一次函数常考解答题

一次函数常考解答题

一.解答题(共15小题)

1.一次函数)“=依+6和*=-4)+a的图象如图所示，且A(0,4),C(-2,0).

(1)由图象可知不等式依+bV0的解集是；

(2)若不等式区+b>-4x+a的解集是x>l,求点8的坐标.

2.如图，四边形O4BC是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△OOE是△0C5绕点。顺

时针旋转90°得到的，点。在x轴上，直线5。交y轴于点尸，交OE于点H,点4的

坐标为(-2,4).

(1)求直线BD的表达式；

(2)求△。以7的面积；

(3)点M在x轴上，平面内是否存在点N,使以点。、F、M、N为顶点的四边形是矩

形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，将矩形纸片04BC放在平面直角坐标系中，。为坐标原点.点A在y轴上，点C

在x轴上，。408的长是I6x+6O=O的两个根，P是边A8上的一点，将△OAP沿

0P折叠，使点A落在08上的点Q处.

(1)求点B的坐标：

(2)求直线。。的解析式；

(3)点M在直线0尸上，点N在直线尸。上，是否存在点M,N,使以4,C.M,N为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0,4）,点B、C都在x轴上，BC=\2,AD//BC,

CD所在直线的函数表达式为）=・x+9,E是的中点，点P是8c边上一个动点.

（1）当P8=时，以点P、A、。、E为顶点的四边形为平行四边形；

（2）点P在4C边上运动过程中，以点P、A、。、E为顶点的四边形能否构成菱形？试

5.如图，已知函数），="1的图象与y轴交于点A,一次函数y=^+b的图象经过点5（0,

-1）,与工轴以及y=x+l的图象分别交于点GD,且点。的坐标为（1,〃）.

⑴则k=,b=,n=；

（2）求四边形AOC。的面积；

（3）在x轴上是否存在点P,使得以点P,C,。为顶点的三角形是直角三角形，请求

出点P的坐标.

6.如图，在平面直角坐标系中，直线八：），=-上+4分别与x轴，y轴交于点B,C.直线

h：y=-=-

3

（1）直接写出点B,C的坐标：B,C.

（2）若Q是直线上上的点，且4。。。的面积为6,求直线8的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，且当点。在第一象限时，设P是射线CD上的点，在平面内存

在点Q.使以O,C,P,。为顶点的四边形是菱形，请直接求点。的坐标.

7.在平面直角坐标系中，直线I1：y巫x+4与1轴，＞,轴相交于人、B两点，直线

3

：yf6x+6与工轴、y轴相交于C、。两点，与直线/|交于点£

（1）求七点的坐标；

（2）在直线CQ上是否存在一点P,使得△附。的面积等于△5QE面积的2倍.若存在,

求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）作点。关于直线C。的对称点0：点M为宜线8上一动点，在y轴上是否存在

一点M使得△MNO是以M为直角顶点的等腰直角三角形.若存在，请直接写出M点

8.如图，四边形0ABe是矩形，点A、C在坐标轴上，△。。上是由AOCB绕点0顺时针

旋转90°得到的，点。在x轴上，直线BO交），轴于点F,交0E于点H,线段BC、0C

的长是2和4；

（1）求直线8。的表达式；

（2）求△OF”的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N,使以点。、尸、M、N为顶点的四边形是

9.在直角坐标系中，直线八：），=-%+4与4轴、y轴分别交于点4,点8.直线/2：y

=nix+m（;n>0）与x轴，y轴分别交于点。，点。，直线1\与11交于点E.

（1）若点E坐标为（2,〃）.

3

i）求加的值;

ii）点P在直线/2上，若SMEP=3SABDE,求点P的坐标；

（2）点尸是线段CE的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点尸使aOFG为以尸。为

直角边的等腰直角三角形.若存在，求出〃?的值，若不存在，请说明理由.

