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文档简介
清单04几何图形初步(14个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦)【知识导图】【知识清单】考点一、柱、锥、球立体图形:有些几何图形(圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等)各部分不在一个平面内,这样的图形叫立体图形。棱柱、棱锥是常见的立体图形。生活中常见的物体都是立体图形.【例1】(2022秋•甘井子区校级期末)下列四个几何体中,是棱柱的是()A. B. C. D.【变式】(2022秋•洛江区期末)三个边长分别为a、b、c的正方形如图摆放,则阴影部分的周长()A.只与a,b有关 B.只与a、c有关 C.只与b、c有关 D.与a,b、c有关考点二.正方体的表面展开图正方形展开图的知识要点:1.正方体的表面展开图一共有11种可能。第一类:有6种。特点:是4个连成一排的正方形,其两侧各有一个正方形.简称“141型”第二类:有3种。特点:是有3个连成一排的正方形,其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”第三类:仅有一种。特点:是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形;简称“222型”第四类:仅有1种,三个连成一排的正方形的一侧,还有3个连成一排的正方形,可简称“33型”注:正方体展开图中不能出现“7”字,“凹”字,“田”字形,如下图:2.正方体展开图找相对面的方法:(1)中间隔“一”是对面:中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面;(2)“Z”字两端是对面:呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面;(3)间二、拐角邻面知:中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面,呈拐角形状的三个小正方形,只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。【例2】(2022秋•灵宝市期末)如图所示的正方体的展开图是()A. B. C. D.【变式】(2022秋•洪山区期末)下列图形中,能够折叠成一个正方体的是()A. B. C. D.考点三.其他立体图形的展开图常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊:球没有展开图①圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)。②圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)【例3】(2022秋•广阳区校级期末)如图所示为几何体的平面展开图,则从左到右,其对应的几何体名称分别为()A.圆柱,圆锥,四棱柱,正方体 B.四棱锥,圆锥,正方体,圆柱 C.圆柱,圆锥,正方体,三棱锥 D.圆柱,圆锥,三棱柱,正方体【变式】.(2022秋•灵宝市期末)下列四张正方形硬纸片,分别将阴影部分剪去后,再沿虚线折叠,其中可以围成一个封闭长方体包装盒的是()A. B. C. D.考点四.点、线、面、体之间的转化1.几何体是由点、线、面构成的.2.线分为直线和曲线,面分为平面和曲面.3.点、线、面之间的关系:点动成线,线与线相交成点;线动成面,面与面相交成线;面动成体,体是由面组成.【例4】(2022秋•磁县期末)下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是()A. B. C. D.考点五、直线、射线、线段的联系与区别注意:表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置.【例5】(2023春•东平县期末)平面上有三点A、B、C,如果AB=10,AC=7,BC=3,那么()A.点C在线段AB上 B.点C在线段AB的延长线上 C.点C在直线AB外 D.点C可能在直线AB上,也可能在直线AB外【变式】(2022秋•渌口区期末)下列几何图形与相应语言描述相符的是()A.如图1所示,延长线段BA到点C B.如图2所示,射线CB不经过点A C.如图3所示,直线a和直线b相交于点A D.如图4所示,射线CD和线段AB没有交点考点六、计数问题1.平面上有个点,其中任意三点不在一条直线上,则最多确定的直线条数为:.2.若在线段AB上增加一点,则增加2条线段,此时线段总条数为1+2;若再增加一点,则又增加了3条线段,此时线段总条数为1+2+3;…;当线段AB上增加到n个点(即增加n-2个点)时,线段的总条数为.用到类似知识点问题:单循环比赛场数问题、双循环比赛场数问题、握手次数问题、多边形对角线条数问题、车站设计票价问题等.【例6】.如图,线段上的点数与线段的总数有如下关系:如果线段上有3个点时,线段共有3条;如果线段上有4个点时,线段共有6条;如果线段上有5个点时,线段共有10条;……(1)当线段上有6个点时,线段共有______条;(2)当线段上有个点时,线段共有多少条?(用含的代数式表示)【变式】已知线段MN,在MN上逐一画点(所画点与M、N不重合),当线段上有1个点时,共有3条线段,当线段上有2个点时,共有6条线段;当线段上有3个点时,共有10条线段;直接写出当线段上有20个点时,共有线段条.考点七、基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线.(2)线段的性质:两点之间,线段最短.细节剖析①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如:要在墙上固定一个木条,只要两个钉子就可以了,因为如果把木条看作一条直线,那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度,叫做两点间的距离.【例7】.(2022秋•衡东县期末)平面上有不同的三个点,经过其中任意两点画直线,一共可以画()A.1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条【变式1】.(2022秋•梅里斯区期末)在平面内,过()点可以确定一条直线.A.一 B.两 C.三 D.四【变式2】.(2022秋•许昌期末)如图,建筑工人砌墙时,经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线,使砌的每一层砖在一条直线上,这样做蕴含的数学原理是()A.过一点有无数条直线 B.两点确定一条直线 C.两点之间线段最短 D.线段是直线的一部分【例8】.(2022秋•衡南县期末)如图,把弯曲的河道改直,能够缩短航程.这样做根据的道理是()A.两点之间,线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间,直线最短 D.两点确定一条线段【变式】(2022秋•东洲区校级期末)如图,一只蚂蚁外出觅食,它与食物间有三条路径,从上到下依次记为①,②,③,则蚂蚁选择第②条路径的理由是()A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.