第十五章 分式（14类题型突破）

第十五章分式（题型突破）【题型一分式有意义的条件】例题：（2023·河南南阳·统考三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【变式训练】1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式有意义，则的取值范围为______．2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式有意义，则的取值范围为____．3．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义．4．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式无意义，则x的取值范围是_________．【题型二分式值为零的条件】例题：（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式的值为0，则x的值为()A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式的值为零，则x的值为（）A． B．0 C．3 D．2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式的值为0，则的取值是（）A． B． C． D．3．（2023春·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）已知分式的值为，则______．4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）若分式的值为0，则________【题型三判断分式变形是否正确】例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（）A． B．C． D．【题型四利用分式的基本性质判断分式值的变化】例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值（）A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍【变式训练】1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当，时，若、都扩大为原来的10倍，则分式的值（）A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（）A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍【题型五最简分式】例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（）A． B． C． D．2．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各分式中，是最简分式的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为(

)①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型六最简公分母】例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式与的最简公分母是______．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式，，的最简公分母是_______．2．（2023春·江苏·八年级校考周测）的最简公分母是_________3．（2023春·全国·八年级专题练习），，的最简公分母是_____．【题型七含乘方的分式乘除混合运算】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：（1）；（2）；（3）•÷；（4）．【题型八零指数幂、负整数指数幂】例题：（2023·广东梅州·统考一模）计算：___________．【变式训练】1．（2023春·浙江杭州·七年级期中）计算：________，________．2．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）计算：____________．3．（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知，那么a，b，c之间的大小关系是__________（请用“<”表示）．【题型九用科学计数法表示绝对值小于1的数】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）2023年1月8日起，国家对新冠病毒感染实施“乙类乙管”，已经知新冠病毒的直径是，这个数据用科学记数法可表示为____________m．【变式训练】1．（2023·河南驻马店·统考三模）维生素A是人体内不可缺少的微量元素，成年女性每天维生素A的摄入量约为．质量单位是微克的符号，单位转换，，数据“”用科学记数法可表示为（）A． B． C． D．2．（2023·江苏泰州·统考三模）近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022是_________．3．（2023春·广东清远·七年级校联考期中）某颗粒物的直径是，把用科学记数法表示为______．【题型十整数指数幂的运算】例题：（2023春·七年级课时练习）计算：(1)(2)【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：（1）；（2）.2．（2023春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）计算：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)．【题型十一分式加减乘除混合运算】例题：（2023·河南漯河·统考二模）化简：．【变式训练】1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简：．3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【题型十二分式化简求值】例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值：，其中．【变式训练】1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值：其中满足方程．2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值：，其中：3．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）先化简：，若，请选取一个合适的整数作为x的值代入求值．4．（2023·四川广安·统考中考真题）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．5．（2023·湖南怀化·统考中考真题）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．6．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）先化简，再求值：，其中a满足．【题型十三解分式方程】例题：（2023春·广东清远·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【变式训练】1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）解方程(1)；(2)．2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：(1);(2)．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）解分式方程：(1)(2)4．（2023春·浙江·七年级专题练习）解方程(1)；(2)．5．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列分式方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【题型十四分式方程的实际应用】例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【变式训练】1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)甲、乙两公司各有多少人？(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）某商店3月份购进一批T恤衫，进价合计12万元，因畅销，商店又于4月份购进一批同品牌T恤衫，进价合计万元，数量是3月份的1.5倍，但每件进价涨了5元．这两批T恤衫开始都以每件180元出售，到5月初，商店把剩下的100件打八折出售，很快售完，问：3，4月份一共购进多少件T恤衫？商店售完后可获利润(销售收入减去进价总计)多少元？4．（2023·山西阳泉·校联考模拟预测）据山西省住房和城乡建设厅消息，年，山西省将开工改造城镇老旧小区个，优先将养老托幼、日间照料、社区食堂等公共服务设施配套建设作为提升改造内容．某社区改造社区食堂需要租用垃圾专用车清理建筑垃圾，调研发现：若租用甲、乙两车运送，两车各运趟可完成，已知甲、乙两车单独运完这些垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，求甲、乙两车单独运完这些垃圾各需运多少趟？