10.如图，直线），=履+方经过点A（号，0），点8（0,25）,与直线了4%交于点。，点O

为直线AB上一动点，过D点作x轴的垂线交直线OC于点E.

（1）求直.线AB的表达式和点C的坐标;

（2）当DEN~OA时，求△CDE的面积；

3

（3）连接OD,当△OA。沿着OO折叠，使得点A的对应点A落在直线OC上，直接写

出此时点D的坐标.

11.如图，在平面直角坐标系xQy中，直线），=・x+4分别交工轴，），轴于点4,B,点。在

x轴的负半轴上，且0C=2QB,点P是线段上的动点（点P不与B,C重合），以

2

BP为斜边在直线BC的右侧作等腰RtABPD.

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）如图1,当S^BPD=—S^ABC时，求点P的坐标：

5

（3）如图2,连接AP,点七是线段4P的中点，连接OE,0D试探究NODE的大小

是否为定值，若是，求出NODE的度数；若不是，请说明理由.

12.已知，在平面直角坐标系xQy中，直线1：y二~x+3交工轴于点4，B两点，直线/2：

14

、=区+8交x轴于点C,。两点，已知点C为（2,0）,。为（0,6）.

（1）求直线/2的解析式.

（2）设/1与/2交于点石，试判断△4CE的形状，并说明理由.

（3）点P,。在△ACE的边上，且满足△OPC与△OP。全等（点。异于点C）,直接写

出点。的坐标.

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点4（4,2）在正比例函数），=〃比（机W0）的图象

上，过点A的另一条直线分别交工轴，y轴的正半轴于点8,C.

（1）求机的值；

（2）若SAOBC=3S&OAB.

①求直线A8的解析式；

?

②动点P在线段0A和射线AC上运动时，是否存在点P,使得SAQpcU-SA0AC若存

在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，直线八：5=h+1与X轴交于点。，直线拉：y=-X+方与X轴交于点4,且经过

定点8（・1,5）,直线/1与/2交于点C（2,用）.

（1）填空：k=；b=；m=；

（2）在x轴上是否存在一点E,使aBCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若

不存在，请说明理由.

（3）若动点P在射线OC上从点。开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP,设点P

的运动时间为，秒，是否存在I的值，使△ACP和△AOP的面积比为1：2?若存在，直

接写出I的值；若不存在，请说明理由.

15.如图1,在平面直角坐标系火力中，点0是坐标原点，直线AB：丁=履+旦与直线AC：

y=-2x+A交于点4,两直线与x轴分别交于点B(・3,0)和C(2,0).

(1)求直线4B和AC的表达式.

(2)点P是)，轴上一点，当朋+PC最小时，求点尸的坐标.

(3)如图2,点。为线段BC上一动点，将沿直线翻折得到△AOE,线段AE

交x轴于点F,若△。石户为直用三角形，求点。坐标.

图1

图2备用图

一次函数常考解答题

参考答案与试题解析

一.解答题（共15小题）

1.一次函数yi=Ax+b和*=-4x+a的图象如图所示，且A（0,4）,C（-2,0）.

（1）由图象可知不等式米+6V0的解集是4・2；

（2）若不等式-4x+〃的解集是x>l,求点8的坐标.

【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式依+力>0的解集；

（2）①由题意可以求得&、b的值，然后将x=l代入川=区+6即可求得点8的坐标；

②根据点B也在函数中=-4x+a的图象上，从而可以求得。的值.

【解答】解：（1）V4（0,4）,C（-2,0）在一次函数户=日+人上，

・•.不等式kx+b>0的解集是x>-2,

故答案为：x>~2；

（2）①・・・A（0,4）,C（-2,0）在一次函数），1=履+5上，

・・・尸，得产

I-2k+b=0Ib=4

・•.一次函数y1=2r+4,

,:不等式kx+b>-4x+a的解集是x>L

・••点8的横坐标是x=l,

当x=l时，yi=2X1+4=6,

，点3的坐标为（1,6）.