经过一点有无数条直线 D.两点之间线段的长度叫做两点间的距离【例9】.(2022秋•绥宁县期末)如图,AB=12,C为AB的中点,点D在线段AC上,且AD:CB=1:3,则DB的长度为()A.4 B.6 C.8 D.10【变式】.(2022秋•武陵区期末)如图,C为线段AD上一点,点B为CD的中点,且AD=8cm,BD=2cm,求AC的长.考点八.画一条线段等于已知线段(1)度量法:可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.(2)用尺规作图法:用圆规在射线AC上截取AB=a,如下图:【例10】.(2022秋•梁山县期末)如图,已知线段a、b、c,用直尺和圆规画图(保留画图痕迹).(1)画一条线段,使它等于a+b;(2)画一条线段,使它等于a﹣c;并用字母表示出所画线段.考点九.线段的比较与运算(1)线段的比较:比较两条线段的长短,常用两种方法,一种是度量法;一种是叠合法.(2)线段的和与差:如下图,有AB+BC=AC,或AC=a+b;AD=AB-BD。(3)线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如下图,有:细节剖析①线段中点的等价表述:如上图,点M在线段上,且有,则点M为线段AB的中点.②除线段的中点(即二等分点)外,类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图,点M,N,P均为线段AB的四等分点.【例11】(2022秋•阳曲县期末)如图,用圆规比较两条线段的长短,其中正确的是()A.A'B'>A'C' B.A'B'=A'C' C.A'B'<A'C' D.不能确定【例12】如图:点C为线段AB上的一点,M、N分别为AC、BC的中点,AB=40,则MN=_____.【变式】已知:如图,点在线段上,点是中点,.求线段长【例13】如图,C为线段AB上的一点,AC:CB=3:2,D、E两点分别为AC、AB的中点,若线段DE为2cm,则AB的长为多少?考点十.角的度量(1)角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边;此外,角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2).平角与周角:如图1所示射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,所形成的角叫做平角,如图2所示继续旋转,OB和OA重合时,所形成的角叫做周角.(3)角的表示方法:角通常有三种表示方法:一是用三个大写英文字母表示,二是用角的顶点的一个大写英文字母表示,三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图:细节剖析①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义;②当一个角的顶点有多个角的时候,不能用顶点的一个大写字母来表示.(4)角度制及角度的换算1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″,以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.细节剖析①度、分、秒的换算是60进制,与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法:由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行;由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减:度加(减)度,分加(减)分,秒加(减)秒;超60进一,减一成60.(5)角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0<∠β<90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°(6)画一个角等于已知角(1)借助三角尺能画出15°的倍数的角,在0~180°之间共能画出11个角.(2)借助量角器能画出给定度数的角.(3)用尺规作图法.【例14】.(2022秋•新华区校级期末)下列四个图中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是()A. B. C. D.【变式】.(2022秋•甘肃期末)如图所示,∠AOC=90°,点B,O,D在同一直线上,若∠1=28°,则∠2的度数为()A.118° B.108° C.62° D.152°【例15】.(2022秋•娄星区期末)把8.32°用度、分、秒表示正确的是()A.8°3′2″ B.8°30′20″ C.8°18′12″ D.8°19′12″【变式】.(2022秋•雁塔区校级期末)如图,将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合,∠1=26°18',则∠2的度数是()A.26°18' B.52°20' C.56°23' D.56°18'【例16】如图,△ABC中,用尺规作图法作∠ABD=∠C,与边AC交于点D(保留作图痕迹,不用写作法)【变式】如图所示,已知锐角∠AOB及一点P.(1)过点P作OA、OB的垂线,垂足分别是M、N;(只作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)猜想∠MPN与∠AOB之间的关系,并证明.考点十一.角的比较与运算(1)角的比较方法:①度量法;②叠合法.(2)角的平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线,例如:如下图,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠1=∠2=∠AOB,或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地,还有角的三等分线等.【例17】.(2022秋•渠县校级期末)如图,射线OC,OD分别在∠AOB的内部、外部,下列结论错误的是()A.∠AOB<∠AOD B.∠BOC<∠AOB C.∠COD>∠AOD D.∠AOB>∠AOC【变式】.(2022秋•栾城区期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起.(1)若∠DCE=35°,则∠ACB的度数为;(2)若∠ACB=144°42′,则∠DCE的度数为;(3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系,并说明理由.【例18】.(2022秋•达川区校级期末)如图,点O在直线AB上,OD是∠AOC的角平分线,∠COB=42°,则∠DOC的度数是()A.59° B.60° C.69° D.70°【变式】.(2022秋•建平县期末)如图,OC平分∠AOB,若∠AOC=27°32′,则∠AOB=.【例19】.