三空间向量与立体几何-2022届新高考数学题型解答题 新高考II专用

(3)空间向量与立体几何

2022届新高考数学题型助力之解答题新高考II专用

1.如图，在三棱锥中，AB=BC=20,PA=PB=PC=AC=4,0为AC的中点.

(1)证明：POJ_平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角B4-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.

2.如图1,正方形ABCD中，DM=-MA=\，CN=-NB=l，将四边形CDMN沿MN折起到四边形PQMN

22

的位置，使得ZQMA=60°(如图2).

(1)证明：平面MNPQ_L平面ABPQ；

(2)若E,F分别为AM,BN的中点，求三棱锥尸-QE8的体积.

3.如图，在三棱锥P—XBC中，平面平面ABC,AB=6,BC=273,AC=2>/6,D,E分

别为线段AB,BC上的点，且v4D=2D3,CE=2EB,PD±AC.

(1)求证：PD_L平面ABC；

(2)若直线PA与平面ABC所成的角为2,求平面PAC与平面PDE所成的二面角的大小.

4

4.已知几何体瓦G-A58,如图所示，其中四边形ABC。、四边形8G尸、四边形AEJGE•均为

正方形，且边长均为1,点M在棱OG上.

(1)求证：BMA.EF.

(2)是否存在点M,使得直线MB与平面3比'所成的角为45°?若存在，确定点M的位置；若

不存在，请说明理由.

5.如图是一个半圆柱与多面体A84AC构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且

ACYBC,P为蛉上的动点(不与瓦，A重合).

C

(1)证明：尸A_L平面

（2）若四边形为正方形，且AC=8C,NPgA=:,求二面角P-AA-。的余弦值.

6.如图，EC_L平面ABC,BDHEC,AC=A8=8£>=,EC=2,点F为线段DE上的动点.

2

CA

（1）试在BC上找一点0,使得AO±CF,并曲1

（2）在第（1）问的基础上若他，AC,问平面ACE与平面A0F所成的锐二面角的大小可否为乌？

4

7.一副标准的三角板（如图）中，NA5C为直角，ZA=60°,4DEF为直角,DE=EF,BC=DF.

把BC与DF重合，拼成一个三棱锥（如图），设M是AC的中点，N是BC的中点.

（1）求证：平面/WC_L平面EMN.

（2）若AC=4,二面角E-3C-A为直二面角，求直线EM与平面ABE所成角的正弦值.

8.如图（1）,已知圆0的直径AB的长为2,上半圆圆弧上有一点C,NCO3=60。，点P是弧AC

上的动点，点D是下半圆弧的中点.现以AB为折痕，使下半圆所在的平面垂直于上半圆所在的平面,

连接P0,PD,PC,CD,如图（2）所示.

c

p.c

D

(1)

(1)当〃平面PCD时，求PC的长;

(2)当三棱锥尸-COD体积最大时，求二面角。-PC-O的余弦值.

9.如图(1),AD是△BCD中BC边上的高，且/W=24)=2AC,将△BCD沿AD翻折，使得平面

平面ABD,如图(2)所示.

(2)在图(2)中，E是BD上一点，连接AE,CE,当AE与底面ABC所成角的正切值为［时，求直

2

线AE与平面BCE所成角的正弦值.

10.如图，正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，且边长都是1,M,N,G分别为线段AC,BF,

(2)当MN的长度最小时，求二面角A-MV-3的余弦值.

答案以及解析

1.答案：(1)证明过程见解析.

(2)PC与平面PAM所成角的正弦值为班.

4

解析：(1)证明：因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以OPJ_AC,且OP=26.

连接0B.

因为AB=8C=立AC,所以"BC为等腰直角三角形，且O8J_AC,OB^-AC=2.

22

由。尸+OB2=PB2知POX.OB.

由OP_LO8,OPLAC,OBcAC=O知尸O_L平面ABC.

(2)如图，以0为坐标原点，O*的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.

