人教版年七年级数学上学期期末考点大串讲猜想02有理数与整式加减综合之数轴上动点、绝对值问题、探究规律、新定义(解答60题专练)(原卷版+解析)

猜想02有理数与整式加减综合之数轴上动点、绝对值问题、探究规律、新定义（解答60题专练）一．解答题（共60小题）1．（2022秋•海珠区校级期末）我们知道，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，数轴上P、Q两点所对应的数分别是m、n，那么P、Q两点之间的距离PQ＝|m﹣n|．已知代数式ax3﹣2x2﹣2x+10x2+6x3+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b．（1）a＝，b＝，AB两点之间的距离为（只填结果，不用写出解答过程）；（2）有一动点P从点B出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动到2022次时，求P点在数轴上所对应的有理数．（3）在（2）的条件下，点P会不会在某次运动后恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若可能，求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动后，若不可能，请说明理由．2．（2022秋•石狮市期末）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式5x3﹣3x2+2x是“和谐多项式”：多项式﹣3xy2+2x2y﹣x3是y的“和谐多项式”．（1）把多项式﹣3x3+2x﹣4x2+5x4按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？（2）若关于a、b的多项式ka3b3﹣2a2b+3ab2﹣5b4是b的“和谐多项式”，求k的值；（3）已知M、N均为关于x、y的整系数三次三项式，其中M＝x2y+xy2+nx3，N＝﹣x2y﹣mxy2+4y3．若新多项式M﹣N是“和谐多项式”，且m＜n，求代数式2022m2+8088m﹣1的值．3．（2022秋•忠县期末）已知多项式．（1）化简已知多项式；（2）若a，b满足，求已知多项式的值．4．（2020秋•咸丰县期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，O为原点．关于x，y的多项式﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6．（1）点A到B的距离为（直接写出结果）；（2）如图1，点P是数轴上一点，点P到A的距离是P到B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数；（3）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且点Q是线段AN的中点．若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，求的值．5．（2022秋•海门市期末）（1）在数轴上有理数a，b，c所对应的点位置如图，化简：|a+b|﹣|2a﹣c|+2|b+c|；（2）已知多项式A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6．化简：4A﹣3B．6．（2022秋•钦州期末）化简已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：（1）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|（2）若a的绝对值的相反数是﹣2，﹣b的倒数是它本身，c2＝4，求﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）的值．7．（2022秋•凤翔县期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用代数式表示为：|4﹣（﹣3）|．根据以上阅读材料探索下列问题：（1）数轴上表示3和9的两点之间的距离是；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是；（直接写出最终结果）（2）①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，则x的值为；②若x为数轴上某动点表示的数，则式子|x+1|+|x﹣3|的最小值为．8．（2022秋•青川县期末）已知M＝（a+18）x3﹣6x2+12x+5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c．如图，在数轴上点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，O为原点，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点C运动，设运动时间为ts．（1）a＝，b＝，c＝．（2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴上点O和点C之间往复运动．①当t为何值时，点Q第一次与点P重合？②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的数．③设点P，Q所对应的数分别是m，n，当6＜t＜8时，|c﹣n|+|b﹣m|＝8，求t的值．9．（2022秋•滦州市期末）如图，A、B、P三点在数轴上，点A对应的数为多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数，点B对应的数为单项式5m2n4的次数，点P对应的数为x．（1）请直接写出点A和点B在数轴上对应的数；（2）请求出点P对应的数x，使得P点到A点，B点距离和为10．10．（2022秋•海珠区期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式2x2﹣4x+1的一次项系数，b是最大的负整数，单项式xy的次数为c．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若将数轴在点B处折叠，则点A与点C重合（填“能”或“不能”）；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．11．（2021秋•平昌县期末）我们知道，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，数轴上P、Q两点所对应的数分别是m、n，那么P、Q两点之间的距离PQ＝|m﹣n|．已知代数式ax3﹣2x2﹣2x+10x2+6x3+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b．（1）a＝，b＝，AB两点之间的距离为；（2）有一动点P从点B出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动到1999次时，求P点所对应的有理数．（3）在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若可能，求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动，若不可能，请说明理由．12．（2022秋•南川区期末）对每个数位数字均不为零且互不相等的一个三位正整数x，若x的十位数字与个位数字的和是百位数字的两倍，我们就称x为“翻倍数”．把一个“翻倍数”的百位、十位、个位上的数字之和称为这个“翻倍数”的“聚集数”，如231，因为3+1＝2×2，所以231是“翻倍数”，231的“聚集数”为3+2+1＝6．（1）判断422与537是不是“翻倍数”，若是“翻倍数”，请求出它的“聚集数”；若不是，请说明理由；（2）若一个“翻倍数”的“聚集数”为12，求满足条件的所有“翻倍数”．13．（2022秋•江北区校级期末）若一个四位正整数，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为t的“知行数”，记为K（t），“知行数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“合一数”，记为P（t），例如：3521的“知行数”为K（3521）＝3×5+521＝536，3521的“合一数”P（3521）＝5×5+36＝61．