5．（2023·重庆·三模）为了加快推进环境建设，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标，九龙坡区计划安排甲、乙两个施工队对一条全长为4100米的河道进行清淤施工．经调查知：甲队每天清淤的河道长度是乙队每天清淤的河道长度的倍，甲队清淤1200米的河道比乙队清淤同样长的河道少用2天．(1)甲、乙两队每天清淤的河道长度分别是多少米？(2)若该条河道先由甲队单独清淤2天，余下的河道由甲乙两队合作清淤．已知甲队施工一天的费用为万元，乙队施工一天的费用为万元，求完成该条河道清淤施工的总费用．

第十五章分式（题型突破）答案全解全析【题型一分式有意义的条件】例题：（2023·河南南阳·统考三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】【分析】根据分式有意义的条件求出x的取值范围即可．【详解】解：依题意得：．故答案是：．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．【变式训练】1．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）要使分式有意义，则的取值范围为______．【答案】【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，即可完成求解．【详解】∵分式有意义，∴，解得．故答案是：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握这一条件是解题的关键．2．（2023·云南楚雄·统考二模）要使分式有意义，则的取值范围为____．【答案】【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．【详解】解：由题意得，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．3．（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）当满足条件___________时，分式没有意义．【答案】【分析】根据分式无意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由分式没有意义，可得，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查分式无意义的条件，熟练掌握分式不成立的条件是解题的关键．4．（2023·山东临沂·统考一模）要使分式无意义，则x的取值范围是_________．【答案】【分析】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可．【详解】解：∵分式无意义，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为0是解题的关键．【题型二分式值为零的条件】例题：（2023·广东佛山·佛山市南海区南海执信中学校考三模）若分式的值为0，则x的值为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴且，解得：．故选：D．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）若分式的值为零，则x的值为（）A． B．0 C．3 D．【答案】D【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【详解】解：由题意可知：解得：，故选：D．【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件．2．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）若分式的值为0，则的取值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零，据此解答．【详解】解：依题意得：且，解得：，故选B．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．3．（2023春·安徽蚌埠·七年级校联考阶段练习）已知分式的值为，则______．【答案】【分析】根据分式的值为零的条件：分子且分母，即可求出结论．【详解】解：分式的值为零，，解得：．故答案为：7．【点睛】此题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子且分母是解决此题的关键．4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）若分式的值为0，则________【答案】【分析】由题意直接根据分式的值为零的条件即分子等于零且分母不等于零进行分析即可．【详解】解：∵分式的值为0，∴且，∴或，且，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件即分子为0和分母不为0．这两个条件缺一不可．【题型三判断分式变形是否正确】例题：（2023·广东茂名·统考一模）下列等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答．【详解】解：，故A正确；与不一定相等，故B错误；与不一定相等，故C错误；当时，，故D错误，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·北京西城·八年级北京市第一六一中学校考开学考试）下列变形正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式的基本性质对各选项进行约分判断即可.【详解】解：A、，故本选项变形错误；B、，故本选项变形正确；C、，故本选项变形错误；D、，故本选项变形错误；故选：B.【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.2．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）下列变形中，错误的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据分式的性质，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.，故该选项正确，符合题意；B.，故该选项正确，符合题意；C.，故该选项正确，符合题意；D.，故该选项不正确，不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．【题型四利用分式的基本性质判断分式值的变化】例题：（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中x，y的值都扩大2倍，那么这个分式的值（）A．不变 B．缩小到原来的 C．扩大4倍 D．扩大2倍【答案】D【分析】先用代替分式中的x、y进行计算，再比较大小即可．【详解】解：用代替分式中的x、y得．那么这个分式的值扩大2倍．故选：D．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是注意分式的基本性质的使用，以及整体代入．【变式训练】1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）当，时，若、都扩大为原来的10倍，则分式的值（）A．缩小到原来的 B．扩大到原来的10倍C．缩小到原来的 D．扩大到原来的100倍【答案】A【分析】根据分式的基本性质（无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变）解答．【详解】解：根据题意，得：，即分式的值缩小到原来的，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变 B．扩大2倍 C．缩小为原来值 D．缩小为原来值的【答案】A【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则，即可解答．【详解】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍，∴，∴分式的值不变，故选：A．【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．3．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（）A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍【答案】B【分析】根据分式的性质即可求解．【详解】解：把中的与都扩大3倍，得故选：B．【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．【题型五最简分式】例题：（2023春·山东济南·八年级统考期中）下列分式是最简分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，逐一判断即可．【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意；B、，是最简分式，符合题意；C、，不是最简分式，不符合题意；D、，不是最简分式，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查最简分式的概念，理解最简分式的概念是解题关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将各选项进行化简判断即可．【详解】解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故符合题意；D、，故不符合题意，故选：C．【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各分式中，是最简分式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【详解】解：．是最简分式；B.，不符合题意；C.，不符合题意；D.，不符合题意；故选：．【点睛】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键．3．（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）下列分式是最简分式的个数为(

