离散状态空间设计讲述研究

第七章计算机控制系统的离散状态空间设计本章主要内容：状态空间描述的基本概念2采用状态空间模型的极点配置设计3采用状态空间模型的最优化设计2024/11/71

状态空间设计法是建立在矩阵理论基础上、采用状态空间模型对多输入多输出系统进行描述、分析和设计的方法。用状态空间模型能够分析和设计多输入多输出系统、非线性、时变和随机系统等复杂系统，可以了解到系统内部的变化情况。并且这种分析方法便于计算机求解。

2024/11/727．1状态空间描述的基本概念1.离散时间系统的状态空间描述

设连续的被控对象的状态空间表达式

在作用下，系统的状态响应为其中为系统的状态转移矩阵。取，，考虑到零阶保持器的作用，有则（5－1－1）

（5－1－２）

（5－1－3）

（5－1－４）

2024/11/73作变量置换，令：

由此可得系统连续部分的离散化状态空间表达式其中：式中：为维状态向量，为维控制向量，为维输出向量，为维状态转移矩阵，为维输入矩阵，为维输出矩阵。（5－1－５）

（5－1－６）

（5－1－７）

2024/11/74可用迭代法求得，

即：以k＝0，1，…

代入式（5－1－6）离散时间系统状态方程的解2024/11/75离散时间系统的能控性

描述的系统，如果存在有限个控制信号，，能使系统从任意初始状态转移到终态，则系统是状态完全能控的。

…、…写成矩阵形式

能控性定义：对于式根据状态方程的解，有2024/11/76则、、…、有解的充分必要条件，也即系统的能控性判据为式中:n为系统状态向量的维数。得到输出的能控性条件为式中:r为输出向量的维数。2024/11/77描述的系统，如果能根据有限个采样信号，，确定出系统的初始状态，则系统是状态完全能观的

。

离散时间系统的能观性

…、能观性定义：对于式根据状态方程的解，从0到时刻，各采样瞬时的观测值为：2024/11/78写成矩阵形式

则有解的充分必要条件，即系统的能观性判据为式中n为系统状态向量的维数。2024/11/797．2采用状态空间模型的极点配置设计

图5－2按极点配置设计的控制器状态空间模型按极点配置设计的控制器由两部分组成：一部分是状态观测器，它根据所量测到的输出重构出状态；另一部分是控制规律，它直接反馈重构的状态，构成状态反馈控制。

根据分离性原理，控制器的设计可以分为两个独立的部分：一是假设全部状态可用于反馈，按极点配置设计控制规律；二是按极点配置设计观测器。2024/11/7101按极点配置设计控制规律设被控对象的离散状态空间表达式为控制规律为线性状态反馈

假设反馈的是被控对象实际的全部状态x(k)得闭环系统的状态方程为作Z变换

显然，闭环系统的特征方程为

图5-3状态反馈系统结构图

2024/11/711如何设计反馈控制规律，以使闭环系统具有所期望的极点配置？

首先根据对系统的性能要求，找出所期望的闭环系统控制极点，再根据极点的期望值，求得闭环系统的特征方程为反馈控制规律应满足如下的方程如果被控对象的状态为维，控制作用为维，则反馈控制规律为维，即中包含个元素。2024/11/712例7-1

对于单输入系统，给定二阶系统的状态方程设计状态反馈控制规律，使闭环极点为解根据能控性判据，因

所以系统是能控的。期望的闭环特征方程为设状态反馈控制规律

2024/11/713取，比较两边同次幂的系数，有可得：即状态反馈控制规律为

闭环系统的特征方程为

2024/11/7142按极点配置设计状态观测器

在实际工程中，采用全状态反馈通常是不现实的。常用的方法是设计状态观测器，由测量的输出值重构全部状态，实际反馈的只是重构状态。即常用的状态观测器有三种。

图5-4状态观测器结构图2024/11/715状态重构误差的动态性能取决于特征方程根的分布。若状态重构误差为：

得状态重构误差方程为：

预报观测器的特征方程：

的特性是快速收敛的，则对于任何初始误差，都将快速收敛到零。因此，只要适当地选择增益矩阵，便可获得要求的状态重构性能。预报观测器观测器方程2024/11/716如果给出观测器的极点，可求得观测器的特征方程为了获得所需要的状态重构性能，应有

通过比较两边z的同次幂的系数，可求得中的n个未知数。

对于任意的极点配置，具有唯一解的充分必要条件是对象是完全能观的。

2024/11/717现时观测器观测器方程

状态重构误差为

状态重构误差方程：

2024/11/718现时观测器特征方程：为使现时观测器具有期望的极点配置，应有

同理，通过比较两边z的同次幂的系数，可求得K

中的n个未知数。降阶观测器

将原状态向量分成两部分，一部分是可以直接测量的，一部分是需要重构的。2024/11/719被控对象的离散状态方程可以分块表示为即比较得：2024/11/720观测器方程:状态重构误差方程：