由题意得0(0,0,0),3(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2^3),

AP=(0,2,273).易得平面PAC的一个法向量为OB=(2,0,0).

设A/(a,2-a,0)(0<a<2),则磁=(a,4-a,0).

设平面PAM的法向量为〃=(x,y,z).

由福•〃=(),AMn=0,

2y+2屈=0,

得

ar+(4-〃)y=0,

可取”=(G(a-4),#ia,-a),

2x/3(a-4)

所以cos〈O反"〉=

2,("4)2+3.2+/

__.c

由已知可得|cos(OB,ri)|=—,

所以____2GIa-41______6

2>]^a-4)2+3a2+a22

解得〃=-4（舍去）或〃=—,

3

诉（8G4石4]

所以〃=I-----33—3J•

6

又定=（0,2,-2石），所以cos〈斤,〃〉=4一

w

所以PC与平面PAM所成角的正弦值为4一

2.答案：（1）见解析

⑵也

4

解析：⑴•••在正方形ABCD中，DM=-MA=\>CN=>NB=l，

22

QMLQP,QM=\,AM^2,

又；44时。=60。，；.在441/0中，由余弦定理得，

AQ2=AM2+QM2-2AMQMcosZAMQ=4+\-2x\x2x^=3,

AQ2+QM2^AM2,

AQLQM,

又,.•4QnQP=Q,A0，QPu平面ABPQ,平面ABPQ,

又：QMu平面MNPQ,平面用NPQ_L平面ABPQ；

(2)由(1)知AQ_LQM,QMLQP,

•.•在正方形ABCD中，DM=-MA=\>CN=-NB=\>

22

四边形CDMN为矩形，

:.MNLAM，MNLDM，

:.MN1MQ,MNIMA，

MQC\MA=M,MQ、M4u平面AMQ,.平面AMQ,

•.•MVu平面ABNM，.•.平面.MW_L平面AMQ,

过Q作。〃_LAM于H,则Q〃_L平面ABNM,即QH_L平面BEF,

QH=QMsin600=0

=--5AB/-F-eW=-xf-x3xl>|x—=—.

...匕由

W"=%-33（2）24

3.答案：（1）见解析

⑵。

6

解析：⑴因为4c=2遍，BC=2#,，45=6，所以AC?+BC?=AB?，

所以AC_LBC，可得cosZA8C=g^=2^=正，

AB63

又因为BD=2,

所以5=5+心一28。・8C・cosZABC=2?+（2⑹°一2x2xxg=8，

可得C£>=20>

又因为4）=4，所以CD?+A。?=472，所以C£>J_AB，

因为平面R4B_L平面ABC,平面RA3n平面，C£>u面ABC,

所以CD_L平面PAB,因为p£）u面PAB，所以CDJ_P£），

因为PDLAC，ACr\CD=C>所以尸£>，平面ABC.

（2）由（1）知DC,DB,DP两两垂直，如图分别以DC,DB,DP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角

坐标系，

因为直线PA与平面ABC所成的角为2,即NPAO=2,所以包>=4）=4，

44

则A（0,-4,0）,C（2>/2,0,0）>B（0,2,0）,P（0,0,4）,

所以。=（一2夜,2,0），AC=（2x/2,4,0））丽=（0,-4,-4），

因为45=2£>5，CE=2EB，所以OE〃AC，

由（1）知AC_L8C，所以£>£_!_BC，

又P£）_L平面ABC,BCu面ABC,所以P£）_L3C，

因为所以C3J_平面PDE,

所以区=(-272,2,0)为平面PDE的一个法向量,

设平面PAC的法向量为〃=(x,y,z)，

n-AC=2V2x+4y=0,,

由，__,令z=l，得y=—lX=A/2'

n.pA=-4y-4z=0

所以〃=(夜,-1,1)为平面PAC的一个法向量.

-4-2>/3

所以cM/〃Q)=丽,CR=』==，

所以平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为且,

2

故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为二.

6

4.答案：(1)证明过程见解析.

(2)存在点M使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.

解析：(1)Q四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形,

：.GD±DA,GDA.DC.