（1）K（2134）＝；P（2134）＝；（2）若一个四位数t＝6000+100a+40+b（其中0≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），且满足能被11整除，求该四位数．14．（2021秋•曾都区期末）已知多项式（a+2）x3+8x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．（1）填空：a＝，b＝，线段AB的长度为；（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，C是线段PB的中点．当t＝2时，求线段BC的长度；（3）D是线段AB的中点，若在数轴上存在一点M，使得AM＝BM，求线段MD的长度．15．（2021秋•惠城区期末）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点的距离可表示为AB＝|a﹣b|．根据以上信息回答下列问题：已知多项式2x3y2z﹣3x2y2﹣4x+1的次数是b，且2a与b互为相反数，在数轴上，点O是数轴原点，点A表示数a，点B表示数b．设点M在数轴上对应的数为m．（1）由题可知：A，B两点之间的距离是．（2）若满足AM+BM＝12，求m．（3）若动点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出M所对应的数m．16．（2021秋•邢台期末）如图，A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数，点B对应的数为单项式5m2n4的次数，点P对应的数为x．（1）请直接写出点A和点B在数轴上对应的数．（2）请求出点P对应的数x，使得P点到A点，B点距离和为10．（3）若点P在原点，点B和点P同时向右运动，它们的速度分别为1，4个长度单位/分钟，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？17．（2020秋•开福区校级期末）已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．（1）a＝，b＝，线段AB＝；（2）若数轴上有一点C，使得AC＝BC，点M为AB的中点，求MC的长；（3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE＝GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．18．（2022秋•港南区期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．19．（2022秋•忠县期末）一个十位数字不为0的三位数m，若将m的百位数字与十位数字相加，所得和的个位数字放在m的个位数字右边，与m一起组成一个新的四位数，则把这个新四位数称为m的“生成数”．若再将m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉，可以得到四个三位数，则把这四个三位数之和记为S（m）．例如：m＝558，∵5+5＝10，∴558的“生成数”是5580，将5580的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是：580、580、550、558，则S（m）＝580+580+550+558＝2268．（1）写出123的“生成数”，并求S（123）的值；（2）说明S（m）一定能被3整除；（3）设m＝100x+10y+105（x，y为整数，1≤y≤x≤9且x+y≥9），若m的“生成数”能被17整除，求S（m）的最大值．20．（2022秋•北碚区校级期末）阅读材料，完成下列问题：材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”．材料二：将一位四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，F（M）＝．（1）F（1756）＝；F（2389）＝；（2）试证明任意重叠数M的F（M）一定为10的倍数；（3）若一个“重叠数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5（1≤a≤9，0≤b≤4），当t能被7整除时，求出满足条件的所有t值中，F（t）的最小值．21．（2021秋•黄陂区期末）数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n（m＜n），点C在B的右侧，AC﹣AB＝2．（1）如图1，若多项式（n﹣1）x3﹣2x7+m+3x﹣1是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值；（2）如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF滑动过程中，线段MN的长度是否发生变化，请判断并说明理由；（3）若点D是AC的中点．①直接写出点D表示的数（用含m，n的式子表示）；②若AD+2BD＝4，试求线段AB的长．22．（2020秋•双流区期末）已知代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b．如图，在数轴上有点A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c．已知AC＝6AB．（1）求a，b，c的值；（2）若动点P，Q分别从C，O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求的值．（3）若动点P，Q分别自A，B出发的同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T不与点M，N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．23．（2020秋•龙文区校级期中）已知数轴上任章两个点的距离等于它们差的绝对值，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，关于x，y的多项﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是六次多项式，且常数项为﹣6．（1）点A到B的距离为（直接写出结果）；（2）如图1，点P是数轴上一点，且在数轴上对应的数为n，点P到A的距离是P到B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数n的值；（3）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动，（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且点Q到N的距离是点A到N距离的一半（即QN＝AN），若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，求的值．24．（2023秋•沙坪坝区校级月考）材料一：我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．材料二：若对于有理数x，a，b满足|x﹣a|+|x﹣b|＝10，则我们称x是关于a，b的“整十数”．例如：∵|5﹣2|+|5﹣12|＝10，∴5是关于2和12的“整十数”．（1）若|x﹣2|＝|x+6|，则x＝；（2）若m是关于2，6的“整十数”，则m＝；（3）数轴上有两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，且它们在5的同侧，当5是关于a，b的“整十数”时，求a+b的值．25．（2023秋•海淀区期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．例如：a3b4与2a4b3是“准同类项”．（1）给出下列三个单项式：①2a4b5，②3a2b5，③﹣4a4b4．其中与a4b5是“准同类项”的是（填写序号）．（2）已知A，B，C均为关于a，b的多项式，A＝a4b5+3a3b4+（n﹣2）a2b3，B＝2a2b3﹣3a2bn+a4b5，C＝A﹣B．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值．（3）已知D，E均为关于a，b的单项式，D＝2a2bm，E＝3anb4，其中m＝|x﹣1|+|x﹣2|+k，n＝k（|x﹣1|﹣|x﹣2|），x和k都是有理数，且k＞0．若D与E是“准同类项”，则x的最大值是，最小值是．26．