【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明

确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

2.如图，四边形0A8C是矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，△。力E是△OCB绕点。顺

时针旋转90°得到的，点。在x轴上，直线交y轴于点F,交OE于点H,点B的

坐标为（・2,4）.

（1）求直彼BD的表达式:

（2）求的面积;

（3）点M在x轴上，平面内是否存在点M使以点。、尸、M、N为顶点的四边形是矩

形？若存在，请直接写出点N的坐标：若不存在，请说明理由.

【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得点。坐标,再利用待定系数法求直线RD

的表达式即可;

1

y=yx

（2）先利用待定系数法求出直线0E的解析式，再联立《，求出点〃坐标,

28

F7

再根据△OE"的面积=』^E・HG求解即可;

2

（3）先求出点尸坐标，以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：①当

尸。是矩形的对角线时，②当FD为矩形的边时，分别求出点M的坐标，根据平移的性质

即可确定点N坐标.

【解答】解：（1）在矩形A8C。中，NOC4=90°，

・・•点5坐标为（-2,4）,

，OC=4,BC=2,

根据旋转的性质可得，0D=0C=4,DE=BC=2,/ODE=NOCB=90°

・••点。坐标为（4,0）,点E坐标为(4,2),

设直线8。的解析式为y=h+力（攵W0,匕人为常数）,

代入点8（-2,4）,点。（4,0）,

得卜2k+b=4,

4k+b=0

3

・,・直线BD的解析式为y=《x+|：

设直线OE的解析式为CnWO.相为常数）.

代入点E（4,2）,

得4m=2,

解得m=l,

2

直线OE的解析式为y=lx,

1

联立《

28'

Tx4T

16

解得

8，

yy

・•.点H坐标为（生，旦）

77

，”G=4-西=£

77

•:DE=2,

:・4DEH的面积=9证・*/X2乂券=多

乙乙II

（3）存在点N,点N坐标为（4,1）或（空，-1）,理由如下:

393

当x=0时，丫=」_犬金=@,

y333

・・・点尸坐标为（0,旦），

3

以点。、F、M、N为顶点的四边形是矩形，分情况讨论:

①当尸。是矩形的对角线时，如图所示：

点坐标为（4,—）；

3

②当尸。为矩形的边时，如图所示:

设OM=m,

在RgOMF中，根据勾股定理，得MF2=IR2+吗~）2,

；DF2=42+（当），M尸=4+〃?，

在中，根据勾股定理，得M尸+。尸=。加2,

•**m2+（-|-）2+42+（y）2=（m+4）2,

解得加=西，

9

・••点M坐标为（-凶，0）,

9

根据平移的性质，可得点N坐标为（9，-1）,

93

综上所述，点N坐标为（4,1）或（殁，-1）.

393

【点评】本题考查了一次函数的综合题，涉及待定系数法求解析式，旋转的性质，矩形

的性质，三角形的面积，存在性问题等，本题综合性较强，难度较大.

3.如图，将矩形纸片Q4BC放在平面直角坐标系中，0为坐标原点.点A在y轴上，点C

在x轴上，0A,。8的长是16彳+60=0的两个根，P是边AB上的一点,将△OAP沿

0户折叠，使点A落在08上的点Q处.

（1）求点8的坐标；

（2）求直线PQ的解析式；

（3）点M在直线0P上，点N在直线尸Q上，是否存在点M,N,使以4,C.M,N为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）由f・16x+60=0得04=6,08=10,在中，^=7oB2-OA2