(2022秋•平泉市校级期末)把两块三角板按如图所示那样拼在一起,则∠ABC等于()A.70° B.90° C.105° D.120°【变式】.(2022秋•道县期末)如图,已知O为直线AB上一点,OC平分∠AOD,∠BOD=4∠DOE,∠COE=α,则∠BOE的度数为()A.360°﹣4α B.180°﹣4α C.α D.270°﹣3α考点十二.角的互余互补关系余角补角(1)若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角,∠2是∠1的余角.(2)若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角.(3)结论:同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等.细节剖析①余角(或补角)是两个角的关系,是成对出现的,单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个,但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系,与位置无关.④“等角是相等的几个角”,而“同角是同一个角”.【例20】.(2022秋•灵宝市期末)已知∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,则()A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠1=∠2 D.∠1=∠2=∠3【变式1】.(2022秋•绵阳期末)若一个角的余角是它的补角的,则这个角的度数是()A.30° B.60° C.120° D.150°【变式2】.(2022秋•阳西县期末)一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°,这个角为()A.20° B.30° C.40° D.50°考点十三.钟面角钟表中共有12个大格,把周角12等分、每个大格对应30°的角,分针1分钟转6°,时针每小时转30°,时针1分钟转0.5°.技巧:钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题.【例21】.(2022秋•宜城市期末)某一时刻,时钟上显示的时间是9点30分,则此时时针与分针的夹角是()A.75° B.90° C.105° D.120°【变式】.(2022秋•九龙坡区期末)当分针指向12,时针这时恰好与分针成60°的角,此时是()A.9点钟 B.10点钟 C.4点钟或8点钟 D.2点钟或10点钟考点十四.方位角以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫做方位角.细节剖析(1)方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西,三要确定旋转角度的大小.(2)北偏东45°通常叫做东北方向,北偏西45°通常叫做西北方向,南偏东45°通常叫做东南方向,南偏西45°通常叫做西南方向.(3)方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.【例22】.(2022秋•汉台区期末)如图,A地和B地都是海上观测站,A地在灯塔O的北偏东30°方向,∠AOB=100°,则B地在灯塔O的()A.南偏东40°方向 B.南偏东50°方向 C.南偏西50°方向 D.东偏南30°方向【变式】.(2022秋•和平区校级期末)如图,下列说法中错误的是()A.OA方向是北偏东30° B.OB方向是北偏西15° C.OC方向是南偏西25° D.OD方向是东南方向【核心素养提升】1.分类讨论思想1.以∠AOB的顶点O为端点引射线OC,使∠AOC:∠BOC=5:4,若∠AOB=27°,则∠AOC=______.2.如图,点在直线上,.在中,,.先将一边与重合,然后绕点顺时针方向旋转,当与重合时停止旋转.(1)当在与之间,且时,则______°.(2)试探索:在旋转过程中,与大小的差是否发生变化?若不变,请求出这个差值;若变化,请说明理由;(3)在△ODE的旋转过程中,若,试求的大小.2.直观想象-运用数形结合的思想方法解决问题3.(1)特例感知:如图1,OC、OD是内部的两条射线,若,,则°.(2)知识迁移:如图2,OC是内部的一条射线,若OM、ON分别平分和,且,则的值为.(3)类比探究:如图3,OC、OD是内部的两条射线.若OM、ON分别平分和,且,求的值.3.数学建模4.平面内有n条直线(n≥2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,最少可以得到b个交点,则a+b的值是()A. B. C. D.5.在同一平面内,两条直线相交时最多有1个交点,三条直线相交时最多有3个交点,四条直线相交时最多有6个交点,…,那么十条直线相交时最多有____个交点.4.数学运算-运用整体思想求角度或线段的长6.如图,点B在线段AC的延长线上,AC<CB,点M、N分别是AC、BC的中点,点D是AB的中点.(1)若AC=8cm,CB=10cm,求线段MN的长;(2)若AC=a,CB=b,求线段CD的长.【中考热点聚焦】热点1.角的平分线1.(2023•乐山)如图,点O在直线AB上,OD是∠BOC的平分线,若∠AOC=140°,则∠BOD的度数为.热点2.余角和补角2.(2023•北京)如图,∠AOC=∠BOD=90°,∠AOD=126°,则∠BOC的大小为()A.36° B.44° C.54° D.63°3.(2022•甘肃)若∠A=40°,则∠A的余角的大小是()A.50° B.60° C.140° D.160°4.(2022•陕西)若∠A=48°,则∠A的补角的度数为()A.42° B.52° C.132° D.142°热点3.立体图形的展开图5.(2023•威海)如图是一正方体的表面展开图.将其折叠成正方体后,与顶点K距离最远的顶点是()A.A点 B.B点 C.C点 D.D点6.(2023•扬州)下列图形是棱锥侧面展开图的是()A. B. C. D.7.(2023•陕西)如图,沿线段OA将该圆锥的侧面剪开并展平,得到的圆锥的侧面展开图是()A.三角形 B.正方形 C.扇形 D.圆8.(2023•达州)下列图形中,是长方体表面展开图的是()A. B. C. D.
