数字信号处理原理 习题答案汇 刘泉 第6-9章数字滤波器的结构-多速率采样信号处理

6.1已知一个离散时间系统由下列差分系统表示：y(n)−(1)画出实现该系统的框图。(2)画出实现该系统的信号流图。解（1）（2）6.2试求图P6.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。网络Ⅰ网络Ⅱ图P6.2解网络Ⅰ的系统函数H1(z)=根据梅森公式可得网络Ⅱ的系统函数H2(z)=6.3已知系统函数为H(z)=按照下列形式画出实现这个系统的信号流图：(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)级联型；(4)并联型。解（1）（2）（3）H（4）H6.4已知一个时域离散线性非移变因果系统由下列差分方程描述：y试画出下列形式的信号流图（对级联和并联形式只用一阶节）：(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)级联型；(4)并联型。解（1）H（2）（3）H（4）H6.5设系统的系统函数为H(z)=试画出各种可能的级联结构。解6.6已知FIR滤波器的单位冲激响应为ℎ(n)=求该滤波器的直接型结构。解ℎ6.7已知FIR滤波器的单位冲激响应为ℎ0该滤波器的零点分布和级联型结构流图。解H故可以得出零点−1故可得出其零点分布图（用matlab画的零极点分布图）级联型结构流图为6.8设某FIR数字滤波器的系统函数为H(z)=试画出此滤波器的线性相位结构。解6.9已知FIR数字滤波器的单位冲激响应为ℎ(n)=δ试画出实现该滤波器的频率采样型结构（设取样点数为N=5）。解频率采样公式为H(z)=(1−由于采样点数N=5，所以有WNHk=0HH频率采样型结构为6.10一个FIR系统的系统函数为H(z)=(1−试求其格型结构。解k故其格式结构为6.11已知H(z)=试求这个零-极点IIR滤波器的格型结构。解kc故其格式结构为6.12分别以原码、反码和补码形式表示小数732和-7解732−76.13设滤波器的输入是方差为δe2的白噪声序列H(z)=试求输出序列的方差。解输出序列的方差为δ6.14一个线性非移变系统的系统函数为H(z)=设该系统用一个16位定点处理器实现，在量化之前先对乘积之和进行累加，且δe采用直接Ⅱ型结构实现该系统，求滤波器输出端舍入噪声的方差。采用并联型结构实现该系统，重复问题（1）。解（1）输出端舍入噪声的方差δ又δ故δ（2）H输出端舍入噪声的方差δ又δ故δ6.15试用MATLAB实现习题6.3中4种结构的IIR滤波器。clc;clearall;close;b=[3,3.6,0.6];a=[1,0.1,-0.2];N=30;delta=impseq(0,0,N);%直接I型(h1)和直接II型(h2)h1=filter(b,a,delta);h2=h1;%级联型(h3)[K1,B1,A1]=dir2cas(b,a);h3=casfiltr(K1,B1,A1,delta);%并联型(h4)[K2,B2,A2]=dir2par(b,a);h4=parfiltr(K2,B2,A2,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];endfunction[b0,B,A]=dir2cas(b,a);%DIRECT-formtoCASCADE-formconversion(cplxpairversion)%---------------------------------------------------------%[b0,B,A]=dir2cas(b,a)%b0=gaincoefficient%B=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%b=numeratorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%a=denominatorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%computegaincoefficientb0b0=b(1);b=b/b0;a0=a(1);a=a/a0;b0=b0/a0;%M=length(b);N=length(a);ifN>M b=[bzeros(1,N-M)];elseifM>N a=[azeros(1,M-N)];N=M;else NM=0;end%K=floor(N/2);B=zeros(K,3);A=zeros(K,3);ifK*2==N; b=[b0]; a=[a0];end%broots=cplxpair(roots(b));aroots=cplxpair(roots(a));fori=1:2:2*K