=8,故8（8,6）；

（2）过。作QG_LAB于G,交OC于”，根据将△OAP沿0P折叠，使点4落在0B

上的点。处，可得BQ=OB-0Q=4,设4P=QP=x,有f+42=（8-x）2,解得4P

=PQ=3,BP=8-x=5,知尸（3,6）,用面积法可得。6=9辿=卫，用勾股定理

BP5

得PG=1PQ2_QG2=9,即可得。（2£2&）,再用待定系数法即得直线PQ解析式

555

为），=--x+10：

3

（3）由尸（3,6）得直线0P解析式为y=2x,设M（机，2.），N（〃，-争+10）,分

tn+n=0+8

三种情况：①若MMAC为龙角线，则MMAC的中点重合，A，②

2m飞n+10=6+0

m+0=n+8

若M4,NC为对角线，则M4,NC的中点重合，4，③若MCNA为

2m+6=—^-n+10+O

m+8=n+0

对角线，则MC,NA的中点重合，|4，分别解方程组可得答案.

2m+0=—^n+10+6

【解答】解：(1)由，-16x+60=0得x=6或x=10,

；・0A=6,08=10,

•・•四边形OA8C是矩形，

：.ZOAB=90°,

在RIZXA08中，AB=7OB2-0A2=7102-62=8,

：.B(8,6)；

(2)过。作QG_L48于G,交0C于〃，如图：

•・•将AOAP沿。尸折叠，使点A落在08上的点。处，

，NOQP=NQ4P=90°=/BQP,AP=QP,0Q=0A=6,

：.BQ=OB-0。=10-6=4,

设AP=QP=x,贝lj4P=A8-4P=8-x,

在RtZXBPQ中，PgBd=B»,

.,.^+42=(8-x)2,

解得x=3,

・・・AP=PQ=3,BP=S-x=5,

：.P(3,6),

YIS^BPQ=BP*QG=PQ*BQ,

・C「_PQ・BQ_3X4_12

••C/w—,1一，-1'»

BP55

,PG=JPQ2_QG2=括—导2="1,

VD0

:.AG=AP+PG=21,

5

•：/HGB=/ABC=/BCO=90°,

・•・四边形G8C”是矩形，

：.GH=BC=OA=6,ZGHC=90°,

：.QH=GH-QG=6-卫=四，

55

：.Q（空，殁）,

55

些）代入得:

5

r3k+b=6

<24,,18，

IVk+b=T

解得K3,

b=10

，直线尸。解析式为y=-g计10：

（3）存在点M,N,使以A,C.M,N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

由（2）得P（3,6）,直线PQ解析式为丁=・£+10,

••・直线0P解析式为），=2%,

设M（w,2机），N（〃，・9〃+10）,

又A(0,6),C(8,0),

①若MMAC为对角线，则MMAC的中点重合,

m+n=0+8

**•4，

2m-^n+10=6+0

m=2

n=6

:・N(6,2)；

②若M4,NC为对角线，则M4,NC的中点重合,

m+0=n+8

4>

2m+6=—^-n+10+0

解得＜

74);

③若MC,NA为对角线，则MC,NA的中点重合，

m+8=n+0

••,4»

2m+0=—^-n+10+6

解得3

n-5

・・・N（组-B）；

55

综上所述，N的坐标为（6,2）或（-」邑，=1）或（壁，-11）.

5555

【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，一元二次方程，平行四边形

等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用.

4.如图.在平面百角坐标系中,已知4（0.4）,点山。都在x轴卜，RC=U,AD//RC,

CD所在直线的函数表达式为）=-x+9,E是的中点，点尸是8C边上一个动点.

（1）当PB=1或11时,以点P、A、。、E为顶点的四边形为平行四边形；

（2）点P在8c边上运动过程中，以点P、A、D、七为顶点的四边形能否构成菱形？试

【分析】（1）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则AD=PE,有两种

情况：①当P在七的左边，利用已知条件可以求出B尸的长度；②当尸在E的右边，利

用已知条件也可求出8P的长度；

（2）以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形.由（1）知，当B尸=11时，以点P、

A、。、E为顶点的四边形是平行四边形，根据已知条件分别计算一组邻边，证明它们相

等即可证明是菱形.