清单04几何图形初步(14个考点梳理+题型解读+核心素养提升+中考聚焦)【知识导图】【知识清单】考点一、柱、锥、球立体图形:有些几何图形(圆柱、圆锥、球、长方体、正方体等)各部分不在一个平面内,这样的图形叫立体图形。棱柱、棱锥是常见的立体图形。生活中常见的物体都是立体图形.【例1】(2022秋•甘井子区校级期末)下列四个几何体中,是棱柱的是()A. B. C. D.【分析】根据棱柱的形体特征进行判断即可.【解答】解:选项A中的几何体是圆柱,因此选项A不符合题意;选项B中的几何体是三棱柱,因此选项B符合题意;选项C中的几何体是三棱锥,因此选项C不符合题意;选项D中的几何体是四棱台,因此选项D不符合题意;故选:B.【点评】本题考查认识立体图形,掌握棱柱、棱锥、圆柱、球体的形体特征是正确判断的前提.【变式】(2022秋•洛江区期末)三个边长分别为a、b、c的正方形如图摆放,则阴影部分的周长()A.只与a,b有关 B.只与a、c有关 C.只与b、c有关 D.与a,b、c有关【分析】将阴影部分横向的边和纵向的边分别往一个方向平移,从而利用周长公式可得答案.【解答】解:阴影部分的周长为:2c+2(c﹣a)=4c﹣2a.故选:B.【点评】本题考查不规则阴影部分的周长,熟练掌握平移法是解题的关键.考点二.正方体的表面展开图正方形展开图的知识要点:1.正方体的表面展开图一共有11种可能。第一类:有6种。特点:是4个连成一排的正方形,其两侧各有一个正方形.简称“141型”第二类:有3种。特点:是有3个连成一排的正方形,其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”第三类:仅有一种。特点:是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形;简称“222型”第四类:仅有1种,三个连成一排的正方形的一侧,还有3个连成一排的正方形,可简称“33型”注:正方体展开图中不能出现“7”字,“凹”字,“田”字形,如下图:2.正方体展开图找相对面的方法:(1)中间隔“一”是对面:中间相隔一个正方形的两个正方形是相对面;(2)“Z”字两端是对面:呈“Z”字形排列的四个正方形首尾两个正方形是相对面;(3)间二、拐角邻面知:中间隔两个正方形的两个正方形是相邻面,呈拐角形状的三个小正方形,只有一个相邻正方形的两个正方形是相邻面。【例2】(2022秋•灵宝市期末)如图所示的正方体的展开图是()A. B. C. D.【分析】由于三个图案交于一点,三个图案必须相邻,不能有两个在对面,依此即可求解.【解答】解:根据带有各种符号的面的特点及位置,正方体的展开图是选项D.故选:D.【点评】本题考查了几何体的展开图,解决此类问题,要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置.【变式】(2022秋•洪山区期末)下列图形中,能够折叠成一个正方体的是()A. B. C. D.【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.【解答】解:正方体的展开图的每个面都有对面,故B符合题意;故选:B.【点评】本题考查了展开图折叠成几何体,只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.考点三.其他立体图形的展开图常见的几何体的展开图有圆柱、圆锥、棱柱、正方体、棱锥。特殊:球没有展开图①圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)。②圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)③棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)【例3】(2022秋•广阳区校级期末)如图所示为几何体的平面展开图,则从左到右,其对应的几何体名称分别为()A.圆柱,圆锥,四棱柱,正方体 B.四棱锥,圆锥,正方体,圆柱 C.圆柱,圆锥,正方体,三棱锥 D.圆柱,圆锥,三棱柱,正方体【分析】根据基本几何体的展开图逐一判断.【解答】解:根据图形得:圆柱,圆锥三棱柱,正方体,故选:D.【点评】本题考查了几何体的展开图,掌握常见几何体的展开图是解题的关键.【变式】.(2022秋•灵宝市期末)下列四张正方形硬纸片,分别将阴影部分剪去后,再沿虚线折叠,其中可以围成一个封闭长方体包装盒的是()A. B. C. D.【分析】根据长方体的组成,通过结合立体图形与平面图形的相互转化,分别分析得出即可.【解答】解:A、剪去阴影部分后,组成无盖的正方体,故此选项不合题意;B、剪去阴影部分后,无法组成长方体,故此选项不合题意;C、剪去阴影部分后,无法组成长方体,故此选项不合题意;D、剪去阴影部分后,能组成长方体,故此选项正确;故选:D.【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体,培养了学生的空间想象能力.考点四.点、线、面、体之间的转化1.几何体是由点、线、面构成的.2.线分为直线和曲线,面分为平面和曲面.3.点、线、面之间的关系:点动成线,线与线相交成点;线动成面,面与面相交成线;面动成体,体是由面组成.【例4】(2022秋•磁县期末)下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是()A. B. C. D.【分析】根据“面动成体”进行判断即可.【解答】解:如图,将四边形ABCD绕AB所在的直线旋转一周,可得选项B的几何体,选项A、C、D中的几何体不能由一个平面图形绕着一条边旋转一周得到,故选:B.【点评】本题考查点、线、面、体,掌握“点动成线,线动成面,面动成体”是解决问题的关键.考点五、直线、射线、线段的联系与区别注意:表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置.【例5】(2023春•东平县期末)平面上有三点A、B、C,如果AB=10,AC=7,BC=3,那么()A.点C在线段AB上 B.点C在线段AB的延长线上 C.点C在直线AB外 D.点C可能在直线AB上,也可能在直线AB外【分析】根据AB=10,AC=7,BC=3,有AB=AC+BC进行判断即可.【解答】解:如图,在平面内,AB=10,∵AC=7,BC=3,∴点C为以A为圆心,7为半径,与以B为圆心,3为半径的两个圆的交点,由于AB=10=7+3=AC+BC,所以,点C在线段AB上,故选:A.【点评】本题考查线段、射线、直线的意义,理解点与直线的位置关系是解决问题的关键.【变式】(2022秋•渌口区期末)下列几何图形与相应语言描述相符的是()A.如图1所示,延长线段BA到点C B.如图2所示,射线CB不经过点A C.如图3所示,直线a和直线b相交于点A D.如图4所示,射线CD和线段AB没有交点【分析】由图形点和线段,射线的位置关系,直线与直线的位置关系,即可判断.【解答】解:A、点C在线段BA的延长线上,故A不符合题意;B、射线BC不经过点A,故B不符合题意;C、直线a和直线b相交于点A,正确,故C符合题意;D、射线CD和线段AB有交点,故D不符合题意,故选:C.【点评】本题考查与直线,线段,射线有关的概念,关键是掌握以上概念的特点.考点六、计数问题1.平面上有个点,其中任意三点不在一条直线上,则最多确定的直线条数为:.2.若在线段AB上增加一点,则增加2条线段,此时线段总条数为1+2;若再增加一点,则又增加了3条线段,此时线段总条数为1+2+3;…;当线段AB上增加到n个点(即增加n-2个点)时,线段的总条数为.用到类似知识点问题:单循环比赛场数问题、双循环比赛场数问题、握手次数问题、多边形对角线条数问题、车站设计票价问题等.【例6】.如图,线段上的点数与线段的总数有如下关系:如果线段上有3个点时,线段共有3条;如果线段上有4个点时,线段共有6条;如果线段上有5个点时,线段共有10条;……(1)当线段上有6个点时,线段共有______条;(2)当线段上有个点时,线段共有多少条?(用含的代数式表示)【分析】(1)由已知条件可得出线段上有6个点时的线段数的规律是,即可得出答案;(2)通过观察得知,当线段AB上有n个点时,线段总数为:,即可得出结论.【解析】解:(1)通过观察得知:当有3个点时,线段的总数为:;当有4个点时,线段的总数为:;当有5个点时,线段的总数为:;∴当有6个点时,线段的总数为:条.