Brow=broots(i:1:i+1,:); Brow=real(poly(Brow)); B(fix((i+1)/2),:)=Brow; Arow=aroots(i:1:i+1,:); Arow=real(poly(Arow)); A(fix((i+1)/2),:)=Arow;endendfunctiony=casfiltr(b0,B,A,x);%CASCADEformrealizationofIIRandFIRfilters%-----------------------------------------------%y=casfiltr(b0,B,A,x);%y=outputsequence%b0=gaincoefficientofCASCADEform%B=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%x=inputsequence%[K,L]=size(B);N=length(x);w=zeros(K+1,N);w(1,:)=x;fori=1:1:Kw(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),w(i,:));endy=b0*w(K+1,:);endfunction[C,B,A]=dir2par(b,a);%DIRECT-formtoPARALLEL-formconversion%--------------------------------------%[C,B,A]=dir2par(b,a)%C=Polynomialpartwhenlength(b)>=length(a)%B=Kby2matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%b=numeratorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%a=denominatorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%M=length(b);N=length(a);[r1,p1,C]=residuez(b,a);p=cplxpair(p1,10000000*eps);I=cplxcomp(p1,p);r=r1(I);K=floor(N/2);B=zeros(K,2);A=zeros(K,3);ifK*2==N;%Neven,orderofA(z)odd,onefactorisfirstorder fori=1:2:N-2 Brow=r(i:1:i+1,:); Arow=p(i:1:i+1,:); [Brow,Arow]=residuez(Brow,Arow,[]); B(fix((i+1)/2),:)=real(Brow); A(fix((i+1)/2),:)=real(Arow); end [Brow,Arow]=residuez(r(N-1),p(N-1),[]); B(K,:)=[real(Brow)0];A(K,:)=[real(Arow)0];elsefori=1:2:N-1 Brow=r(i:1:i+1,:); Arow=p(i:1:i+1,:); [Brow,Arow]=residuez(Brow,Arow,[]); B(fix((i+1)/2),:)=real(Brow); A(fix((i+1)/2),:)=real(Arow); endendendfunctionI=cplxcomp(p1,p2)%I=cplxcomp(p1,p2)%Comparestwocomplexpairswhichcontainthesamescalarelements%but(possibly)atdifferrentindices.Thisroutineshouldbe%usedafterCPLXPAIRroutineforrearrangingpolevectorandits%correspondingresiduevector.%p2=cplxpair(p1)%I=[];forj=1:1:length(p2)fori=1:1:length(p1) if(abs(p1(i)-p2(j))<0.0001) I=[I,i];endendendI=I';endfunctiony=parfiltr(C,B,A,x);%PARALLELformrealizationofIIRfilters%----------------------------------------%[y]=parfiltr(C,B,A,x);%y=outputsequence%C=polynomial(FIR)partwhenM>=N%B=Kby2matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%x=inputsequence%[K,L]=size(B);N=length(x);w=zeros(K+1,N);w(1,:)=filter(C,1,x);fori=1:1:Kw(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),x);endy=sum(w);end6.16试用MATLAB实现习题6.6中直接型结构的FIR数字滤波器。clc;clearall;close;n=0:4;b=0.5.^n;N=30;delta=impseq(0,0,N);h=filter(b,1,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];end6.17试用MATLAB实现习题6.8中线性相位结构的FIR数字滤波器的信号流图。