又D4c£>C=。，,GDJ_平面ABCD.

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则8(1,1,0),£(1,0,1),*0,1,1).

点M在棱。G上，故可设M（0,0,f）（0Wl）.

uuunum

QMB=(l,l,-r),EF=(-1,1,0),

UUUUU«1

...MBEF=0,:.BM±EF.

⑵假设存在点M,使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.

设平面BEF的法向量为"=（x,y,x），

uuuULBl

QBE=(O,-1J),=(-1,0,1),

uun

n-BE=0一y+z=0

uun

nBF=Q—x+z=0

令z=1,得X=y=1,.•.〃=(1,U)为平面BEF的一个法向量,

llUU

UUlfn-MB2T

/.cos〈n,MB)=--------tftiHf-

A,2+广

Q直线MB与平面BE尸所成的角为45°,

uinr2-z

/.sin45°=|cos〈〃,MB)|,「.-----.

信,2+产2

解得t=-4士3近.

又OWL存在点M（0,0,3夜-4）.

当点M位于棱DG上，且ZW=3收-4时，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.

5.答案：（1）见解析

⑵一走

5

解析：（1）在半圆柱中，88口平面以百，PAu平面牛四，

所以8百1PA,.

因为4百是上底面对应圆的直径，

所以R4,_LP4・

因为PBJBB1=,PBtu平面PBBt,BBtu平面PBB、,

所以PA，平面PBB、.

(2)根据题意，以C为坐标原点建立空间直角坐标系C-孙z,如图所示.

设CB=1,则C(0,0,0),A(0,1，&)，M(1。夜),

uuu_uuu_

所以CA=(0,1,四)，CB,=(l,0,V2).

易知4=(0,0,1)为平面PABi的一个法向量.

juuu

设平面CA,4的法向量为%=(x,y,z),则vuiwr°,

n2•CB、=0,

y+\[lz=0,

即＜

x+V2z=0,

令z=l,则x=-&，y=_五,所以电=(-&,-四,1)为平面。4的一个法向量.

所以COS(〃|,〃2〉=])=V•

由图可知二面角p-Ag-c为钝角，所以所求二面角的余弦值为-].

6.答案：(1)BC的中点即为所找的点0.理由见解析.

(2)当F为DE的中点时，平面ACE与平面A0F所成的锐二面角的大小为二

4

解析：(1)BC的中点即为所找的点0.

•/AB=AC,：.AO1.BC,

又ECJ_平面ABC,AOu平面ABC,

.-.ECYAO.

BCAEC=C,8Cu平面BDEC,ECu平面BDEC,「.AO_L平面BDEC.

又Cbu平面BDEC,.\AO-LCF.

(2)以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x轴、y轴，过点A且平行于EC的直线为z轴建立

如图所示的空间直角坐标系，则40,0,0),£(0,-2,4),ZX-2,0,2),0(-1,-1,0),

AO=(-1,-1,0),ED=(-2,2,-2).

igEF=2£Z>(0</l<l),贝ij可得尸(一2424-2,4-24),

则AF=(-22,22-2,4-22).

设平面A0F的法向量为，"=(x,y,z),

则=。，

m•AF=0,

[-24x+(24-2)y+(4-24)z=0,

令x=l,则y=—l,z=丝二L则机=(1,一1,丝二n为平面AOF的一个法向量.

2-4I2—AJ

易得平面ACE的一个法向量为“=(1,0,0).

\m-n\1\[1

令|COS〈7M,”〉|=--------='=—，解得X=

Im||n|22

1+2

故当F为DE的中点时，平面ACE与平面AOF所成的锐二面角的大小为土

4

7.答案:(1)见解析

⑵-

4

解析：(1);M是AC的中点，N是BC的中点,

.\MNHAB,

・・・AB1.BC,

:.MNIBC.

.BE=EC,N是BC的中点，

:.ENA.BC.

又MNC\EN=N,MNu平面EMN,ENu平面EMN,

平面EMN.