(2)由(1)可看出,当线段AB上有n个点时,线段总数为:条,【点睛】本题考查图形的变化规律,根据图形之间的联系找出规律是解题的关键.【变式】已知线段MN,在MN上逐一画点(所画点与M、N不重合),当线段上有1个点时,共有3条线段,当线段上有2个点时,共有6条线段;当线段上有3个点时,共有10条线段;直接写出当线段上有20个点时,共有线段条.【解答】解:由题意可得:当在MN上有20个点时,共有线段:1+2+3+…+20+21=1故答案为:231.考点七、基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线.(2)线段的性质:两点之间,线段最短.细节剖析①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如:要在墙上固定一个木条,只要两个钉子就可以了,因为如果把木条看作一条直线,那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度,叫做两点间的距离.【例7】.(2022秋•衡东县期末)平面上有不同的三个点,经过其中任意两点画直线,一共可以画()A.1条 B.2条 C.3条 D.1条或3条【分析】根据题意画出图形,即可看出答案.【解答】解:如图,经过其中任意两点画直线可以画3条直线或1条直线,故选:D.【点评】此题主要考查了直线的性质,关键是掌握两点确定一条直线.【变式1】.(2022秋•梅里斯区期末)在平面内,过()点可以确定一条直线.A.一 B.两 C.三 D.四【分析】根据两点确定一条直线进行解答即可.【解答】解:在平面内,过两点可以确定一条直线,故B正确.故选:B.【点评】本题主要考查了直线的性质,解题的关键是熟练掌握两点确定一条直线.【变式2】.(2022秋•许昌期末)如图,建筑工人砌墙时,经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线,使砌的每一层砖在一条直线上,这样做蕴含的数学原理是()A.过一点有无数条直线 B.两点确定一条直线 C.两点之间线段最短 D.线段是直线的一部分【分析】由直线公理可直接得出答案.【解答】解:建筑工人砌墙时,经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线,使砌的每一层砖在一条直线上,这种做法用几何知识解释应是:两点确定一条直线.故选:B.【点评】此题主要考查了考查了直线的性质,要想确定一条直线,至少要知道两点.【例8】.(2022秋•衡南县期末)如图,把弯曲的河道改直,能够缩短航程.这样做根据的道理是()A.两点之间,线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间,直线最短 D.两点确定一条线段【分析】把弯曲的河道改直,肯定为了尽量缩短两地之间的里程,用到了两点之间线段最短定理.【解答】解:因为两点之间线段最短,把弯曲的河道改直,能够缩短航程.故选:A.【点评】此题主要考查了线段的性质,关键是掌握两点之间线段最短.【变式】(2022秋•东洲区校级期末)如图,一只蚂蚁外出觅食,它与食物间有三条路径,从上到下依次记为①,②,③,则蚂蚁选择第②条路径的理由是()A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.经过一点有无数条直线 D.两点之间线段的长度叫做两点间的距离【分析】根据两点之间线段最短解答.【解答】解:一只蚂蚁外出觅食,它与食物间有三条路径,从上到下依次记为①,②,③,则蚂蚁选择第②条路径的理由是两点之间,线段最短.故选:B.【点评】本题考查了线段的性质,熟记两点之间,线段最短是解题的关键.【例9】.(2022秋•绥宁县期末)如图,AB=12,C为AB的中点,点D在线段AC上,且AD:CB=1:3,则DB的长度为()A.4 B.6 C.8 D.10【分析】根据线段中点的定义求出AC、BC的长,根据AD:CB=1:3,求出AD,结合图形计算即可得.【解答】解:已知AB=12,C为AB的中点,∴,∵AD:CB=1:3,∴,∴BD=AB﹣AD=12﹣2=10.故选:D.【点评】本题考查的是两点间的距离的计算,掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键.【变式】.(2022秋•武陵区期末)如图,C为线段AD上一点,点B为CD的中点,且AD=8cm,BD=2cm,求AC的长.【分析】根据两点之间的距离分析即可.【解答】解:∵点B为CD的中点,BD=2cm,∴CD=4cm,∴AC=AD﹣CD=8﹣4=4(cm).【点评】本题考查两点间的距离,充分利用题目条件是关键.考点八.画一条线段等于已知线段(1)度量法:可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.(2)用尺规作图法:用圆规在射线AC上截取AB=a,如下图:【例10】.(2022秋•梁山县期末)如图,已知线段a、b、c,用直尺和圆规画图(保留画图痕迹).(1)画一条线段,使它等于a+b;(2)画一条线段,使它等于a﹣c;并用字母表示出所画线段.【分析】(1)先画一条直线l用圆规依次截取线段AB=a、BC=b(C在AB外),则线段AC即为所求;(2)先画一条直线l用圆规截取线段AB=a、BC=c(C在AB内),则线段AC即为所求.【解答】解:(1)先画一条直线l,在l上找一点A,以A为圆心,线段a的长为半径画圆交直线于B点,再以B为圆心,以线段b的长为半径画圆,交l于点C(C在AB外),则线段AC即为所求;如图所示:(2)先画一条直线l,在l上找一点A,以A为圆心,线段a的长为半径画圆交直线于B点,再以B为圆心,以线段c的长为半径画圆,交l于点C(C在AB内),则线段AC即为所求;如图所示:【点评】本题考查的是比较线段的长短,解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系.考点九.线段的比较与运算(1)线段的比较:比较两条线段的长短,常用两种方法,一种是度量法;一种是叠合法.(2)线段的和与差:如下图,有AB+BC=AC,或AC=a+b;AD=AB-BD。(3)线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如下图,有:细节剖析①线段中点的等价表述:如上图,点M在线段上,且有,则点M为线段AB的中点.②除线段的中点(即二等分点)外,类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图,点M,N,P均为线段AB的四等分点.【例11】(2022秋•阳曲县期末)如图,用圆规比较两条线段的长短,其中正确的是()A.A'B'>A'C' B.A'B'=A'C' C.A'B'<A'C' D.不能确定【分析】由比较两条线段长短的方法:重合比较法,即可判断.【解答】解:如图用圆规比较两条线段的长短,A′B′<A′C′,故选:C.【点评】本题考查比较线段的长短,关键是掌握:比较两条线段长短的方法.【例12】如图:点C为线段AB上的一点,M、N分别为AC、BC的中点,AB=40,则MN=_____.【答案】20【分析】由题意易得,进而可得,进而问题可求解.