（2022秋•深圳校级期末）数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式x3y﹣2xy+5的二次项系数为a，常数项为b．（1）直接写出：a＝，b＝．（2）数轴上点A、B之间有一动点P，若点P对应的数为x，试化简|2x+4|+2|x﹣5|﹣|6﹣x|；（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，请直接写出经过秒后，M、N两点相距1个单位长度，并选择一种情况计算说明．27．（2020秋•青田县期末）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点．（1）用1个单位长度表示1cm，请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置；（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝cm．（3）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．28．（2021秋•郫都区校级月考）若用A、B、C分别表示有理数a、b、c，0为原点如图所示．已知a＜c＜0，b＞0．（1）化简|a﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|；（2）|﹣a+b|﹣|﹣c﹣b|+|﹣a+c|29．（2021秋•宁明县期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣1；a1；cb．（2）化简：|b+1|+|a﹣1|﹣|c﹣b|．30．（2021秋•西城区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．（1）用“＜”连接：0，a，b，c；（2）化简代数式：3|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+2|b﹣c|．31．（2021秋•拜泉县期中）（1）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到的距离；（2）若|a|＝﹣a，则a0；（3）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简|a|+|b|+|a+b|．32．（2021秋•工业园区校级期中）有理数a＜0、b＞0、c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，（1）在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中．（2）化简：|2a﹣b|+|b﹣c|﹣2|c﹣a|．33．（2022秋•达川区校级期末）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．（1）3与是关于1的平衡数，5﹣x与是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．34．（2021秋•金平区校级期末）已知含字母x，y的多项式是：3[x2+2（y2+xy﹣2）]﹣3（x2+2y2）﹣4（xy﹣x﹣1）（1）化简此多项式；（2）小红取x，y互为倒数的一对数值代入化简的多项式中，恰好计算得多项式的值等于0，那么小红所取的字母y的值等于多少？（3）聪明的小刚从化简的多项式中发现，只要字母y取一个固定的数，无论字母x取何数，代数式的值恒为一个不变的数，请你通过计算求出小刚所取的字母y的值．35．（2021秋•凤凰县期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；（2）写出一个“相伴数对”（a，b），其中a≠0，且a≠1；（3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m﹣﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值．36．（2022秋•阜平县期末）佳佳做一道题“已知两个多项式A，B，计算A﹣B”．佳佳误将A﹣B看作A+B，求得结果是9x2﹣2x+7．若B＝x2+3x﹣2，请解决下列问题：（1）求出A；（2）求A﹣B的正确答案．37．（2020秋•怀安县期末）已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．（1）计算B的表达式；（2）求正确的结果的表达式；（3）小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a＝，b＝，求（2）中代数式的值．38．（2022秋•青羊区期末）已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1）（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值．39．（2021秋•栾城区校级期末）已知整式M＝x2+5ax﹣x﹣1，整式M与整式N之差是3x2+4ax﹣x（1）求出整式N；（2）若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值．40．（2021秋•扶沟县期末）一般情况下+＝不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0，我们称使得+＝成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；（2）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m﹣10n﹣2（5m﹣3n+1）的值．41．（2022秋•平原县校级期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用：（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是．（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；拓展探索：（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．42．（2020秋•海珠区期末）已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．（1）求3a+b﹣2c的值；（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．（3）当x＝﹣1时，求式子的值．43．（2020秋•路北区期末）已知含字母a，b的代数式是：3[a2+2（b2+ab﹣2）]﹣3（a2+2b2）﹣4（ab﹣a﹣1）（1）化简代数式；（2）小红取a，b互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于0，那么小红所取的字母b的值等于多少？（3）聪明的小刚从化简的代数式中发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小刚所取的字母b的值是多少呢？44．（2022秋•锡山区期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：当a+b为偶数时，规定a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|；当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|．（1）当a＝2，b＝﹣4时，求a⊙b的值．（2）已知a＞b＞0，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，求式子（a﹣b）+（a+b﹣1）的值．（3）已知（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，求a的值．45．（2022秋•沙坪坝区校级期末）一个四位数m＝1000a+100b+10c+d（其中1≤a，b，c，d≤9，且均为整数），若a+b＝k（c﹣d），且k为整数，称m为“k型数”．例如，4675：4+6＝5×（7﹣5），则4675为“5型数”；3526：3+5＝﹣2×（2﹣6），则3526为“﹣2型数”．（1）判断1731与3213是否为“k型数”，若是，求出k；（2）若四位数m是“3型数”，m﹣3是“﹣3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，求满足条件的所有四位数m．