【解答】解：（1）・・・AO〃BC,点A坐标是（0,4）,CO所在直线的函数关系式为y=・

工+9,

点的纵坐标为4,y=4时，4=-x+9,x=5,

，力点的横坐标为5,

：.D(5,4),

TCD所在直线的函数关系式为y=-x+9,,=0时，0=-x+9,x=9,

AC(9,0),

・・・OC=9,

作DALL8c交于N,如图1所示，

则四边形04力N为矩形.

：,CN=0C-ON=OC-AD=9-5=4,DN=4,

•••△ONC为等腰直角三角形，

,CO=^42+42=4V2»

若以点P、A、。、E为顶点的四边形为平行四边形，则AO=PE=5,

有两种情况：①当P在七的左边，

YE是BC的中点，

:・BE=6,

：・PB=BE-PE=6-5=1；

②当尸在E的右边，

PB=BE+PE=6+5=\1；

故当P8=l或11时，以点P、A、。、E为顶点的四边形为平行四边形，

故答案为：1或II；

(2)点P在5c边上运动过程中，以点P、4、。、E为顶点的四边形能构成菱形，理由

如下：

①当BP=1时，此时CN=DN=4,NE=6-4=2,

・・・力£：=山川2+/=3+22=2仁50，

故不能构成菱形.

②当3P=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形,

：.EP=AD=5,

**•£)7)=VDN2+NP2=V42+32=5,

：.EP=DP=AD=5,

故此时平行四边形PDA月是菱形.

即以点P、A、。、E为顶点的四边形能构成菱形.

【点评】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、平

行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思

想思考问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.

5.如图，已知函数)，=x+l的图象与y轴交于点A,一次函数y=Ax+b的图象经过点8(0,

-1),与x轴以及y=x+l的图象分别交于点C,D,且点。的坐标为(1,〃).

(1)则■=3,b=-1,n=2；

(2)求四边形AOCD的面积；

(3)在x轴上是否存在点P,使得以点P,C,。为顶点的三角形是直角三角形，请求

出点尸的坐标.

【分析】(1)由条件求得C、。的坐标即可求得答案；

(2)由A、B、C、D的坐标可求得△48。和△OBC的面积，利用S^AOCD=SAABD

-可求得答案；

(3)可设P(x,0),表示出PC.PD和CD的长，分NPDC=90°和ND尸。=90°两

种情况，利用勾股定理可得到关于％的方程，可求得P点坐标.

【解答】解：(1)丁点。在直线y=x+l上，

.*.«=1+1=2,

：.D(I,2),

•・•一次函数y="+6的图象经过点B(0,-1)和点0(1,2),

*=-1,

lk+b=2

解得(k=3,

Ib=_l

故答案为：2；3；-1；

(2)在y=x+l中，令x=0可得y=l,

・"(0,1)

由(1)可知一次函数解析式为y=3x・1,

令)，=0,可求得x=2，

3

:.c(A,o),

3

VB(0,-1),D(1,2),

：.AB=2,OC=A,08=1,

3

，S四边形AOCD=SaA8£>-SA6>SC=—X2X1-Ax1X■！=■§■；

2236

(3)如图2所示，设尸(p,U),

:,pd=(p-A)2,

3

P£>2=22+(p-1)2,

CD1=21+(1-A)2,

3

分两种情况考虑：

①当尸'O_LDC时，P'd=P'Dr+CD1,

:.（p~-）2=22+（p・1）2+22+（1-A）2,

33

・・・p=7,

：.P'（7,0）；

②当。P_LCP时，由。横坐标为1,得到P横坐标为1,

•・•尸在x轴上，

・•・？的坐标为（1,0）,

综上，尸的坐标为（1,0）或（7,0）.

【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点、

三角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识.在（1）中注意函数图象与

坐标轴的交点的求法，在（2）中求得和△08C的面积是解题的关键，在（3）中

设出尸点坐标表示出尸。、尸。的长是解题的关键，注意分两种情况.本题考查知识点较

多，综合性较强，难度适中.