【解析】解:∵M、N分别为AC、BC的中点,∴,∵AB=40,∴;故答案为20.【点睛】本题主要考查线段中点的性质,熟练掌握线段中点的性质是解题的关键.【变式】已知:如图,点在线段上,点是中点,.求线段长【分析】根据中点的定义以及题意,分别求出线段AD与线段AC的长度,即可得出结论.【解析】∵D为线段AB的中点,∴AD=AB=×12=6,∵AC=AB,∴AC=×12=4,∴CD=AD-AC=6-4=2.【点睛】本题考查线段中点相关的计算,理解中点的定义,掌握线段中的计算法则是解题关键.【例13】如图,C为线段AB上的一点,AC:CB=3:2,D、E两点分别为AC、AB的中点,若线段DE为2cm,则AB的长为多少?【解答】解:设AB=x,由已知得:AC=35x,BC∵D、E两点分别为AC、AB的中点,∴DC=310x,BE=DE=DC﹣EC=DC﹣(BE﹣BC),即:310x﹣(12x−解得:x=10,则AB的长为10cm.考点十.角的度量(1)角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边;此外,角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2).平角与周角:如图1所示射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,所形成的角叫做平角,如图2所示继续旋转,OB和OA重合时,所形成的角叫做周角.(3)角的表示方法:角通常有三种表示方法:一是用三个大写英文字母表示,二是用角的顶点的一个大写英文字母表示,三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图:细节剖析①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义;②当一个角的顶点有多个角的时候,不能用顶点的一个大写字母来表示.(4)角度制及角度的换算1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″,以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.细节剖析①度、分、秒的换算是60进制,与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法:由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行;由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减:度加(减)度,分加(减)分,秒加(减)秒;超60进一,减一成60.(5)角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0<∠β<90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°(6)画一个角等于已知角(1)借助三角尺能画出15°的倍数的角,在0~180°之间共能画出11个角.(2)借助量角器能画出给定度数的角.(3)用尺规作图法.【例14】.(2022秋•新华区校级期末)下列四个图中,能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是()A. B. C. D.【分析】根据角的概念得出结论即可.【解答】解:由题意知,选项B中的∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一种角,故选:B.【点评】本题主要考查角的表示方法,熟练掌握角的三种表示方法是解题的关键.【变式】.(2022秋•甘肃期末)如图所示,∠AOC=90°,点B,O,D在同一直线上,若∠1=28°,则∠2的度数为()A.118° B.108° C.62° D.152°【分析】利用∠AOC=90°,∠1=28°,进而求出∠BOC的度数,利用平角的定义可知∠BOD=180°,即可求出∠2的度数.【解答】解:∵∠AOC=90°,∠1=28°,∴∠BOC=90°﹣28°=62°,∵点B,O,D在同一直线上,∴∠BOD=180°,∴∠2=180°﹣∠BOC=180°﹣62°=118°.故选:A.【点评】本题考查了角的概念,做题关键是要掌握平角的定义.【例15】.(2022秋•娄星区期末)把8.32°用度、分、秒表示正确的是()A.8°3′2″ B.8°30′20″ C.8°18′12″ D.8°19′12″【分析】先把0.32°化成分,再把0.2′化成秒,即可得出答案.【解答】解:0.32°=(0.32×60)′=19.2′,0.2′=(0.2×60)″=12″,∴8.32°=8°19′12″,故选:D.【点评】本题考查了度分秒之间的换算的应用,注意:1°=60′,1′=60″.【变式】.(2022秋•雁塔区校级期末)如图,将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合,∠1=26°18',则∠2的度数是()A.26°18' B.52°20' C.56°23' D.56°18'【分析】根据∠1+∠EAC=60°,可计算出∠EAC=60°﹣∠1的度数,根据余角的定义∠EAC+∠2=90°,计算即可得出答案.【解答】解:∵∠1+∠EAC=60°,∠1=26°18',∴∠EAC=60°﹣∠1=60°﹣26°18'=33°42',∵∠EAC+∠2=90°,∴∠2=90°﹣∠EAC=90°﹣33°42'=56°18'.故选:D.【点评】本题主要考查了度分秒的换算和余角的定义,熟练掌握度分秒的换算和余角的计算方法是解决本题的关键.【例16】如图,△ABC中,用尺规作图法作∠ABD=∠C,与边AC交于点D(保留作图痕迹,不用写作法)【解答】解:如图,射线BD即为所求.【变式】如图所示,已知锐角∠AOB及一点P.(1)过点P作OA、OB的垂线,垂足分别是M、N;(只作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)猜想∠MPN与∠AOB之间的关系,并证明.【解答】解:(1)过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示;(2)猜想:∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB.理由:左图中,在四边形PMON中,∵∠PMO=∠PNO=90°,∴∠MPN+∠AOB=180°.右图中,∵∠PJM=∠OJN,∠AMJ=∠JNO=90°,∴∠MPN=∠AOB.考点十一.角的比较与运算(1)角的比较方法:①度量法;②叠合法.(2)角的平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线,例如:如下图,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠1=∠2=∠AOB,或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地,还有角的三等分线等.【例17】.(2022秋•渠县校级期末)如图,射线OC,OD分别在∠AOB的内部、外部,下列结论错误的是()A.∠AOB<∠AOD B.∠BOC<∠AOB C.