)①；②；③；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据最简分式的定义进行判断即可．【详解】解：①是最简分式；②是最简分式；③，不是最简分式；④，不是最简分式；综上分析可知，最简分式有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义，分子、分母中没有公因式的分式是最简分式．【题型六最简公分母】例题：（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式与的最简公分母是______．【答案】【分析】先将分式的分母进行因式分解，然后根据最简公分母的定义即可得出结论．【详解】∵，∴分式与的最简公分母是．故答案是．【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式，，的最简公分母是_______．【答案】【分析】根据最简公分母的定义即可解答．【详解】解：分式、、的最简公分母是．故答案为：．【点睛】本题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．2．（2023春·江苏·八年级校考周测）的最简公分母是_________【答案】【分析】三个分式的分母均为多项式，故先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的知识进行求解即可．【详解】解：的最简公分母是．故答案为：．【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．3．（2023春·全国·八年级专题练习），，的最简公分母是_____．【答案】【分析】根据最简公分母的定义求出所求即可．【详解】的分母为，的分母为，的分母为，∴，，的最简公分母是．故答案为：．【点睛】此题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．【题型七含乘方的分式乘除混合运算】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）计算：【答案】【分析】先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．【详解】解：【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：（1）；（2）；（3）•÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先计算乘方，同时将除法化为乘法，再计算乘法；（2）先计算乘方，将除法化为乘法，再计算乘法；（3）先将除法化为乘法，将分子与分母分解因式，再计算乘法；（4）将分子与分母分解因式，除法化为乘法，计算乘法即可．【详解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【点睛】此题考查分式的计算，掌握分式的乘方计算法则，乘除法计算法则，因式分解的方法是解题的关键．【题型八零指数幂、负整数指数幂】例题：（2023·广东梅州·统考一模）计算：___________．【答案】【分析】根据负整数指数幂的运算法则及零指数幂的运算法则分别计算后，根据有理数加法运算法则求解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查有理数的运算，涉及负整数指数幂的运算及零指数幂，熟记相关运算法则是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023春·浙江杭州·七年级期中）计算：________，________．【答案】【分析】根据零指数幂与负整数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：，，故答案为：，．【点睛】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的运算法则是解题的关键．2．（2023·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）计算：____________．【答案】【分析】根据负整指数幂和零指数幂求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了负整指数幂和零指数幂，正确的计算是解决本题的关键．3．（2023春·浙江杭州·七年级期中）已知，那么a，b，c之间的大小关系是__________（请用“<”表示）．【答案】【分析】根据有理数的乘方，负整数指数幂，零次幂分别计算求得的值，进而比较大小即可求解．【详解】解：∵，，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，正确的计算是解题的关键．【题型九用科学计数法表示绝对值小于1的数】例题：（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）2023年1月8日起，国家对新冠病毒感染实施“乙类乙管”，已经知新冠病毒的直径是，这个数据用科学记数法可表示为____________m．【答案】【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．【详解】解：用科学记数法表示为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．【变式训练】1．（2023·河南驻马店·统考三模）维生素A是人体内不可缺少的微量元素，成年女性每天维生素A的摄入量约为．质量单位是微克的符号，单位转换，，数据“”用科学记数法可表示为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，，可得，据此把数据“”化成以为单位的量，并用科学记数法表示即可．【详解】解：，，，，．故选：C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．2．（2023·江苏泰州·统考三模）近年来，我国研发的北斗芯片实现了22纳米制程的突破，22纳米等于0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022是_________．【答案】【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键．3．（2023春·广东清远·七年级校联考期中）某颗粒物的直径是，把用科学记数法表示为______．【答案】【分析】根据科学记数法的记数方法，写成其中，故得到答案．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了科学记数法知识，其中注意整数位数不要数错是本题的解题关键．【题型十整数指数幂的运算】例题：（2023春·七年级课时练习）计算：(1)(2)【答案】(1)12(2)【分析】（1）根据乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可；（2）根据整式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，零指数幂和负整数指数幂运算法则，整式混合运算法则，准确计算．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：（1）；（2）.【答案】（1）-1；（2）2x6【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值；（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，合并即可得到结果．【详解】解：（1）原式=2+1-3-1=-1；（2）原式=x6+4x6-3x6=2x6．【点睛】此题考查了整式的除法，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2023春·山东泰安·六年级东平县实验中学校考阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）根据同底数幂的乘法，积的乘方进行计算，然后合并同类项即可求解；（2）根据幂的乘方，积的乘方进行计算，然后根据同底数幂的除法进行计算即可求解；（3）根据幂的乘方，积的乘方进行计算即可求解；（4）根据负整数指数幂，零次幂进行计算即可求解；（5）根据同底数幂的乘法进行计算即可求解；（6）根据积的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的除法进行计算即可求解；（7）根据负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方进行计算即可求解；（8）根据零次幂，负整数指数幂，逆用积的乘方进行计算即可求解．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【点睛】本题考查了幂的混合运算，负整数指数幂，零次幂，掌握幂的运算法则是解题的关键．【题型十一分式加减乘除混合运算】例题：（2023·河南漯河·统考二模）化简：．【答案】【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，然后约分即可．