG4c的大小，可得结论.

【解答】解：.N8=62。，NC=24。，

/.ZR4C=180°-ZB-ZC=94°,

由作图可知MN垂直平分线段AC.

/.DA=DCf

・•.ZZMC=ZC=24°,

/.ZBAD=ZfiL4C-ZZMC=94°-24o=70°,

故选：A.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识,

解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.

【例题精析2】尺规作图：作角等于己知角NAO8.示意图如图所示，则说明

=的依据是()

D.AAS

【分析】根据SSS证明三角形全等，可得结论.

【解答】解：在△ODC和△00。中，

OD=O'D'

<OC=O'C,

CD=CD'

:.\ODC=/\ODC(SSS),

ZAOB-ZAOB，

故选：A.

【点评】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题

型.

【例题精析3】如图①，已知NAQ3,用直尺和圆规作4403的平分线.

如图②，步骤如下：第一步，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交。4于点交OB于

点N.

第二步，分别以点A/,N为圆心，”的长为半径画弧，两弧在NAOB的内部相交于点C.

第三步，画射线OC.射线OC即为所求.下列说法正确的是（）

第二步

图①图②

A.<7>0C.a=-MND.a>-MN

22

【分析】根据基本作图（作一个角的平分线）进行判断.

【解答】解：第二步，分别以点〃，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在NAO8

2

的内部相交于点C.故选：D.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.

【例题精析4】在AABC中，Zfi4C=90°,AB>AC,NB/30。，用无刻度的直尺和圆

规在8C边上找一点。，使4）=3。，下列作法正确的是（）

【分析】根据“要在3c边上找一点。，使4）=瓦>”知点。应该是线段43垂直平分线与

BC的交点，据此求解即可.

【解答】解：若要在BC边上找一点。，使4）=的>

则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，

故选：D.

【点评】本题主要考查作图一基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图和性

质.

【例题精析5】如图，AABC的面积是30c小，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分

别交AB、AC于点M、N,再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧,

2

两弧交于点P，作射线”，过点。作C£>LAP于点。，连接必，则AZMB的面积是

c

C.13cm2D.12cm2

【分析】如图，延长8交AB于点:T.想办法证明可得结论.

【解答】解：如图，延长CD交4?于点7.

.\ZCAD=ZADT,

vZC4£)+ZACr>=90o,ADAT+ZATD=90°,

.\ZACD=ZATD,

:.AC=AT,

：,CD=DT,

^^ACD=S^DT'S&cDB=S也BT

•"-5MDB=^SMBC=15W).

故选：A.

【点评】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，解题的关

键是证明8=07.

【例题精析6】（2021•青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：NO及其一边上的两点A,B.

求作：RtAABC,使NC=90。，且点C在NO内部，ZBAC=ZO.

【分析】先在NO的内部作mm=NO,再过6点作4)的垂线，垂足为C点.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

【例题精析7】(2021•湖北)已知AABC和△(?£>£都为正三角形，点3,C,。在同一

直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.

(1)如图1,当3C=CD时，作A/U5c的中线5R；

(2)如图2,当BCKCQ时，作AABC的中线3G.

(2)延长84交DE的延长线于卬，连接4),CW交于点O，连接。8交AC于G,线段

BG即为所求.

【解答】解：(1)如图1中，线段8R即为所求.

(2)如图2中，线段3G即为所求.

w

图1图2

【点评】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是能结合题目条件，灵活运用所学知识解决问题.

【例题精析8】（2021•南京）如图，已知P是：。外一点.用两种不同的方法过点P作

。的一条切线.

要求：（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

【分析】方法一：直接以OP为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得ZADC=90°,

可证直线电＞是切线.

方法二：利用三角形中位线定理解决问题即可.

【解答】解：方法一：如图1中，连接OP,以OP为直径作圆交：O于。，作直线

方法二：作P点关于点O的对称点P,以PO为半径作圆O,连接小，设原来的圆O半径

为r,以他（即2r）的长度为半径，P为圆心画圆，交弧PP于点。，连接尸Q,交于原

来的圆。于点。，点。即为切点（中位线能证明8是半径且垂直P。）.

圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型.