46．（2021秋•伊州区校级期中）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，O为原点，关于x，y的多项式﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6．（1）点A到B的距离为（直接写出结果）；（2）如图1，点P是数轴上一点，点P到A的距离是P到B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数；（3）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且点Q到N的距离是点A到N距离的一半（即QN＝AN），若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，求的值．47．（2023秋•潮南区期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|﹣|c+b|+|a﹣b|．48．（2021秋•汉川市期末）已知一个三角形的第一条边长为2a+5b，第二条边比第一条边长3a﹣2b，第三条边比第二条边短3a．（1）则第二边的边长为，第三边的边长为；（2）用含a，b的式子表示这个三角形的周长，并化简；（3）若a，b满足|a﹣5|+（b﹣3）2＝0，求出这个三角形的周长．49．（2021秋•海淀区校级期中）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣2|a﹣b|．50．（2020秋•成都期中）已知：|a﹣4|+|2a+c|+|b+c﹣1|＝0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）写出a＝；b＝；c＝．（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为：x甲，x乙，x丙，当t＞5时，求式子的值．（3）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴正方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？51．（2022秋•钢城区期末）有这样一道题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．52．（2020秋•汉川市期末）已知A﹣B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．（1）求A等于多少？（2）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求A的值．53．（2020秋•婺城区期末）已知A﹣2B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．（1）用含a，b的代数式表示A．（2）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求A的值．54．（2020秋•柳州期末）已知：A﹣2B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．（1）求A．（2）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，计算A的值．55．（2020秋•锦江区校级期末）已知M＝x2﹣ax﹣1，N＝2x2﹣ax﹣2x﹣1．（1）求N﹣（N﹣2M）的值；（2）若多项式2M﹣N的值与字母x取值无关，求a的值．56．（2021秋•邯郸期末）某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如下：解：原式＝〇+2（3y2﹣2x）﹣4（2x﹣y2）＝﹣11x+8y2（1）求破损部分的整式；（2）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，求破损部分整式的值．57．（2021秋•赵县期末）有这样一道计算题：3x2y+[2x2y﹣（5x2y2﹣2y2）]﹣5（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中x＝，y＝﹣1．小明同学把“x＝”错看成“x＝﹣”，但计算结果仍正确；小华同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．58．学习了整式的加减运算后，老师给同学们布置了一道课堂练习题“a＝﹣2，b＝2017时，求（3a2b﹣2ab2+4a）﹣2（2a2b﹣3a）+2（ab2+a2b）﹣1的值”．盈盈做完后对同桌说：“张老师给的条件b＝2017是多余的，这道题不给b的值，照样可以求出结果来．”同桌不相信她的话，亲爱的同学们，你相信盈盈的说法吗？说说你的理由．59．化简求值：（1）当a＝﹣1，b＝2时，求代数式﹣2（ab﹣3b2）﹣[6b2﹣（ab﹣a2）]的值（2）先化简，再求值：4xy﹣2（x2﹣3xy+2y2）+3（x2﹣2xy），当（x﹣3）2+|y+1|＝0，求式子的值（3）若（2mx2﹣x+3）﹣（3x2﹣x﹣4）的结果与x的取值无关，求m的值60．（1）先化简，再求值：当（x﹣2）2+|y+1|＝0时，求代数式4（x2﹣3xy﹣y2）﹣3（x2﹣7xy﹣2y2）的值；（2）关于x的代数式（x2+2x）﹣[kx2﹣（3x2﹣2x+1）]的值与x无关，求k的值．

猜想02有理数与整式加减综合之数轴上动点、绝对值问题、探究规律、新定义（解答60题专练）一．解答题（共60小题）1．（2022秋•海珠区校级期末）我们知道，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，数轴上P、Q两点所对应的数分别是m、n，那么P、Q两点之间的距离PQ＝|m﹣n|．已知代数式ax3﹣2x2﹣2x+10x2+6x3+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b．（1）a＝﹣6，b＝8，AB两点之间的距离为14（只填结果，不用写出解答过程）；（2）有一动点P从点B出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动到2022次时，求P点在数轴上所对应的有理数．（3）在（2）的条件下，点P会不会在某次运动后恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若可能，求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动后，若不可能，请说明理由．【分析】（1）由题意a+6＝0，b＝8，分别求出a、b即可求解；（2）由题意可得P点每运动两次，向右运动1个单位长度，先求出第1998次运动后P点表示1007，再求第1999次运动后P点表示1007﹣1999＝﹣992；（3）设P点表示的数为x，分三种情况讨论：当P点在A点左侧时，﹣6﹣x＝3（8﹣x），解得x＝15（舍去）；当P点在B点右侧时，此时x+6＝3（x﹣8），解得x＝15，此时P点运动14次；当P点在AB之间时，此时x+6＝3（8﹣x），解得x＝4.5（舍去）．【解答】解：（1）由题意可得，a+6＝0，∴a＝﹣6，∵二次项的系数为b，∴b＝8，∴AB＝14，故答案为：﹣6，8，14；（2）由题意可知，第一、二次运动后P点向运动1个单位长度，第三、四次运动后P点向右运动1个单位长度，…，∴P点每运动两次，向右运动1个单位长度，∵2022÷2＝1011，∴第2022次运动后，P点向右运动1011个单位长度，∵B点表示8，∴第2022次运动后P点表示1019；（3）点P会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，理由如下：设P点表示的数为x，当P点在A点左侧时，x＜﹣6，此时﹣6﹣x＝3（8﹣x），∴x＝15（舍去）；当P点在B点右侧时，x＞8，此时x+6＝3（x﹣8），∴x＝15，此时P点运动14次；当P点在AB之间时，﹣6＜x＜8，此时x+6＝3（8﹣x），∴x＝4.5，∵x表示的数为整数，∴x＝4.5（舍去）；综上所述：P点表示的数是15，是第14次运动．【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键．2．（2022秋•石狮市期末）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式5x3﹣3x2+2x是“和谐多项式”：多项式﹣3xy2+2x2y﹣x3是y的“和谐多项式”．