专题训练21：三角形-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求

2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练21：三角形(含答案)

一、知识要点：

1、三角形的基本概念

(1)三角形的概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

(2)三角形的分类

①按边之间的关系分：

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；

有两边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都相等的三角形叫做等边三角形。

②按角分类：

三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

(3)三角形的三边之间的关系

三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

(4)三角形的高、中线、角平分线

(5)三角形的稳定性

(6)三角形的角

①三角形的内角和等于180°。

推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。

②三角形的外角

定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的外角和等于360°。

2、特殊三角形

(1)等腰三角形

①等腰三角形的性质

等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)。

②等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)。

(2)等边三角形

①等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。

②等边三角形的判定

三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

(3)直角三角形

①在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

②勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么才+方2"20

③勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足才+所=邕那么这个三角形是

直角三角形。

二、课标要求：

1、理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。

2、探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的

两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。

3、了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角

相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个

角相等的三角形是等腰三角形。

4、探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60。，及等边三角形的判定

定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。

5、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐

角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角

形。6、探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

三、常见考点：

1、三角形的概念、三边关系、内角和、外角与内角的关系、稳定性。

2、三角形的高、中线、角平分线及对应的性质。

3、等腰三角形的性质及判定，等边三角形的性质及判定。

4、直角三角形的概念、性质，勾股定理及其逆定理。

5、三角形相关性质的综合应用。

四、专题训练：

1.如图，在a1中，已知点〃，E,b分别是8GAD,四的中点，且△4%的面积为16,

A.2B.4C.6D.8

2.如图，在△48C中,AC=3,BC=4,AD.ABE,若49：勿=2：1,BOt0E=2：1,那么4?

的长为（）

A.5/5B.5C.V?D.V6

3.长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不

允许折断），得到的三角形的最长边长为（）

A.4B.5C.6D.7

4.将一副三角板如图放置，使点4在原上，BC//DE,则N45的度数为（）

5.将一副三角尺按如图摆放，点后在“1上，点〃在比1的延长线上，EF//BC,£B=£EDF

=90°,N/=45°,ZF=60°,则/6E9的度数是（）

6.如图，曲交"'于点物交此'于点〃，四交元于点儿NQN尸9=0°,ZB=NC,AE

=AF,给出下列结论：其中正确的结论有（）

①N1=N2；②BE=CF；③倒/；④CADN；⑤△4%%

A.2个B.3个C.4个D.5个

7.如图，ABLCD,且46=缪，E,尸是49上两点，CELAD,BFLAD.若位=4,BF=3,EF

A.3B.5C.6D.7

8.如图，在四边形4?（力中，/4=90°,444,连接BD,BDLCD,NADANC.若P是

8C边上一动点，则加长的最小值为（）

B.3C.2D.1

9.在△48C中，点弘/V分别是边4c和及7的中点，△（：,邮的面积等于1,则四边形网砌的

面积是.

10.如图，已知点尸是△49C的重心，连接跖并延长，交4C于点后连接⑦并延长，交

AB于点、过点尸作收7〃8G交力C于点G.设三角形储G四边形儆K的面积分别为

11.在中，48=4,Z（^=60°,ZA>ZB,则a'的长的取值范围是

12.在中，Z/f=50°，Z5=30°，点〃在46边上，连接劈，若△4切为直角三角

形，则/及笫的度数为度.

13.如图，在a中，/6=30°,AB=AC,。是两条对角线的交点，过点。作4c的垂线

分别交边/〃，比1于点£,A点"是边的一个三等分点，则必1与监■的面积比

为.

14.中，/8=/。=12厘米，/B=/C,a-9厘米，点〃为的中点.如果点〃在

线段8c上以-厘米/秒的速度由6点向。点运动，同时，点0在线段CA上由C点向A点

运动.若点0的运动速度为3厘米/秒，则当△初9与△加全等时，/的值为.

15.如图，正方形网格中，点4B,C,〃均在格点上，则/力办/眩C=

16.如图，在△/8C中，/〃是应'边上的高，应是“1边上的高，且/〃，应1交于点尸，若跖

17.在△/%中，AB.BC、〃1三边的长分别为JI5、遥、后，求这个三角形的面积.小

华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中

画出格点△4K(即△/式1三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需要求

△力弘的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法.

(1)△力肥的面积为：

(2)若△麻三边的长分别为后、2代、729,请在图①的正方形网格中画出相应的4

DEF,并利用构图法求出它的面积.

(3)利用第(2)小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区4?以印被分割成7

个部分，其中正方形/I用火，CDRQ,分叼?的面积分别为13,20,29,且△/W、XBCQ、△颂、

△加方的面积相等，求六边形绿化区"成泥尸的面积.