【例题精析9】（2021•嘉峪关）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数

学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知A3,C是弦A3上一点，请你根

据以下步骤完成这个引理的作图过程.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段AC的垂直平分线DE,分别交A8于点。，AC于点E,连接4%CD；

②以点。为圆心，A4长为半径作弧，交A8于点尸（尸，A两点不重合），连接£尸，BD,

BF.

（2）直接写出引理的结论：线段BC,8尸的数量关系.

【分析】（1）①根据要求作出图形即可.

②根据要求作出图形即可.

（2）证明ADF8三ADC8可得结论.

【解答】解：（1）①如图，直线DE,线段4）,线段C£>即为所求.

②如图，点F,线段C£>,BD,即即为所求作.

（2）结论：BF=BC.

理由：OE垂直平分线段AC,

DA=DC，

ZDAC=ZDCA,

AD=DF,

:.DF=DC,AD=DF,

:.NDBC=/DBF,

ZDFB+ZmC=180°.ZDCB+ZDCA=\80°,

:.ZDFB=ZDCB,

在ADFB和AOCB中，

"DFB=NDCB

-NDBF=NDBC,

DF=DC

ADFB=M）CB（AAS）,

：.BF=BC.

【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质,

圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，正确寻找全等三角形解决问题.

【例题精析10]（2021•重庆）如图，在.45C£）中，AB>AD.

（1）用尺规完成以下基本作图：在上截取越，^.AE=AD-,作的平分线交Afi

于点尸.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，连接/圮交CF于点P,猜想ACDP按角分类的类型，并证明

你的结论.

【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形；

（2）根据平行四边形的性质得到Afi//C£>,AD!IBC,贝UNCE>E=NAED,

ZADC+ZBCD=180°,再证明^CDE=-ZADC,ZFCD=-ZBCD,从而得到

22

ZCE>£+ZFCZ）=90°,于是可判断ASP为直角三角形.

【解答】解：（1）如图，AE.CF为所作；

（2）ACDP为直角三角形.

证明：四边形A8CZ）为平行四边形，

.-.AB//CD,AD//BC,

NCDE=ZAED,ZA£>C+ZBCD=180°,

AD=AE,

:.ZADE^ZAED,

:.ZADE=ZCDE,

NCDE=ZADE=-ZADC,

2

CF平分NBCD,

ZFCD=-ZBCD,

2

/.NCDE+ZFCD=90°,

:.ZCPD^90°,

；.ACDP为直角三角形.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般

是结合了儿何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形的性

质.

【例题精析11]（2020•昆明）如图，点P是。的直径A3延长线上的一点（P8<O8）,

点E是线段O尸的中点.

（1）尺规作图：在直径A3上方的圆上作一点C,使得EC=£P,连接EC,PC（保留清

晰作图痕迹，不要求写作法）；并证明PC是的切线；

（2）在（1）的条件下，若BP=4,EB=\,求PC的长.

BP

【分析】（1）利用尺规作图：以点E为圆心，EP长为半径画弧，在直径AB上方的圆上交

一点C,再根据已知条件可得OE=EC=£P,根据三角形内角和可得NECO+NECP=90。，

进而证明PC是:_O的切线；

（2）在（1）的条件下，根据8P=4,EB=\,可得"的长，进而可得半径，再根据勾股

定理即可求PC的长.

【解答】解：（1）如图，点C即为所求；

证明：连接OC,

点E是线段OP的中点，

:.OE=EP,

EC=EP,

:.OE=EC=EP,

:.ZCOE=ZECO,ZECP=ZP,

ZCOE+AECO+AECP+ZP=180°,

:.ZECO+ZECP=90P,

.-.OCrPC,且OC是。的半径，

:.PC是_O的切线；

(2)BP=4,EB=1,

OE=EP=BP+EB=5,

..OP=2OE=10,

:.OC=OB=OE+EB=6,

在RtAOCP中，根据勾股定理，得尸C=J。尸-OC?=8.

则PC的长为8.

【点评】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、切线的判定与性质，解决本

题的关键是掌握切线的判定与性质.

更月支树林

【对点精练1】（2020•咸宁）如图，在「438中，以点5为圆心，54长为半径画弧