（1）把多项式﹣3x3+2x﹣4x2+5x4按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？（2）若关于a、b的多项式ka3b3﹣2a2b+3ab2﹣5b4是b的“和谐多项式”，求k的值；（3）已知M、N均为关于x、y的整系数三次三项式，其中M＝x2y+xy2+nx3，N＝﹣x2y﹣mxy2+4y3．若新多项式M﹣N是“和谐多项式”，且m＜n，求代数式2022m2+8088m﹣1的值．【分析】（1）用和谐多项式的定义即可判断．（2）按b的降幂排列后，由和谐多项式的定义可知3＜|k|＜5，即可求得，（3）计算出M﹣N后，分情况分别讨论，求得m的值，代入整式即可求得式子的值．【解答】解：（1）按x的降幂排列：5x4﹣3x3﹣4x2+2x+5，∵|﹣3|＝3，|﹣4|＝4，∴|﹣3|＜|﹣4|，∴多项式﹣3x3+2x﹣4x2+5x4不是“和谐多项式”，（2）把多项式ka3b3﹣2a2b+3ab2﹣5b4按b的降幂排列为﹣5b4+ka3b3+3ab2﹣2a2b，∵多项式ka3b3﹣2a2b+3ab2﹣5b4是b的“和谐多项式”，∴3＜|k|＜5，又∵k为整数，∴k＝±4，（3）M﹣N＝（x2y+xy2+nx3）﹣（﹣x2y﹣mxy2+4y3），＝x2y+xy2+nx3+x2y+mxy2﹣4y3，＝nx3+2x2y+（1+m）xy2﹣4y3，∵|2|＜|﹣4|，∴M﹣N不是x的和谐多项式，把x2y+xy2+nx3+x2y+mxy2﹣4y3按y的降幂排列为﹣4y3+（1+m）xy2+2x2y+nx3，由题意可得，|﹣4|＞|1+m|＞|2|＞|n|，∴|1+m|＝3，|n|＝1，而m＜n，∴1+m＝﹣3，∴m＝﹣4，∴2022m2+8088m﹣1，＝2022×16﹣8088×4﹣1，＝﹣1．【点评】本题考查整式的加减，有理数的大小比较，有理数的混合运算，对新定义的正确理解是本题解题的关键．3．（2022秋•忠县期末）已知多项式．（1）化简已知多项式；（2）若a，b满足，求已知多项式的值．【分析】（1）根据整式加减的法则，先去括号，然后合并同类项化简多项式即可；（2）根据非负数的性质求出a和b，然后计算多项式的值即可．【解答】解：（1）＝5ab2﹣（4a2b﹣3ab+5ab2+ab）+2a2b＝5ab2﹣4a2b+3ab﹣5ab2﹣ab+2a2b＝2ab﹣2a2b；（2）∵，∴a﹣6＝0，b+＝0，解得a＝6，b＝﹣，∴原式＝2ab﹣2a2b＝2×6×（﹣）﹣2×6＝﹣3+18＝15．【点评】本题考查了整式的加减以及非负数的性质，解题的关键是掌握整式加减的运算法则．整式的加减实质上就是合并同类项．4．（2020秋•咸丰县期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，O为原点．关于x，y的多项式﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6．（1）点A到B的距离为8（直接写出结果）；（2）如图1，点P是数轴上一点，点P到A的距离是P到B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数；（3）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且点Q是线段AN的中点．若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，求的值．【分析】（1）根据多项式的概念可得a、b的值，由两点间距离公式可得答案；（2）分两种情况：①当P点在A、B两点之间时；②当点P在B点的右侧时分别解答即可；（3）根据动点运动速度和时间表示线段的长，再根据Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值与t值无关即可求解．【解答】解：（1）∵关于x，y的多项式﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6，∴1+b＝6，2a＝﹣6，∴a＝﹣3，b＝5，∵点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，∴点A到B的距离|﹣3﹣5|＝8，故答案为：8．（2）设P点在数轴上对应的数为x．①当P点在A、B两点之间时：x﹣（﹣3）＝3（5﹣x），②当点P在B点的右侧时：x﹣（﹣3）＝3（x﹣5），∴x＝9，∴P点在数轴上对应的数为3或9．（3）根据题意得：AN＝8﹣v2t，AQ＝，AM＝3﹣v1t，∴QM＝AQ﹣AM，QM＝，QM＝，QM＝，∵在M，N运动过程中Q到M的距离为一个固定值，∴QM的值与t的值无关，∴，∴．【点评】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．理解多项式定义是关键．5．（2022秋•海门市期末）（1）在数轴上有理数a，b，c所对应的点位置如图，化简：|a+b|﹣|2a﹣c|+2|b+c|；（2）已知多项式A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6．化简：4A﹣3B．【分析】（1）根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果；（2）把A与B代入原式，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）由数轴可得：a＜b＜0＜c，|b|＜|c|＜|a|，∴a+b＜0，2a﹣c＜0，b+c＞0，则原式＝﹣a﹣b+2a﹣c+2b+2c＝a+b+c；（2）∵A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6，∴4A﹣3B＝4（2x2﹣xy）﹣3（x2+xy﹣6）＝8x2﹣4xy﹣3x2﹣3xy+18＝5x2﹣7xy+18．【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．6．（2022秋•钦州期末）化简已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：（1）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|（2）若a的绝对值的相反数是﹣2，﹣b的倒数是它本身，c2＝4，求﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）的值．【分析】（1）根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果；（2）根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+b＞0，c﹣b＜0，b﹣a＜0，∴原式＝a+b+c﹣b﹣b+a＝2a﹣b+c；（2）由题意，得a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2，∴﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）＝﹣a+2b+c﹣a﹣b+c＝﹣2a+b+2c＝﹣4﹣1﹣4＝﹣9．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．（2022秋•凤翔县期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用代数式表示为：|4﹣（﹣3）|．根据以上阅读材料探索下列问题：（1）数轴上表示3和9的两点之间的距离是6；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是7；（直接写出最终结果）（2）①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，则x的值为2或﹣6；②若x为数轴上某动点表示的数，则式子|x+1|+|x﹣3|的最小值为4．【分析】（1）根据阅读材料中的方法求出3和9，以及2和﹣5之间的距离即可；（2）①根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值；②|x+1|表示x与﹣1两点之间的距离，|x﹣3|表示x与3两点之间的距离，求出原式最小值即可．【解答】解：（1）数轴上表示3和9的两点之间的距离是6；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是7；（2）①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，即|x+2|＝4，解得：x＝2或﹣6；②若x为数轴上某动点表示的数，|x+1|表示x与﹣1两点之间的距离，|x﹣3|表示x与3两点之间的距离，当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|的最小值为4．