18.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2如图，在△■中，D,6分别是边阳4?的中点，AD,"相交于点G,求证：毁=毁

CEAD

=工

~3

证明：连结被

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

结论应用：在口被力中，对角线4G劭交于点。，K为边a'的中点，AE、加交于点五

(1)如图②，若口力及力为正方形，且/Q6,则/1的长为.

(2)如图③，连结DE交检于点G,若四边形在次;的面积为工，则口/驱的面积为.

图①图②图③

19.(1)如图，在中，28=32°,N占68°,则N4=

(2)方程2x-1=7的根是.

20.如图，在RtZ\M?C中，N4⑦=90°,ZJ=40°,△力&'的外角NG切的平分线原交

的延长线于点E.

(1)求/颂的度数；

(2)过点〃作加〃/，交〃'的延长线于点R求/厂的度数.

21.如图(1),AB=4cm,ACLAB,BDLAB,"^切=3a».点P在线段47上以1c必/s的速

度由点4向点8运动，同时，点0在线段切上由点6向点〃运动.它们运动的时间为力

(s).

(1)若点。的运动速度与点尸的运动速度相等，当t=l时，与△药铝是否全等，请

说明理由，并判断此时线段和线段倒的位置关系;

(2)如图(2),将图(1)中的uACLAB,BDLAff,为改“NCAB=NDBA=6Q°”,其他条

件不变.设点0的运动速度为XCR/S,是否存在实数x,使得夕与△晒全等？若存在,

求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.

3•B

今P

图(1)图(2)

参考答案

1.解：如图，点尸是。■的中点,

△啊■的底是牙；△火的底是员7,BPEF=^EC,高相等;

2

S^B£F=—S^BEC>

2

同理得，S4KB=LSAMB,

22

5k«r=_

2

:,S&BEF=LS4MC,且5k械=16,

4

•'•S&BEF=4,

即阴影部分的面积为4.

故选：B.

根据三角形的重心可知：

点〃是的重心，

点以E是BC、4C的中点,

：.AE=^AC=1.

22

BD=LBC=2

2

设OD=x,则A0^2x,

设gy,则加=2y,

'：ADLBE,

...在双△/!必和RtZ\8即中，根据勾股定理，得

AG+OB=AE,加+切=加

即“+/=%)

4「+9=4②

①+②得*+/=$

4

在Rt△｛如中，

JWA02+B02=V4x2+4y2=%2+了2=遥

答：48的长为收.

故选：A.

3.解：①长度分别为5、3、4,能构成三角形，且最长边为5；

②长度分别为2、6、4,不能构成三角形；

③长度分别为2、7、3,不能构成三角形；

④长度分别为6、3、3,不能构成三角形；

综上所述，得到三角形的最长边长为5.

故选：B.

4.解：,:DE"BC,

・•・/£=/笈券=30°,

TN月%=45°,

：.ZACE=ZACB-ZECB=15°,

■:/ECD=90°,

：.ZACD=90°-15°=75°,

故选：D.

5.解：VZ^=90°,ZJ=45°,

：.ZACB=45°.

VZ^ZF=90°,ZF=60°,

：.ZDEF=30°.

,:EF〃BC,

:./EDC=/DEF=3N,

:"CED=/ACB-/EDC=45°-30°=15°.

故选：A.

6.解：・・・/£=NQ90°,NB=/C,AE=AF,

:・/\AB=/XACF(AAS),

:.BE=CF,AF=AE,故②正确，

/BAE=/CAF,

/BAE-4BAC=2CAF-NBAC,

AZ1=Z2,故①正确,

Y△ABEaIXACF,

：.AB=AC,

又/BAC=/CAB,/B=/C

△AC但△ABMQASA),故③正确，

不能证明成立，故④错误

VZ1=Z2,ZF=ZEfAF=AE,

・・・△"?，必△力£¥3%)，故⑤正确，

故选：C.

7.解：YAB1CD,CE1AD,BFVAD,

：.ZAFB=ZCED=90°,ZJ+ZZ?=90°,NGNZ?=90°,

：.ZA=ZCf•:AB=CD,

:./\AB=XCDE(A4S),

：.AF=CE=^,BF=DE=3,

,:EF=2,

：.AD=AFrDF=^(3-2)=5,

故选：B.

8.解：当〃2LBC时，ZF的长最小，

VBDLCD,

：•/BDC=9G,

VZ^=90°,4ADB=4C,ZA+ZAD^-ZASD=180°,ZBJ)C+ZOZCBD=180°,

：.ZABD=ZCBDf

VZJ=90°,

・・•当加LSC时，DP=AD,

9：AD=4,

・・・如的最小值是4,

故选：A.

9.解：:帆川分别为4G8c的中点,

...腑为△然C的中位线，

J.MN//AB,且AB=2MN,

:.△CM^XCAB,

...也晅=必』，

^ACMN瞄

•*•S2CR产4区加=4,

•*•S四边形.■m=S^CAB-5kcwv=4-1=3・

故答案为：3.

