动点产生的面积问题

动点产生的面积问题

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【例1】如图，在AABC中，AB=AC=10,cosB=1,D、E为线段BC上的两个动点，且DE=3(E在D

右边)，运动初始时D和B重合，运动至E和C重合时运动终止.过E作EF//AC交AB于F,连结DF.

(1)若设BD=x,EF=y,求y关于尤的函数，并求其定义域；

(2)如果AfiDF为直角三角形，求ASD9的面积.

k

【例2】如图，点M(-3,m)是一次函数y=x+l与反比例函数y=—(左HO)的图象的一个交点.

x

(1)求反比例函数表达式；

(2)点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a(aH2),过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数、

反比例函数的图象于点A、B,交OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C,AABC与AABC

关于直线AB对称.

①当a=4时，求AABC的面积；

②当a的值为时，AAMC与AAMC的面积相等.

【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a,3)(其中〃>4),射线OA与反比例函数y=—

x

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的图象交于点P,点B、C分别在函数y=—的图象上，且AB//X轴，AC〃y轴.

x

(1)当点P横坐标为6,求直线AO的表达式；

(2)连结BO,当AB二BO时，求点A坐标；

(3)连结BP、CP,试猜想：屋处的值是否随a的变化而变化？如果不变，求出E3出的值；如果变化，

□AACP°AACP

请说明理由.

【例4】如图，已知二次函数y+H+C的图象经过点A(-1,0),顶点为M(1,4),且交于点C.

(1)求二次函数的解析式，并写出点C的坐标；

(2)直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D,若点P是抛物线上的一个动点，请探究：是否

存在这样的点P,使SAPAB=SM8,如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=一》2+。》+。经过点人(3,0)和点B(2,3),经过点A

的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tanZCAO=1.

(1)求这条抛物线的表达式及对称轴；

(2)连结AB、BC,求/ABC的正切值；

(3)若点D在x轴下方的对称轴上，当5AABC=5小/时，求点D的坐标.

【练一练】

Im

1.如图，已知点A(-4,—)>B(-1,2)是一次函数y=与反比例函数y=—(加。0,m<0)图象的

2x

两个交点，AC_Lx轴于点C,BDJ_y轴于点D.

(1)根据图象直接回答：子第二象限内，当尤取何值时，一次函数大于反比例函数的值?

(2)求一次函数解析式及加的值;

(3)P是一次函数AB上的一点，连结PC、PD,若APC4和AP05面积相等，求点P坐标.

2.如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+c与x轴的正半轴相交于点A、与y轴的正半轴相交于

点B,它的对称轴与x轴相交于点C,且NOBC=/OAB,AC=3.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)如果点D在此抛物线上，DF±OA,垂足为F,DF与线段AB相交于点G,且SMDGF:SMFG=3:2,

求点D的坐标.

3.如图，反比例函数y=8(尤＞0)的图象经过点A(2布，1),射线AB与反比例函数图象交于另一点B

x

(1,a),射线AC与y轴交于点C,ZBAC=75°,ADLy轴，垂足为D.

(1)求左的值；

(2)求tanZDAC的值及直线AC的解析式；

(3)如图2,M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线轴，与AC相交于点N,连

结CM,求ACMN面积的最大值.

4.如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为0A边上任意一点(与点0、A不重合)，连结CP,

过点P作PM_LCP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN//OA,交BO于点N,连结ND、BM,设OP=

t.

(1)求点M的坐标(用含1的代数式表示)；

(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置变化而变化？并说明理由；

(3)当t为何值时，四边形BNDM的面积最小.

5.如图，已知抛物线y=—f+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3),P是线段

BC上一点，过点P作PN〃y轴交点N,交抛物线于点M.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)如果点P的横坐标为2,点Q是第一象限抛物线上的一点，且AQMC和APA/C的面积相等，求点Q

的坐标;

6.如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点A(〃，0)、B(加，0)、D(0,2n)(m>«>0),作平行

四边形ABCD关于直线AD的对称图形ABXCXD.

(1)若加=3,试求四边形CGB/面积S的最大值;

(2)若点片恰好落在y轴上，试求的值.

7.问题提出：（1）如图1,已知AABC,请画出A45C关于直线AC对称的三角形.

问题探究：（2）如图2,在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC、CD上分别存在

点G、H,使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由；

问题解决：（3）如图3,有一块矩形板材ABCD,AB=3米，AD=6米，现想从此板材中截出一个面积尽

可能大的四边形EFGH部件，使/EFG=90°,EF=FG=V^米，/EHG=45°.经研究，只有当点