故答案为：（1）7；（2）①2或﹣6；②4．【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，数轴，以及有理数的加减混合运算，熟练掌握阅读材料中求数轴上两点之间的距离方法是解本题的关键．8．（2022秋•青川县期末）已知M＝（a+18）x3﹣6x2+12x+5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c．如图，在数轴上点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，O为原点，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点C运动，设运动时间为ts．（1）a＝﹣18，b＝﹣6，c＝12．（2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴上点O和点C之间往复运动．①当t为何值时，点Q第一次与点P重合？②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的数．③设点P，Q所对应的数分别是m，n，当6＜t＜8时，|c﹣n|+|b﹣m|＝8，求t的值．【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；（2）①点P到点B用时6秒，到点O用时3秒，点Q运动18个单位长度在OC的中点处，根据第一次相遇，列方程求解即可；②求得运动时间，然后由运动路程＝时间x速度解答；③当6＜t＜8时，确定m，n的值，利用绝对值的性质即可解决问题．【解答】解：（1）根据二次多项式的定义可得：a+18＝0，即a＝﹣18，b＝﹣6，c＝12，故答案为：﹣18，﹣6，12；（2）①∵点A表示的数是﹣18，点B表示的数是﹣6，∴AB＝﹣6﹣（﹣18）＝12，∴点P从点A到点B用时t＝12÷2＝6（秒），点P从点B到点O用时t＝6÷2＝3（秒），此时点Q运动的长度为：6x3＝18个单位长度，∴点Q在OC的中点，设再经过t1秒两点第1次重合，则有，2t1+6t1＝6，解得：t1＝，∴t总＝6+3+＝（秒）；②∵点A表示的数是﹣18，点C表示的数是12，∴AC＝12﹣（﹣18）＝30，∴点P从点A到点C用时：30÷2＝15（秒），则点Q一共运动（15﹣6）×6＝54个单位长度，54÷12＝4......6，∴点Q在数轴上表示的有理数为：6；③当6＜t＜8时，点P在BO上，点Q在OC上运动，则|c﹣n|+|b﹣m|＝8，12﹣6（t﹣6）+（m﹣b）＝8，12﹣6t+36+[﹣6+2（t﹣6）+6]＝8，12﹣6t+36+2t﹣12＝8，﹣4t+36＝8，t＝7．【点评】本题考查了多项式、一元一次方程的应用，相反数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．9．（2022秋•滦州市期末）如图，A、B、P三点在数轴上，点A对应的数为多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数，点B对应的数为单项式5m2n4的次数，点P对应的数为x．（1）请直接写出点A和点B在数轴上对应的数；（2）请求出点P对应的数x，使得P点到A点，B点距离和为10．【分析】（1）根据多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数是﹣2，单项式5m2n4的次数是6得到A、B两点表示的数；（2）根据点P的位置不同，分三种情况分别求解即可．【解答】解：（1）∵多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数是﹣2，∴点A对应的数为﹣2，∵单项式5m2n4的次数是6，∴点B对应的数为6．∴点A对应的数为﹣2，点B对应的数为6．（2）若点P在A点左侧，∵P点到A点，B点距离和为10，∴﹣2﹣x+6﹣x＝10，解得x＝﹣3；若点P在A点、B点中间，∵AB＝8，∴不存在这样的点P；若点P在B点右侧，∵P点到A点，B点距离和为10，∴x﹣（﹣2）+x﹣6＝10，解得x＝7．∴点P对应的数x为﹣3或7．【点评】本题考查两点之间的距离，多项式的项及系数，单项式的次数，一元一次方程的应用，本题运用了分类讨论的方法．掌握相关的定义是解题的关键．10．（2022秋•海珠区期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式2x2﹣4x+1的一次项系数，b是最大的负整数，单项式xy的次数为c．（1）a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2；（2）若将数轴在点B处折叠，则点A与点C能重合（填“能”或“不能”）；（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【分析】（1）根据多项式的项，单项式的次数及负整数的概念确定a，b，c的值；（2）根据两点间距离公式分别求得AB和BC的长，从而作出判断；（3）根据运动方向和运动速度分别表示出点A，点B，点C在数轴上坐标是的数，然后根据两点间距离公式表示出AB和BC的长，从而利用整式的加减运算法则进行化简求值．【解答】解：（1）∵多项式2x2﹣4x+1的一次项为﹣4x，∴其一次项系数为﹣4，即a＝﹣4，∵b是最大的负整数，∴b＝﹣1，∵单项式xy的次数为2，∴c＝2，故答案为：﹣4；﹣1；2；（2）∵点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，∴AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，BC＝2﹣（﹣1）＝3，∴AB＝BC，∴若将数轴在点B处折叠，则点A与点C能重合，故答案为：能；（3）由题意可得：t秒钟过后，①当0≤t≤10时，点A在数轴上表示的数为﹣4﹣0.4t，点B在数轴上所表示的数为﹣1﹣0.3t，点C在数轴上所表示的数为2﹣0.2t，∴5AB﹣BC＝5[（﹣1﹣0.3t）﹣（﹣4﹣0.4t）]﹣[（2﹣0.2t）﹣（﹣1﹣0.3t）]＝12+0.4t，即当0≤t≤10时，5AB﹣BC的值会随着t的变化而变化，②当t＞10时，点A在数轴上表示的数为﹣4﹣0.4t，点B在数轴上所表示的数为﹣1﹣0.3t，点C在数轴上所表示的数为0.2t﹣2，∴5AB﹣BC＝5[（﹣1﹣0.3t）﹣（﹣4﹣0.4t）]﹣[（0.2t﹣2）﹣（﹣1﹣0.3t）]＝16，即当t＞10时，5AB﹣BC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16，综上，当0≤t≤10时，5AB﹣BC的值会随着t的变化而变化，t＞10时，5AB﹣BC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16．【点评】本题查看数轴上两点间的距离，多项式的项，单项式的系数和次数及整式加减的应用，理解多项式的项和单项式系数及次数的概念，利用分类讨论思想解题是关键．11．（2021秋•平昌县期末）我们知道，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，数轴上P、Q两点所对应的数分别是m、n，那么P、Q两点之间的距离PQ＝|m﹣n|．已知代数式ax3﹣2x2﹣2x+10x2+6x3+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b．（1）a＝﹣6，b＝8，AB两点之间的距离为14；（2）有一动点P从点B出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动到1999次时，求P点所对应的有理数．（3）在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若可能，求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动，若不可能，请说明理由．【分析】（1）由题意a+6＝0，b＝8，分别求出a、b即可求解；（2）由题意可得P点每运动两次，向右运动1个单位长度，先求出第1998次运动后P点表示1007，再求第1999次运动后P点表示1007﹣1999＝﹣992；（3）设P点表示的数为x，分三种情况讨论：当P点在A点左侧时，﹣6﹣x＝3（8﹣x），解得x＝15（舍去）；当P点在B点右侧时，此时x+6＝3（x﹣8），解得x＝15，此时P点运动14次；当P点在AB之间时，此时x+6＝3（8﹣x），解得x＝5.5（舍去）．