6.如图，在平面直角坐标系中，直线A：丁=-*+4分别与式轴，y轴交于点8,C.直线

出y=%

（1）直接写出点3,C的坐标：B（8,0）,C（0,4）.

（2）若。是直线/2上的点，且△COO的面积为6,求直线CO的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，且当点。在第一象限时，设P是射线CD上的点，在平面内存

在点。.使以。，C,P,。为顶点的四边形是菱形，请直接求点。的坐标.

【分析】（1）对于直线/i解析式，分别令X与y为。求出y与工的值，确定出C与8的

坐标，联立两直线解析式求出A的坐标即可；

（2）由三角形的面积公式可求点O坐标，由待定系数法可求解析式；

（3）分0C为边和0C为对角线两种情况讨论，由菱形的性质和两点距离公式可求解.

【解答】解：（1）•・》=・*+4分另ij与x轴、y轴交于点氏C,

・••点C坐标为（0,4）,点B坐标为（8,0）,

故答案为:（8,0）,（0,4）；

（2）设点。坐标为（x,工），

3

••,△COO的面积为6,

.\JLX4X|x|=6,

2

±3,

・•・点。（3,1）或（-3,-I）,

当点。的坐标是（3,1）时，

设直线8解析式为：〉=履+4,

・•・1=32+4,

：.k=-1,

・•・直线CD解析式为：y=-x+4；

当点。的坐标是（-3,-I）,

同理可得：CO的表达式为：尸与+4；

3

综上，直线CD解析式为：y=-x+4或y=—x+4；

3

(3)若以OC为边，设点P(a,-G+4)(a20),

如图,

・・・0C=CP=4,PQ//OC,尸。=。。=4,

・•・4=Va2+（-a+4-4）2,

.*.a\=2^/2,a2=-2^2（不合题意,舍去），

工点P（2加，4-2扬，

，点。（2心-2扬；

当四边形OCQ户是菱形，

AOC=OP'=4,P'。=0。=4,P'QV/OC,

・.•直线CD解析式为：y=-x+4,

，直线。。与x轴交点坐标为（4,0）,

，点P坐标为（4,0）,

:・/COP'=90°,

・•・四边形OCQ户为正方形，

此时0'P'=OP'=OC=4,

，点。'（4,4）；

・・・CO与尸〃Q”互相垂直平分,

・••点P"的纵坐标为2,

.,.点P"(2,2),

・,•点Q"坐标为(・2,2)；

综上所述：点。的坐标为(・2,2)或(4,4)或(2近，-2A/2).

【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系

数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，

坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

7.在平面直角坐标系中，直线I1：应x+4与“轴，)'轴相交于A、B两点，直线

1：了=百x+6与“轴、y轴相交于,、。两点，与直线/i交于点£

乙

(1)求E点的坐标；

(2)在直线CO上是否存在一点尸，使得△必C的面积等于△灰无血枳的2倍.若存在，

求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)作点0关于直线CO的对称点O',点M为直线CO上一动点，在y轴上是否存在

一点M使得△MNO,是以M为直角顶点的等腰直角三角形.若存在，请直接写出M点

的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)

因为S.E卷BD,|XEKX2X拜好SAPAC=2SABDE=2>/3>而

SAPAc4ACilypH即可求解；

(3)当点M在。'N的上方时,求出点0'(-3<§,3),证明△A/GO'0△N7M(A4S),

得到MT=G。'，即-m=“m+3,即可求解；当点M在。'N的下方时，同理可解.