又3Cu平面ABC,

平面ABC_L平面EMN.

(2)由(1)可知，EN1BC,MN±BC,

.•.NEW为二面角E—BC—A的平面角，

又二面角E-8C-A为直二面角，.•.N£7VM=9O。，即

以点N为坐标原点，NM,NC,NE所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系N-xyz,

-,-AC=4,：.AB=2,BC=2框,:.NE=43,MN=1,

则N(0,0,0),£(0,0,,M(l,0,0),B(0,-瓜0),A(2,->/3,0),

.-.EM=(1,0,-y/3),B舌=(0,6,再)，BA=(2,0,0).

ni-BA=0[2x=0.

设，〃=(x,y,z)为平面ABE的法向量，则《空’即厂

m-BE=0,[13丁+

得x=0,令y=1,则z=-1,

平面ABE的一个法向量为in=(0,1,-1).

设直线EM与平面ABE所成的角为0,

则sin0=|cos(m,EM)|=EM_,

Im||EM|2V24

即直线EM与平面ABE所成角的正弦值为远.

8.答案：(1)PC=]

(2)T

解析：(1)因为A3〃平面PCD,45u平面OCP,平面OCPf]平面PCD=PC,所以A5〃PC.

又NC(M=60。，所以NOCP=60。.

又OC=OP,所以△OCP为正三角形，所以PC=L

(2)由题意知DO_L平面COP,而Leo=%.COP，S„COP=-OC-OPsinZCOP,

所以当OC_LOP时，三棱锥P-C8的体积最大.

解法一易知OP,OD,0C两两垂直，以0为坐标原点，OP,0D,的方向分别为x轴、y轴、

z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,则P(l,0,0),£>(0,1,0),C(0,0,l),

PC=(-1,0,1),丽=(1,-1,0).

设平面DPC的法向量为％=(x,y,z)»

则=°,即已+z=°，取x=],得平面DPC的一个法向量为%=(1,1,1).易知平面PCO的一个

DPn}=0,*y=0,

法向量为%=(0,1,0),

设二面角D-PC—O的平面角为a,由题图知，二面角£>—PC-O的平面角为锐角，则

cosa=\=——，

同同3

所以二面角。-PC-o的余弦值为且.

3

解法二如图所示，取PC的中点H,连接OH,DH.

因为OC=OP,DC=DP,所以OH,DH都与PC垂直,

即NO/TO为所求二面角的平面角.

在RtZ\OPC中，可得0H=也,

在RtZXO“。中，DH=

-2'

也

所以COSNO”D=3=^

n3

2

所以二面角£>-PC-O的余弦值为正

3

9.答案：（1）见解析

⑵拽

15

解析：（1）由题图（1）知，在题图（2）中，ACA.AD,ABLAD.

•.•平面AC£)J_平面ABD,平面A8CI平面他ABu平面ABD,

平面ACD,又C£>u平面ACD,

:.AB±CD.

（2）以A为坐标原点，AC,AB,AD所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨设AC=1,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(l,0,0),£>(0,0,1),而=(0,0,1),BC=(l,-2,0),

DB=(0,2,-l).

设E(x,y,z),由DE=ADB[0<A<\),得(x,y,z-l)=(0,2九-71),得£(0,2A,l-/l)

/.A£=(0,22,1-2),

又平面ABC的一个法向量为而=（0,0,1）,AE与底面ABC所成角的正切值为工，

2

所以|tan〈通,通〉|=2,于是|cos(A£),AE)\=

即,、比一=旦，解得力=1，

V（2A）2+（l-/l）252

贝荏=（0,l,g1,BE=（0,-1,1

“.吧=°,即.x-2y=0,

设平面BCE的法向量为〃=(x,y,z),则.1

n-BE=0,-y+-z=o,

令y=l,得x=2,z=2,则"=(2,1,2)是平面BCE的一个法向量,

设直线AE与平面BCE所成的角是3，

mil,q।/T?\IIA月,n|24\/5

贝IJsm0=cos〈A