10.解：.••点尸是的重心，

:.BF=2EF,

:・BE=3EF,

YFG〃BC,

：.i\EFG^l\EBC.

S

.EF=11_z1x2=1

••西3"SAEBC59"

S：S=~^"；

8

故答案为：1.

8

11.解：作的外接圆，如图所示:

'：ABAOAABC,A5=4,

当/为C=90°时，6c是直径最长，

：/C=60°,

：.ZABC=30°,

：.BC=2AC,AB=y/3AC=4,

：.AC=^^,

3

3

当/为C=/4a'时，△胸是等边三角形，BC=AC=AB=4,

'：ZBAOZABC,

，比长的取值范围是4<6底色巨；

3

故答案为：4<8最色&.

3

①如图1,当N4T=90°时,

AZ509=90°-30°=60°；

②如图2,当折90°时，

.*.N4"=180°-30°-50°=100°,

.,.ZJ?G9=100°-90°=10°,

综上，则/腼的度数为60°或10°；

故答案为：60或10；

13.解：①当打伊=工力夕时，设AB=AC=则笈/=工〃/,

33

・・,。是两条对角线的交点，

OA=OC=—AC=—/n,

22

•・・NQ30°,AB=AC,

:"ACB=4B=M,

•：EF工AC,

1_

cosZACB=^-tBPcos30°=——,

FCFC

FC=^^-m,

3

•：AE//FC9

:./EAC=/FCA,

又Y/A0E=/C0F,AO=CO,

J△力咏△OF,

:.AE=FC=^-m,

3

26_

S^OE——OA*0E—-X—n.X,

222624

作加工比于N,

•：AB=AC,

:.BN=CN=LBC,

2

\,氏4返｛8=返必，

22

:.BF=BC-FC=Mm-返后组，

33

作MHLBC于II,

；/Q30°,

:.MH=LBM=Ln,

26

5Aw=—BF*MH=AX-^A/z/Xl-in=^-m,

223618

M2

.SAAOE24m

S2

ABMF^-M4

18

②当81/=2四时，同法可得S4AOE=3

32ABMF8

故答案为3或3.

48

14.解：中，/IQ/1C=12厘米，点〃为49的中点，

**-BL^6厘米，

若△从四△。铝，则需劭=。=6厘米，步=。上工况、=工X9=4.5（厘米）,

22

•••点0的运动速度为3厘米/秒，

...点0的运动时间为：6+3=2（s）,

-4.5+2=2.25（厘米/秒）；

若△阴屋△"»,则需g加=6厘米，BP=CQ,

.（9-vt=6

[vt=3t

解得：K=3；

・・・」的值为:2.25或3,

故答案为：2.25或3

15.解：在Rt△力EC和RtZ\ZM夕中

fAE=AD

lAC=BD

ARtAJ£6^RtAZZ45（应），

・・・/ACE=/ABD,

・・・/9力//力=90°,

：.ZEA&ZASD=90°,

：.ZAFB=90°,即NCK9=90°,

:・/ACA/BDC=9G,

故答案为90.

16.解：是比边上的高，庞1是然边上的高,

:.NADC=NBDF=NAE4M。,

：.ZDAC+ZC=9Q°，N隆NDBF=90°,

：.4DAC=ADBF,

在和△应产中，

，ZADC=ZBDF

<ZDAC=ZDBF-

AC=BF

XADC乌XBDFqAAS),

：.CD=FD=S,AD=BD=8,

,:CD=3,BD=8,

：.A/)=8,DF=3,

:"F=AD-Fg8-3=5,

故答案为：5.

17.解：(1)区械=3X3-工X3X1-LX2X1-LX3X2=3.5；

222

(2)8的=4X5-LX2X3-LX2X4-LX2X5=8；

222

(3)由(2)可知义冲=8,

...六边形花坛力戈婀的面积为：

S正方形正方胫附双+S正方彩emf"13+20+29+8X4=94.

18.教材呈现：

证明：如图①，连结

•.•在△/!比'中，D,汇分别是边a的中点，

：.DE//AC,DE=La

2

:、MDEGSMACG,

•CG=AG=AC=9

…蕊一丽一正一‘

•CG+GE-AG+GD-Q

GEGD

.空=毁=工

"CEAD~3'

结论应用：

(1)解：如图②.

•.•四边形儿?c»为正方形，《为边正的中点，对角线4G被交于点

J.AD//BC,BE=%C=LAD,BO=』D,

222

:.△BEFSXDAF,

.BF=BE=1

"DFADT

:.BF=LDF,

2

:.BF=LBD,

3

,:BO=LBD,

2

0F=OB-BF=LBD-LBD=^BD,

236

♦.,正方形/灰/中，AB=6,

:必=啦,

OF=y[2-

故答案为加；

(2)解：如图③，连接OE.

由(1)知，BF=LBD,OF=LBD,

3