【详解】解：【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：【答案】【分析】根据分式混合运算法则及运算顺序直接求解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及到因式分解、通分、约分及运算顺序，熟记相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键．2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简：．【答案】【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果．【详解】解：．【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算；（2）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【题型十二分式化简求值】例题：（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．【详解】解：原式，当时，原式．【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【变式训练】1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值：其中满足方程．【答案】，【分析】运用乘法公式，分式的性质对分式进行化简，再变形得，，代入计算即可求解．【详解】解：，∵，∴，∴原式．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式与分式混合运算的综合，方程的变形，代入求值等知识是解题的关键．2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值：，其中：【答案】；【分析】运用因式分解，约分等化简，后代入求值即可．【详解】解：；当时，．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分等化简技能是解题的关键．3．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）先化简：，若，请选取一个合适的整数作为x的值代入求值．【答案】，取，则原式．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将合适的的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式，，，，0，2，若取，则原式．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则．4．（2023·四川广安·统考中考真题）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】，选择，式子的值为（或选择，式子的值为1）【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的的值，代入计算即可得．【详解】解：原式，，，，，，且为整数，选择代入得：原式，选择代入得：原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．5．（2023·湖南怀化·统考中考真题）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．【答案】，当时，原式为；当时，原式为．【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．【详解】解：，当a取，1，2时分式没有意义，所以或0，当时，原式；当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．6．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）先化简，再求值：，其中a满足．【答案】，0【分析】根据分式的四则混合运算法则化简可得，然后将整体代入即可求解．【详解】解：，，，，；∵，∴．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整体的方法是解答本题的关键．【题型十三解分式方程】例题：（2023春·广东清远·八年级校考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)无解【分析】（1）方程两边同乘以化为整式方程求解；（2）方程两边同乘以化为整式方程求解．【详解】（1）去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解；（2）去分母得：，解得：，经检验是增根，分式方程无解．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程，并且注意要检验方程的解．【变式训练】1．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）解方程(1)；(2)．【答案】(1)无解(2)【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）解：，去分母得：，解得：，检验：把代入得：，是增根，分式方程无解；（2），去分母得：，解得：，检验：把代入得：，分式方程的解为．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2．（2023·四川攀枝花·校考一模）解方程：(1);(2)．【答案】(1)是原分式方程的解(2)原分式方程无解【分析】（1）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验；（2）根据解分式方程的方法解方程即可，注意要检验．【详解】（1）解：方式方程两边同时乘以，得，解得，当时，，所以原分式方程的解是；（2）解：原分式方程可化为，，两边同时乘以，得，解得，当时，，所以原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键．3．（2023春·浙江·七年级专题练习）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)方程无解【分析】（1）先变形，再去分母化成一元一次方程，解方程即可求解；（2）先变形，再去分母化成一元一次方程，解方程即可求解．【详解】（1）原方程变形为，方程两边同乘以，得，解得，经检验：是原方程的解，∴原方程的解是；（2）原方程变形为，方程两边同乘以最简公分母，得，解得．经检验：是原方程的增根，∴不是原方程的解，应舍去，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，并注意要检验是解题的关键．4．（2023春·浙江·七年级专题练习）解方程(1)；(2)．【答案】(1)(2)方程无解【分析】（1）方程两边同乘去分母，再按照整式方程的解法进行求解即可；（2）方程两边同乘，去分母，再按照整式方程的解法进行求解即可．【详解】（1）解：方程两边同乘，得：，解得．检验：把代入，故原方程的解为：；（2）解：方程两边同乘，得：，解得．检验：把代入，所以是原方程的增根，故原方程无解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母．5．（2023春·全国·八年级专题练习）解下列分式方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)无解(2)(3)(4)【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】（1）方程两边同乘，得，解得，经检验，是原方程的增根，原方程无解；（2）方程两边同乘，得，解得，经检验，当时，，所以原方程的解为；（3）原方程可化为，去分母，得，解得，经检验，是原方程的解；（4）原方程可化为，去分母，得，解得，经检验，是原方程的解．【点睛】本题主要考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【题型十四分式方程的实际应用】例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，根据题意可得等量关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，由题意得：，解得：，经检验：是原分式方程的解，且符合题意，则，答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆．【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系．【变式训练】1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．【答案】今年龙虾的平均亩产量．【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，由题意得，，解得，经检验，是分式方程的解且符合题意，答：今年龙虾的平均亩产量．【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)甲、乙两公司各有多少人？(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人(2)有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人，由题意得，解得．经检验，是原方程的解．∴．答：甲公司有150人，乙公司有180人．（2）解：设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得，整理得．又因为，且、为正整数，所以，．答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．【点睛】本题考