【解答】解：（1）由题意可得，a+6＝0，∴a＝﹣6，∵二次项的系数为b，∴b＝8，∴AB＝14，故答案为：﹣6，8，14；（2）由题意可知，第一、二次运动后P点向运动1个单位长度，第三、四次运动后P点向右运动1个单位长度，…，∴P点每运动两次，向右运动1个单位长度，∵1999÷2＝999…1，∴第1998次运动后，P点向右运动999个单位长度，∵B点表示8，∴第1998次运动后P点表示1007，∴第1999次运动后P点表示1007﹣1999＝﹣992；（3）点P会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，理由如下：设P点表示的数为x，当P点在A点左侧时，x＜﹣6，此时﹣6﹣x＝3（8﹣x），∴x＝15（舍去）；当P点在B点右侧时，x＞8，此时x+6＝3（x﹣8），∴x＝15，此时P点运动14次；当P点在AB之间时，﹣6＜x＜8，此时x+6＝3（8﹣x），∴x＝5.5，∵x表示的数为整数，∴x＝5.5（舍去）；综上所述：P点表示的数是15，是第14次运动．【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键．12．（2022秋•南川区期末）对每个数位数字均不为零且互不相等的一个三位正整数x，若x的十位数字与个位数字的和是百位数字的两倍，我们就称x为“翻倍数”．把一个“翻倍数”的百位、十位、个位上的数字之和称为这个“翻倍数”的“聚集数”，如231，因为3+1＝2×2，所以231是“翻倍数”，231的“聚集数”为3+2+1＝6．（1）判断422与537是不是“翻倍数”，若是“翻倍数”，请求出它的“聚集数”；若不是，请说明理由；（2）若一个“翻倍数”的“聚集数”为12，求满足条件的所有“翻倍数”．【分析】（1）根据“翻倍数”和“聚集数”的定义即可判断；（2）先求出百位数，再根据定义得出所有可能的十位数和个位数．【解答】解：（1）∵2+2≠4×2，∴422不是“翻倍数”，∵3+7＝5×2，∴537是“翻倍数”，537的“聚集数”为5+3+7＝15；（2）∵“翻倍数”的十位数字与个位数字的和是百位数字的两倍，“翻倍数”的“聚集数”为12，∴12÷3＝4，∴满足条件的“翻倍数”百位数是4，十位与个位数字之和为8，十位数字与个位数字不为零且不相等即可．∴满足条件的所有“翻倍数”是417、426、435、453、462、471．【点评】本题考查了新定义运算，培养了学生对新定义的阅读理解能力．13．（2022秋•江北区校级期末）若一个四位正整数，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为t的“知行数”，记为K（t），“知行数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“合一数”，记为P（t），例如：3521的“知行数”为K（3521）＝3×5+521＝536，3521的“合一数”P（3521）＝5×5+36＝61．（1）K（2134）＝144；P（2134）＝149；（2）若一个四位数t＝6000+100a+40+b（其中0≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），且满足能被11整除，求该四位数．【分析】（1）根据“知行数”和“合一数”的定义即可求解；（2）根据题意可表示出K（t＝100a+70+b，）和P（t）＝105a+140+2b，则K（t）+P（t）＝105a+140+2b，根据能被11整除可得K（t）+P（t）能被33整除，即105a+140+2b＝（99a+132）+（6a+2b+8）能被33整除，则6a+2b+8能被33整除，再根据a，b的取值范围进行取值，以此即可解答．【解答】解：（1）K（2134）＝2×5+134＝144，P（2134）＝1×5+44＝49；故答案为：144，49；（2）由题意得，K（t）＝6×5+100a+40+b＝100a+70+b，P（t）＝a×5+70+b＝5a+70+b，∴K（t）+P（t）＝100a+70+b+5a+70+b＝105a+140+2b，∵能被11整除，∴K（t）+P（t）能被33整除，即105a+140+2b能被33整除，∵105a+140+2b＝（99a+132）+（6a+2b+8），∴6a+2b+8能被33整除，∵0≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数，∴8≤6a+2b+8≤80，∴6a+2b+8＝33或6a+2b+8＝66，①当6a+2b+8＝33时，此时不存在符合题意的a，b，②6a+2b+8＝66时，a＝7，b＝8或a＝8，b＝5或a＝9，b＝2，综上，该四位数为6748或6845或6942．【点评】本题主要考查因式分解的应用、整式的加减，理解新定义并熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键．14．（2021秋•曾都区期末）已知多项式（a+2）x3+8x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．（1）填空：a＝﹣2，b＝8，线段AB的长度为10；（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，C是线段PB的中点．当t＝2时，求线段BC的长度；（3）D是线段AB的中点，若在数轴上存在一点M，使得AM＝BM，求线段MD的长度．【分析】（1）根据多项式的定义即可得到a，b的值，再结合数轴可求得AB的长度；（2）先求出AP的长度，则PB＝AB﹣AP，再根据C是PB的中点，求出BC的长度；（3）根据D是AB的中点可求出BD，再分两种情况列方程求解：①当点M在线段AB上时，②当点M在AB的延长线上时．【解答】解：（1）由题意知a+2＝0，b＝8，所以a＝﹣2，b＝8，所以AB＝8﹣（﹣2）＝10；（2）由题意知AP＝2t，当t＝2时，AP＝4，所以PB＝AB﹣AP＝6，又因为C是PB的中点，所以．（3）因为D是AB的中点，AB＝10，所以BD＝5，显然点M不可能在点A左边．设BM的长为x，则．分两种情况讨论：①当点M在线段AB上时，则有AM+BM＝AB，所以，解得x＝4，即BM＝4，所以MD＝BD﹣BM＝1；②当点M在AB的延长线上时，则有AM﹣BM＝AB，所以，解得x＝20，即BM＝20，所以MD＝BD+BM＝25．综上所述，线段MD的长度为1或25．【点评】本题主要考查多项式和数轴，根据点的运动特点或位置，表示出相应线段的长度是解题的关键．15．（2021秋•惠城区期末）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点的距离可表示为AB＝|a﹣b|．根据以上信息回答下列问题：已知多项式2x3y2z﹣3x2y2﹣4x+1的次数是b，且2a与b互为相反数，在数轴上，点O是数轴原点，点A表示数a，点B表示数b．设点M在数轴上对应的数为m．（1）由题可知：A，B两点之间的距离是9．（2）若满足AM+BM＝12，求m．（3）若动点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出M所对应的数m．【分析】（1）根据题意可得a＝﹣3，b＝6，则AB＝9；（2）对点M的位置进行分类讨论，并用m表示出MA和MB的长度，利用“MA+MB＝12”列出方程即可求出答案；（3）根据题意得到点M每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可．【解答】解：（1）由多项式2x3y2z﹣3x2y2﹣4x+1的次数是6，可知b＝6，又2a与b互为相反数，∴2a+b＝0，故a＝﹣3，∴A，B两点之间的距离是6﹣（﹣3）＝9，故答案为：9；（2）①当M在A左侧时，∵AM+MB＝12，∴﹣3﹣m+6﹣m＝12，解得：m＝﹣4.5；②M在A和B之间时，∵AM+MB＝AB＝9≠12，∴点M不存在；③点M在B点右侧时，∵AM+MB＝12，∴m+3+m﹣6＝12，解得：m＝7.5，综上，m的值是﹣4.5或7.5；（3）依题意得：﹣3﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+……+1008﹣1009＝﹣3+（﹣1+2）+（﹣3+4）+•••+（﹣1007+1008）﹣1009＝﹣3+504﹣1009＝﹣508，∴点M对应的有理数m为﹣508．故答案为：﹣508．