∠COD>∠AOD D.∠AOB>∠AOC【分析】依据叠合法,将两个角叠合在一起比较,使两个角的顶点及一边重合,观察另一边的位置,即可得出结论.【解答】解:A.由题可得,∠AOB<∠AOD,故本选项正确;B.由题可得,∠BOC<∠AOB,故本选项正确;C.由题可得,∠COD<∠AOD,故本选项错误;D.由题可得,∠AOB>∠AOC,故本选项正确;故选:C.【点评】本题主要考查了角的大小比较,关键是掌握叠合法判断角的大小关系.【变式】.(2022秋•栾城区期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起.(1)若∠DCE=35°,则∠ACB的度数为;(2)若∠ACB=144°42′,则∠DCE的度数为;(3)猜想∠ACB与∠DCE的大小关系,并说明理由.【分析】(1)利用∠ACD减去∠DCE求出∠ACE,然后再利用∠ACE加上∠ECB即可解答;(2)利用∠ACB减去∠ACD求出∠DCB,然后再利用∠ECB减去∠DCB即可解答;(3)根据已知可得∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=180°,结合图形可知∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB,然后进行计算即可解答.【解答】解:(1)∵∠ACD=90°,∠DCE=35°,∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣35°=55°,∵∠ECB=90°,∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=145°,故答案为:145;(2)∵∠ACD=90°,∠ACB=144°42′,∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=144°42′﹣90°=54°42′,∵∠ECB=90°,∴∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣54°42′=35°18′,故答案为:35°18′;(3)∠ACB与∠DCE互补,理由是:∵∠ACD=90°,∠ECB=90°,∴∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=180°,∵∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB,∴∠ACB+∠DCE=180°,即∠ACB与∠DCE互补.【点评】本题考查了角的大小比较,角的计算,度分秒的换算,根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.【例18】.(2022秋•达川区校级期末)如图,点O在直线AB上,OD是∠AOC的角平分线,∠COB=42°,则∠DOC的度数是()A.59° B.60° C.69° D.70°【分析】根据平角的定义可得∠AOC=180°﹣∠COB=138°,再根据角平分线的定义解答即可.【解答】解:∵∠COB=42°,∴∠AOC=180°﹣∠COB=138°,∵OD是∠AOC的角平分线,∴∠DOC===69°.故选:C.【点评】本题考查的是角平分线的定义、角的计算,掌握角平分线的定义、结合图形正确进行角的计算是解题的关键.【变式】.(2022秋•建平县期末)如图,OC平分∠AOB,若∠AOC=27°32′,则∠AOB=.【分析】直接利用角平分线的性质得出∠AOC=∠BOC,进而得出答案.【解答】解:∵OC平分∠AOB,∴∠AOC=∠BOC,∵∠AOC=27°32′,∴∠AOB=27°32′×2=54°64′=55°4′.故答案为:55°4′.【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及度分秒的转换,正确掌握角平分线的性质是解题关键.【例19】.(2022秋•平泉市校级期末)把两块三角板按如图所示那样拼在一起,则∠ABC等于()A.70° B.90° C.105° D.120°【分析】∠ABC等于30度角与直角的和,据此即可计算得到.【解答】解:∠ABC=30°+90°=120°.故选:D.【点评】本题考查了角度的计算,理解三角板的角的度数是关键.【变式】.(2022秋•道县期末)如图,已知O为直线AB上一点,OC平分∠AOD,∠BOD=4∠DOE,∠COE=α,则∠BOE的度数为()A.360°﹣4α B.180°﹣4α C.α D.270°﹣3α【分析】设∠DOE=x,则∠BOD=4x、∠BOE=3x,根据角之间的等量关系求出∠AOD、∠COD、∠COE的大小,然后解得x即可.【解答】解:设∠DOE=x,则∠BOD=4x,∵∠BOD=∠BOE+∠EOD,∴∠BOE=3x,∴∠AOD=180°﹣∠BOD=180°﹣4x.∵OC平分∠AOD,∴∠COD=∠AOD=(180°﹣4x)=90°﹣2x.∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°﹣2x+x=90°﹣x,由题意有90°﹣x=α,解得x=90°﹣α,则∠BOE=270°﹣3α,故选:D.【点评】本题主要考查角的计算的知识点,运用好角的平分线这一知识点是解答的关键.考点十二.角的互余互补关系余角补角(1)若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角,∠2是∠1的余角.(2)若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角.(3)结论:同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等.细节剖析①余角(或补角)是两个角的关系,是成对出现的,单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个,但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系,与位置无关.④“等角是相等的几个角”,而“同角是同一个角”.【例20】.(2022秋•灵宝市期末)已知∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,则()A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠1=∠2 D.∠1=∠2=∠3【分析】根据同角的补角相等作答即可.【解答】解:∵∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,∴∠1=∠3,故选:A.【点评】本题考查了同角的补角相等,灵活运用所学知识是解决本题的关键.【变式1】.(2022秋•绵阳期末)若一个角的余角是它的补角的,则这个角的度数是()A.30° B.60° C.120° D.150°【分析】设这个角为α,则它的余角为90°﹣α,它的补角为180°﹣α,根据题意列出关系式,求出α的值即可【解答】解:设这个角为α,则它的余角为90°﹣α,它的补角为180°﹣α.由题意得,90°﹣α=(180°﹣α),解得:α=30°.故这个角的度数为30°.故选:A.