降阶观测器特征方程：

同理，使，通过比较两边z的同次幂的系数，可求得K

中的n个未知数。2024/11/7213按极点配置设计控制器

1）控制器组成

设被控对象的离散状态空间描述为控制器由预报观测器和状态反馈控制律组成，即2）分离性原理闭环系统的状态方程为

矩阵形式：

2024/11/722闭环系统的特征方程为可见，闭环系统的2n个极点由两部分组成，一部分是按极点配置设计的控制规律给定的n个极点，称为控制极点，另一部分是按极点配置设计的状态观测器给定的n个极点，称为观测器极点。两部分相互独立，可分别设计。2024/11/7233）数字控制器实现设状态反馈控制规律为代入预报观测器方程观测器与控制规律的关系

得控制器的脉冲传递函数为

将脉冲传递函数转换为差分方程，就可以在计算机上实现数字控制器。2024/11/724

，无阻尼自然频率；

②观测器极点所对应的衰减速度比控制极点所对应的衰减速度快约3倍。例7－3

设被控对象的传递函数为，采样周期，采用零阶保持器，试设计状态反馈控制器，要求：①闭环系统的性能相应于二阶连续系统的阻尼比解被控对象的等效微分方程为

定义两个状态变量

2024/11/725则被控对象的连续状态空间表达式离散状态空间表达式其中：2024/11/726①判断被控对象的能控性和能观性

因此，被控对象是能控且能观的。根据能控性判据和能观性判据

②设计状态反馈控制规律

设状态反馈控制规律为，对应的特征方程为

2024/11/727根据对闭环极点的要求，对应的极点和特征方程为由，可得解得L1＝2，L2＝－0.317，即2024/11/728③设计状态观测器

选用现时观测器，设观测器增益矩阵为

现时观测器的特征方程为依题意：对应的特征方程为2024/11/729解得，，即由，可得

④组成控制器

其中

，。2024/11/7307．3采用状态空间模型的最优化设计针对随机系统按最优化方法设计控制器。

假定被控对象是线性的，系统性能指标是状态和控制的二次型函数，则系统的综合问题就是寻求允许的控制信号序列，使性能指标函数最小，这类问题称为线性二次型（LinearQuadratic）控制问题。如果考虑系统中随机的过程干扰和量测噪声，且过程干扰和量测噪声均是具有正态分布的白噪声，这类问题称为线性二次型高斯（LinearQuadraticGaussian）控制问题。2024/11/731

最优控制器也是由两部分组成，一部分是状态最优估计器；另一部分是最优控制规律。图5－5

最优调节器结构图

其设计也可分为两个独立的部分：一是将系统看作确定性系统；二是考虑随机的过程干扰v和量测噪声w，设计状态最优估计器。2024/11/7321最优控制规律设计有限时间最优调节器设计设连续被控对象的离散化状态方程为初始条件给定二次型性能指标函数

线性二次型最优控制的任务是寻求最优控制序列（k＝0，1，…，N－1），在把初始状态x(0)转移到x(N)的过程中，使性能指标函数最小。

2024/11/733

求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态规划法等方法。这里采用离散动态规划法来进行求解。

动态规划法的基本思想是：将一个多级决策过程转变为求解多个单级决策优化问题，这里需要决策的是控制变量（k＝0，1，…，N－1）。令二次型性能指标函数其中：i＝N－1、N－2、…、0。下面从最末一级往前逐级求解最优控制序列。

2024/11/734

首先求解，以使最小。求对u(N－1)的一阶导数并令其等于零：由上式和连续被控对象的离散化状态方程，有2024/11/735进一步求得最优的控制决策为其中得依次，可求的、、…、。、…、其中2024/11/736计算公式归纳：

最优性能指标为

满足上式的最优控制一定存在且是唯一的。其中利用以上公式可以逆向递推计算出S(k)和L(k)。2024/11/737无限时间最优调节器设计设被控对象的状态方程为

当N→∞时，其性能指标函数简化为

其中是非负定对称阵，是正定对称阵。假定［F，G］是能控的，且［F，D］是能观的，其中D为能使DTD＝Q1成立的任何矩阵。计算机控制系统的最优设计，最经常碰到的是离散定常系统终端时间无限的最优调节器问题。当终端时间N→∞时，矩阵S

(k)将趋于某个常数，因此可得到定常的最优反馈增益矩阵L，便于工程实现。2024/11/738存在，且是与无关的常数阵。或：的解，那么对于任何非负定对称阵，有①设S

(k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程可以证明有以下几点结论：2024/11/739③稳态控制规律