【点评】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．16．（2021秋•邢台期末）如图，A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数，点B对应的数为单项式5m2n4的次数，点P对应的数为x．（1）请直接写出点A和点B在数轴上对应的数．（2）请求出点P对应的数x，使得P点到A点，B点距离和为10．（3）若点P在原点，点B和点P同时向右运动，它们的速度分别为1，4个长度单位/分钟，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【分析】（1）根据多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数是﹣2，单项式5m2n4的次数是6得到A、B两点表示的数；（2）根据P的位置不同，分三种情况分别求解；（3）分P为AB的中点和B为AP的中点两种情况．【解答】解：（1）∵多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数是﹣2，∴点A对应的数为﹣2，∵单项式5m2n4的次数是6，∴点B对应的数为6．（2）若P在A点左侧，则﹣2﹣x+6﹣x＝10，解得x＝﹣3；若P在A点、B中间，因为AB＝8，故不存在这样的点P；若P在B点右侧，则x﹣（﹣2）+x﹣6＝10，解得x＝7．故点P对应的数x为﹣3或7．（3）设第y分钟时，点B的位置为6+y，点P的位置为4y．①当P为AB的中点时，则6+y﹣4y＝4y﹣（﹣2），解得y＝；②当B为AP的中点时，则4y﹣（6+y）＝6+y﹣（﹣2），解得y＝7．故第或7分钟时，A、B、P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点．【点评】此题主要考查了中点的性质和两点之间的距离，解题时要注意分类讨论．17．（2020秋•开福区校级期末）已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．（1）a＝﹣10，b＝20，线段AB＝30；（2）若数轴上有一点C，使得AC＝BC，点M为AB的中点，求MC的长；（3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE＝GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．【分析】（1）由题意直接可求解；（2）①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：﹣10+t，点H表示的数为：20+t，根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG＝BG得EG的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得DE和DF的长，相加可得结论．【解答】解：（1）由题意知：a+10＝0，b＝20，∴a＝﹣10，∴AB的距离为20﹣（﹣10）＝30；故答案为﹣10，20，30；（2）分两种情况：①当点C在AB之间时，如图1，∵AC＝BC，AB＝30，∴AC＝18，∵M是AB的中点，∴AM＝15，∴CM＝18﹣15＝3；②当点C在点B的右侧时，如图2，∵AC＝BC，AB＝30，∴AC＝90，∵AM＝15，∴CM＝90﹣15＝75；综上，CM的长是3或75；（3）由题意得：点G表示的数为：﹣10+t，点H表示的数为：20+t，∵t＜30，AB＝30，∴点G在线段AB之间，∵D为BG的中点，∴点D表示的数为：＝5+t，∵F是DH的中点，∴点F表示的数为：＝，∵BG＝20﹣（﹣10+t）＝30﹣t，∵EG＝BG，∴EG＝＝10﹣t，∴点E表示的数为：﹣10+t+10﹣t＝t，∴DE+DF＝（5+t）﹣t+﹣（5+t）＝．【点评】本题考查多项式和数轴；根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键．18．（2022秋•港南区期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴得出a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，即可求出答案；（2）去掉绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：（1）∵从数轴可知：a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，∴|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝c﹣b+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a＝﹣2b．【点评】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减的应用，能正确去掉绝对值符号是解（2）的关键．19．（2022秋•忠县期末）一个十位数字不为0的三位数m，若将m的百位数字与十位数字相加，所得和的个位数字放在m的个位数字右边，与m一起组成一个新的四位数，则把这个新四位数称为m的“生成数”．若再将m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉，可以得到四个三位数，则把这四个三位数之和记为S（m）．例如：m＝558，∵5+5＝10，∴558的“生成数”是5580，将5580的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是：580、580、550、558，则S（m）＝580+580+550+558＝2268．（1）写出123的“生成数”，并求S（123）的值；（2）说明S（m）一定能被3整除；（3）设m＝100x+10y+105（x，y为整数，1≤y≤x≤9且x+y≥9），若m的“生成数”能被17整除，求S（m）的最大值．【分析】（1）根据概念进行计算从而作出判断；（2）设m的百位数字、十位数字、个位数字分别为a，b，c（都是整数），由题意得：2≤a+b≤18，再分两种情况：当2≤a+b≤9时，当10≤a+b≤18时，进行分析证明；（3）由题意得，m的百位数字和十位数字和为x+y+1，并结合整除的概念及x，y的取值范围分析其最值．【解答】解：（1）1+2＝3，故123的“生成数”为1233，得另四个三位数：233，133，123，123，∴S（123）＝233+133+123+123＝612；（2）设m的百位数字、十位数字、个位数字分别为a，b，c（都是整数），由题意得：2≤a+b≤18，当2≤a+b≤9时，由m的“生成数”得到四个三位数为100b+10c+a+b，100a+10c+a+b，100a+10b+a+b，100a+10b+c，∴S（m）＝303a+123b+21c＝3（101a+41b+7c），能被3整除，当10≤a+b≤18时，由m的“生成数”得到四个三位数为100b+10c+a+b﹣10，100a+10c+a+b﹣10，100a+10b+a+b﹣10，100a+10b+c，∴S（m）＝303a+123b+21c﹣30＝3（101a+41b+7c﹣10），能被3整除．故S（m）一定能被3整除；（3）由题意得，m的百位数字和十位数字和为x+y+1，∵x+y≥9，∴m的“生成数”是1000（x+1）+100y+50+x+y+1﹣10，上式＝1001x+101y+1041＝17（59x+6y+61）﹣2x﹣y+4，由题意则必有2x+y﹣4能被17整除，要使S（m）最大，则x取最大，∵x+1是千位数字，∴x+1≤9，∴x≤8，∴x＝8，∴2x+y﹣4＝12+y能被17整除，∵1≤y≤x≤9，∴y＝5，∴m的最大值为955，则m的“生成数”为9554，∴S（m）的最大值为554+954+954+955＝3417．【点评】本题考查了整式的加减，属于新定义题目，理解新定义概念，掌握整式加减的运算法则是解题关键．20．（2022秋•北碚区校级期末）阅读材料，完成下列问题：材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”．材料二：将一位四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，F（M）＝．（1）F（1756）＝20；F（2389）＝﹣50；（2）试证明任意重叠数M的F（M）一定为10的倍数；（3）若一个“重叠数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5