v=------x+4

【解答】解：（1）联立AB、CD解析式，'3

y=V3x+6

解得：（x=W5,

y=3

・••点E的坐标为：（-3）；

（2）.・'直线I］：y-芯x+4与x轴，丁轴相交于A、8两点,

3

AA（-4V3,0）,B（0,4）,

•直线】2：y=V§x+6与x轴、y轴相交于。、D两点,

AC（-2V3,0）,D（0,6）,

S

,ABDEIxEI=yX2xV3=V3>

一^APAC=2S/^BDE二W^，

又'&PAC卷AC,|yp|，

；・yp=±2,

・・・P（专历，2）或（・乎，・2）；

（3）当点M在O'N的上方时，

由直线CO的表达式知，tan/DCO=J§,

则NOCO=60°，NCOO=30°，

,：CD±Of。交CO于点R,则NRCO=30°,

由（2）知，CO=2“，OD=6,

设CR=ko=y,

2

由勾股定理得：0R=3,则00'=6,

过点M作M7\Ly轴于点。过点0'作O'”_Lx轴于点H,交7M于点G,

则0,H=1OO'=3,同理可得：H0=-3“，

2

即点。'(-3近，3),

设点M的坐标为：(〃i,

••'△O'MN为等腰直角三角形，则NO'MN=90°,MN=M0‘，

VZGMO'+NTMN=90°,ATMN+ZMNT=W,

AAGMO'=NTMN,

VZ.MGO'=NN7M=90°,MN=M0',

・•・△MG。'迫ANTM(A45),

・・・MT=G0'，

即-6=

解得：〃?=2z还

2

-3^+33+3V3_s

则点H（・-2-'-"-)'

2

当点M在O'N的下方时，

同理可得，点H（筲,*巨）；

综上，从（W2弊，头应）或H（第基3+3^3

乙乙乙2

【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等二角形的性质，等腰三

角形的性质等，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键.

8.如图，四边形0A8C是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是由AOCB绕点0顺时针

旋转90°得到的，点。在x轴上，直线8。交），轴于点R交0E于点“，线段BC、0C

的长是2和4；

（1）求宜线8。的表达式；

（2）求△0切的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N,使以点。、F、M、N为顶点的四边形是

矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

【分析】（1）根据旋转的性质求出O点坐标，根据矩形的性质求出B点坐标，再用待定

系数法求函数的解析式即可；

（2）分别求出尸（0,1）,E（4,2）,先确定直线OE的解析式，从而求出“点坐标，

3

再求△0777的面积即可；

（3）分三种情况讨论：当M点在工轴负半轴上时，知（・西，0）,再由尸点平移到M

9

点，。点平移到N点，求出N（里，・@）；当M点在y轴负半轴上时，M（0,-6）,

93

再由。点平移到M点，尸点平移到N点，求出N（-4,-曲）；当M点与原点重合时，

3

此时FD为矩形的对角线，N（4,

3

【解答】解：（1）:四边形。ABC是矩形，8c=2,OC=4,

:・B(-2,4),

:△OOE是由AOCB绕点O顺时针旋转90°得到的,

：.OD=OC=4,

：.D(4,0),

设直线BD的解析式为y=kx+b,

.f4k+b=0,

1-2k+b=4

解得［3,

吟

・•・直线BD的解析式为尸-2r+@；

33

(2)•・•直线BD的解析式为y=-2x+8,

33

：.F(0,旦)，

3

TAOCB是矩形，

：.AO=BC,AB=CO,

:•△ABO妾MOBCSSS),

由旋转可知，△ODE%AOCB.

:.△ABO@XDOE,

：,ED=AO=2,

：.E(4,2),

・•・直线OE的解析式为j=-lx,

当工=-21+@时，x=—,

2337

（3）存在点N,使以点。、AM、N为顶点的四边形是矩形，理由如下:

当M点在x轴负半轴上时，

•；MFLFD,FO±MD,

：.FO1=MO*DO,即（@）2=4MO,

3

解得。例=凶，

9

：.M（■也0）,

9

•••厂点平移到M点，。点平移到N点，

.•・N（皎，-@）；

93

当M点在），轴负半轴上时，ON=MO・FO,即42=电0,

解得MO=6,

：.M（0,-6）,

・・・。点平移到M点，尸点平移到N点，

：.N（-4,-西）；

3

当“点与原点重合时，此时如为矩形的对角线,

:・N(4,6);

3

综上所述：N点坐标为（毁,

【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，矩形的性

质,平移的性质,二角形全等的判定及性质.二角形旋转的性质是解题的关键.