是使上面性能指标函数J极小的最优反馈控制规律，最优性能指标函数为④所求得的最优控制规律使得闭环系统是渐近稳定。

②S是如下的黎卡堤代数方程

或：的唯一正定对称解。2024/11/740

该结论说明了：当满足上述结论中所给条件时，最优的反馈控制规律是常数阵；并且使得闭环系统是渐近稳定的。同时该结论也指出了计算最优反馈控制规律的途径，它既可以通过直接黎卡堤代数方程求解，也可以通过迭代法解黎卡堤差分方程求得。同时也可以看出，结论条件“是正定对称阵”可以放宽到“是正定对称阵”。2024/11/741例7－4考虑离散系统：其中：设计最优控制器，使性能指标：最小。2024/11/742解选和，。通过MATLAB仿真，可解得两种情况下的最优反馈增益矩阵为：(a)权矩阵较小的情况(b)权矩阵较大的情况2024/11/743解选，和。通过MATLAB仿真，可解得两种情况下的最优反馈增益矩阵为：(a)权矩阵较小的情况(b)权矩阵较大的情况2024/11/7442状态最优估计器设计

目前有许多状态估计方法，这里介绍Kalman滤波器。设被控对象的离散状态空间表达式为其中：x(k)为n维状态向量，u(k)为m维控制向量，y(k)为r维输出向量，v(k)为n维过程干扰向量，w(k)为r维测量噪声向量。假设v(k)和w(k)均为离散化处理后的高斯白噪声序列，且有设V为非负定对称阵，W为正定对称阵，并设v(k)和w(k)不相关。1）Kalman滤波公式的推导2024/11/745

由于系统中存在随机的干扰v(k)和随机的量测噪声w(k)，因此系统的状态向量x(k)也是随机向量，y(k)是能够量测的输出量。若记x(k)的估计量为问题：如何根据输出量y(k)估计出x(k)则：为状态的估计误差，因而

为状态估计的协方差阵。显然P(k)为非负定对称阵。这里估计的准则为：根据量测量y(k)，y(k－1)，…，最优地估计出，以使P(k)极小（因P(k)是非负定对称阵，因此可比较其大小）。这样的估计称为最小方差估计。2024/11/746根据最优估计理论，最小方差估计为

即x(k)最小方差估计等于在直到k时刻的所有量测量y的情况下x(k)的条件期望。

引入更一般的记号若，表示根据直到现时刻的量测量来估计过去时刻的状态，称为内插或平滑；，表示根据直到现时刻的量测量来估计将来时刻的状态，称为预报或外推；，表示根据直到现时刻的量测量来估计现时刻的状态，称为滤波。这里所讨论的状态最优估计问题即是指滤波问题。2024/11/747引入如下记号；k－1时刻的状态估计；k－1时刻的状态估计误差；k－1时刻的状态估计误差协方差阵

；一步预报估计

；一步预报估计误差；一步预报估计误差误差协方差阵同样，如：；k时刻的状态估计2024/11/748求一步预报误差根据前面的定义，上式中第一项为，是输入到控制对象的确定量，因此上式中的第二项为。第三项中、、…均与不相关，则第三项为零。

求得一步预报方程为2024/11/749根据上式，可求得一步预报估计误差为

可进一步求得一步预报误差的协方差阵为简化为

2024/11/750

该估计器方程具有明显的物理意义。式中第一项是的一步最优预报估计，它是根据直到时刻的所有量测量的信息而得到的关于的最优估计。式中第二项是修正项，它是根据最新的量测信息对最优预报估计进行修正。在第二项中其中称为状态估计器增益，或Kalman滤波器增益。设x(k)的最小方差估计具有如下的形式是关于量测量的一步预报估计。2024/11/751是关于量测量的一步预报误差，它包含了最新量测量的信息。因此x(k)的最小方差估计所表示的最优状态估计可以看成是一步最优预报与最新量测量信息的加权平均，其中增益矩阵可认为是加权矩阵。从而问题变为如何合适地选择，以获得的最小方差估计，即使得状态估计误差的协方差为最小。

现在的问题变为：寻求，以使极小。2024/11/752极小。J表示的各个分量的方差之和，因而它是标量。可以证明，使极小等价于使如下的标量函数由以上公式，可得的状态估计误差为2024/11/753进一步求得状态估计误差的协方差阵为由于与不相关，因此交叉相乘项的期望值为零。取，使为，变为2024/11/754其中

如果能使取极小值，那么，对于任意的增量均应有。则必须有

2024/11/755Kalman滤波公式归纳和给定，k＝1，2，…

若Kalman滤波增益矩阵已知，则根据以上公式递推计算出状态最优估计，k＝1，2，…。可见，为获得状态的最优估计，关键是需要事先计算出Kalman滤波增益矩阵。2024/11/756①给定参数F、C、V、W和，给定迭代计算总步数N，置k＝1；②计算P(k|k－1)；③计算；④计算；⑤如果k＝N，转（7），否则，转（6）；⑥k←k－1转（2）；⑦输出和，k＝1，2，…N。2）Kalman滤波增益矩阵的计算2024/11/757例7-6