【点评】本题考查了余角和补角的知识,解题的关键是掌握互余和补角的定义.【变式2】.(2022秋•阳西县期末)一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°,这个角为()A.20° B.30° C.40° D.50°【分析】先设出这个角,再分别表示出这个角的补角和余角,根据题干中的等量关系进行计算即可求解.【解答】解:设这个角为x,∴这个角的补角为180°﹣x,这个角的余角为90°﹣x,∵这个角的补角比这个角的余角的3倍少10°,∴3(90°﹣x)﹣10°=180°﹣x,解得:x=40°,故选:C.【点评】本题考查余角和补角,解题的关键是利用补角和余角的关系列出方程.考点十三.钟面角钟表中共有12个大格,把周角12等分、每个大格对应30°的角,分针1分钟转6°,时针每小时转30°,时针1分钟转0.5°.技巧:钟面角问题一般可以看做是行程问题里的追击问题.【例21】.(2022秋•宜城市期末)某一时刻,时钟上显示的时间是9点30分,则此时时针与分针的夹角是()A.75° B.90° C.105° D.120°【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数,可得答案.【解答】解:时针与分针相距3+=(份),时钟面上的时针与分针的夹角是30°×=105°,故选:C.【点评】本题考查了钟面角,确定时针与分针相距的份数是解题关键.【变式】.(2022秋•九龙坡区期末)当分针指向12,时针这时恰好与分针成60°的角,此时是()A.9点钟 B.10点钟 C.4点钟或8点钟 D.2点钟或10点钟【分析】根据钟表上每一个大格之间的夹角是30°,当分针指向12,时针这时恰好与分针成120°的角,应该得出,时针距分针应该是4个格,应考虑两种情况.【解答】解:∵钟表上每一个大格之间的夹角是30°,∴当分针指向12,时针这时恰好与分针成60°的角时,距分针成60°的角时针应该有两种情况,即距时针2个格,∴只有2点钟或10点钟时符合要求.故选:D.【点评】此题主要考查了钟面角的有关知识,得出距分针成120°的角时针应该有两种情况,是解决问题的关键.考点十四.方位角以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫做方位角.细节剖析(1)方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西,三要确定旋转角度的大小.(2)北偏东45°通常叫做东北方向,北偏西45°通常叫做西北方向,南偏东45°通常叫做东南方向,南偏西45°通常叫做西南方向.(3)方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.【例22】.(2022秋•汉台区期末)如图,A地和B地都是海上观测站,A地在灯塔O的北偏东30°方向,∠AOB=100°,则B地在灯塔O的()A.南偏东40°方向 B.南偏东50°方向 C.南偏西50°方向 D.东偏南30°方向【分析】利用平角180°减去30°与100°的和进行计算即可解答.【解答】解:由题意得:180°﹣30°﹣100°=50°,∴B地在灯塔O的南偏东50°方向,故选:B.【点评】本题考查了方向角,根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.【变式】.(2022秋•和平区校级期末)如图,下列说法中错误的是()A.OA方向是北偏东30° B.OB方向是北偏西15° C.OC方向是南偏西25° D.OD方向是东南方向【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)多少度.根据定义就可以解决.【解答】解:A、OA方向是北偏东60°,此选项错误;B、OB方向是北偏西15°,此选项正确;C、OC方向是南偏西25°,此选项正确;D、OD方向是东南方向,此选项正确.错误的只有A.故选:A.【点评】本题考查的是方向角,熟知方向角的表示方法是解答此题的关键.【核心素养提升】1.分类讨论思想1.以∠AOB的顶点O为端点引射线OC,使∠AOC:∠BOC=5:4,若∠AOB=27°,则∠AOC=______.【答案】15°或135°.【分析】分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可.【详解】分两种情况:①如图1,当射线OC在∠AOB的内部时,设∠AOC=5x,∠BOC=4x,∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=27°,∴5x+4x=27,解得:x=3,∴∠AOC=15°;②如图2,当射线OC在∠AOB的外部时,设∠AOC=5x,∠BOC=4x,∵∠AOC=∠AOB+∠BOC,又∠AOB=27°,∴5x=27+4x,解得:x=27∴∠AOC=135°,故答案为15°或135°.【点睛】考查了角的计算.属于基础题,关键是分两种情况进行讨论.2.如图,点在直线上,.在中,,.先将一边与重合,然后绕点顺时针方向旋转,当与重合时停止旋转.(1)当在与之间,且时,则______°.(2)试探索:在旋转过程中,与大小的差是否发生变化?若不变,请求出这个差值;若变化,请说明理由;(3)在△ODE的旋转过程中,若,试求的大小.【答案】(1)125;(2)与的差不发生变化,为30°;(3)或175°【分析】(1)求出∠COE的度数,即可求出答案;
(2)分为两种情况,根据∠AOC=90°和∠DOE=60°求出即可;
(3)根据∠AOE=7∠COD、∠DOE=60°、∠AOC=90°求出即可.【详解】解:(1)∵,∴,∵在和之间,,,∴,∴,故答案为:125.(2)在旋转过程中,与的差不发生变化,有两种情况:①如图1,∵,,∴,②如图2,∵,,∴,即在旋转过程中,与的差不发生变化,为30°;(3)如图1,∵,,,∴,解得:,∴;如图2,∵,,,∴,∴,∴;即或175°.【点睛】本题考查了角的有关计算的应用,能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键,题目比较好,难度不大.2.直观想象-运用数形结合的思想方法解决问题3.(1)特例感知:如图1,OC、OD是内部的两条射线,若,,则°.(2)知识迁移:如图2,OC是内部的一条射线,若OM、ON分别平分和,且,则的值为.(3)类比探究:如图3,OC、OD是内部的两条射线.若OM、ON分别平分和,且,求的值.【答案】(1)30;(2)1;(3)【分析】(1)根据,可推出,即可求出结果.(2)根据OM、ON分别是和角平分线,可得出,,通过化简计算从而得到,进而求出比值结果.(3)根据OM、ON分别是和角平分线,可得到,,,进而求出比值结果.【详解】(1)∵∴,∴∵∴(2)∵OM、ON分别平分,,,,,,(3)∵OM、ON分别平分和,,,又,,,;【点睛】本题主要考察角平分线的性质,角的计算,准确找出题目中的等角,利用等角找出它们之间的联系是解题关键.3.数学建模4.平面内有n条直线(n≥2),这n条直线两两相交,最多可以得到a个交点,最少可以得到b个交点,则a+b的值是()A. B. C. D.【答案】D【分析】分别求出2条直线、3条直
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