9.在直角坐标系X。），中，直线八：y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A,点B.直线/2：y

=nix+m（m>0）与x轴，y轴分别交于点C,点D,直线1\与11交于点E.

（1）若点E坐标为（2,加.

3

i）求机的值；

ii）点P在直线/2上，若SMEP=3S4BDE,求点P的坐标；

（2）点尸是线段CE的中点，点G为y轴上一动点，是否存在点尸使ACPG为以FC为

直角边的等腰直角三角形.若存在，求出〃?的值，若不存在，请说明理由.

【分析】（1）i）待定系数法即可求解；

ii）当点P在A8下方时，取AM=/z,作直线，〃48,过点A作AM_L/于点过点M

作MN_Lx轴于点M则直线/和直线C。的交点即为点P,进而求解，当点P在上方

时，同理可解：

（2）证明△尸（AAS）,得到即可求解.

【解答】解：（1）当x=2时，7=/4=凶，即点Z?（2,蛇），

3333

i）将点E的坐标代入y=mr+“2得：芈=〃？（1+2）,

33

解得：，〃=2；

ii）由点3、D、E的坐标得：8。=2,m=2,

3

贝ij3s△8DE=3X_1X2X2=2=S.AEP,

23

由A、E的坐标得：.石=］（」产+（此）2=,

V333

设△雨E的底边AE上的高为/>,

贝I」S△用E=Lx4E・〃=上又独巨h=2,

223

解得：人

5V2

由直线A8的表达式知，04=08=4,则N84C=45°,

取AM=/?,作直线/〃AB,过点A作4A/_U于点M,过点M作朋N_Lx轴于点M则直

线/和直线C。的交点即为点P,

则RtZXAMN为等腰直角三角形，则MN=®AM=^h=S=AN,

225

则点M（卫，一旦），

55

设直线I的表达式为：y=-x+r,

将点M的坐标代入上式并解得：士，

5

则直线I的表达式为：y=-士，

5

_4

x~15

联立直线/和y=2r+2并解得：,

38

y=15

即点P的坐标为（'，幽）；

1515

当点尸在直线AB上方时，同理可得：点尸（西，丝）;

1515

综上，点P的坐标为：（/-,毁）或（区，理）；

15151515

（2）存在，理由：

设点E（小-〃+4）,则点尸（二11,生R）,

22

过点尸分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M、N,

•••△CFG为以尸C为直角边的等腰直角三角形，则FC=FG,ZGFC=90°,

•：NNFG+NGFM=90°,NGFM+NMFC=90°,

ANNFG=NMFC,

°；NFNG=NFMC=90°,FC=FG,

:,丛FNG在丛FMC（A4S）,

:,FN=FM,

即I庄1产生L

22

解得：刀=互,

2

则点E（立，旦），

22

将点E的坐标代入y=nvc+m并解得：加=擀.

【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰百角三角形的

性质、三角形全等，面积的计算等，分类求解是本题解题的关键.

10.如图，直线），=履+5经过点A（号，0）,点5（0,25）,与直线了4％交于点C,点。

为直线AB上一动点,过。点作工轴的垂线交直线OC于点E.

（1）求直线A3的表达式和点C的坐标；

(2)当DEN~OA时，求的面积；

3

(3)连接0。，当△OAO沿着折叠，使得点A的对应点4落在直线0C上，直接写

出此时点。的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法求出&与瓦确定出直线解析式，与直线0C联立求出C

坐标即可；

(2)设。的横坐标为小，代入直线AB与直线0C解析式表示出/)与E的纵坐标，进而

表示出OE的长，求出0A的长，根据DE=2LOA求出m的值进而求出三角形COE面积