clc;clearall;close;n=0:4;b=[1,3,5,3,1]./5;N=30;delta=impseq(0,0,N);h=filter(b,1,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];end7.1试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc解 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为A巴特沃斯低通滤波器的系统函数为HsH其零点都在s=∞处,它的极点为sk=−112NH其中K0由H在三阶巴特沃斯低通滤波器中,ΩcA其极点为SnS1=2则有H==因为Ha0=H7.2试导出二阶切比雪夫滤波器的系统函数，已知通带纹波为1dB，归一化截止频率为Ω解 根据滤波器的指标可知:带通波纹是δ1=1dB,N=2,ε所以ε因为a=s将ε=0.50884，N=2,ΩcssssHas由左半平面的极点s3、sH7.3已知某个模拟系统的传递函数为Ha试根据该系统求满足下列两个条件的离散系统的系统函数Hz(1)冲激不变条件，即ℎ(2)阶跃不变条件，即s式中s解 (1)因为H得极点为s代入冲激不变法计算公式得离散系统的系统函数为H(2)因为sS所以s令t=nT,由阶跃不变条件可得sS==由于snH7.4已知某个模拟滤波器的系统函数为H 采样周期T=2，试用双线性变换法将它转换为数字滤波器的系统函数Hz解 当T=2时,系统函数为

=7.5要求用双线性变换法从二阶巴特沃斯模拟滤波器导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz解 因为采样频率fs=1KHZ,截止频率求巴特沃斯模拟滤波器的系统函数，因为二阶巴特沃斯滤波器的系统函数为H则二阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数为H使用双线性变换求得数字滤波器得的系统函数为H7.6已知某个模拟滤波器的传递函数为H 试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数Hz，设T=0.5解 (1)使用冲激响应不变法因为Ha对Haℎ利用冲激响应不变法条件h(n)=ℎah对h(n)求Z变换得H将s1=-0.5,sH(2)使用双线性变换法H==7.7设ℎaℎ试用冲激响应不变法将该模拟滤波器转换成数字滤波器。若把T当作参量，证明T为任何正值时，数字滤波器都是稳定的，并说明此滤波器是近似低通滤波器还是近似高通滤波器。解 令t=nT,得

求h(n)的Z变换,得数字滤波器的系统函数为H由于系统函数的极点为z=e−0.9T.,无论T为任何正值,恒有|z|=|e令z=ejωH因此,滤波器的幅度响应为H在[0,π]区间,随着ω的增加,He7.8图P7.8表示了一个数字滤波器的频率响应。(1)试用冲激响应不变法,求原型模拟滤波器的频率响应;(2)再用双线性变换法,求原型模拟滤波器的频率响应。解：（1）该滤波器的频率响应可表示为He因为ω大于折叠频率时,HeH又由Ω=H下图给出了该原型模拟滤波器的频率响应（2）根据双线性变换公式,可得H即由ω所以,原型模拟滤波器的频率响应为H下图给出了该原型模拟滤波器的频率响应7.9用冲激响应不变法设计一个满足以下指标的巴特沃斯数字低通滤波器:幅度响应在通带截止频率ωP=0.2613π处的衰减不大于0.75dB,在阻带截止频率解（1）根据滤波器的指标得20设T=1,将数字域指标转换成模拟域指标得20lg将巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数H代人上两式得1+1+解这两个方程得N=7.2786,取整数N=8,且Ωc=0.9206。显然,按上述值设计的滤波器满足通带指标要求,且阻带指标将超过给定值。(2)把N=8,0.Ωc=0.9206代入式sk求得;平面左半平面的4对极点分别为:极点对1:-0.1796士j0.9029;极点对2:-0.5115士j0.7655;极点对3:-0.7655士j0.5115;极点对4:-0.9029±j0.1796由这4对极点构成的滤波器的传递函数为H=(3)将HaH(4)验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ejω代入系统函数H(z)表达式，求解幅度响应Hrp=0.75;rs=20;wp=0.2613*pi;ws=0.4018*pi;Fs=1;[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wp)Ts=1,fs=0.5;[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs/2)[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs);subplot(211)plot(w,abs(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('幅值')subplot(212)plot(w,180/pi*angle(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('相位(度)');由图中可以看出,设计的滤波器完全满足规定的技术指标,因为高阶模拟巴特沃斯滤波器是充分带限的,所以不会有很大的混叠失真。如果得到的滤波器不满足技术指标,可以试用更高阶的滤波器;若想保持阶数N不变,可适当调整滤波器的系数加以解决。7.10使用双线性变换法设计一个满足以下指标的巴特沃斯数字低通滤波器。假定取样频率fs=10kHz,在通带截止频率fP=1kHz处的衰减不大于1解：（1）将模拟截止频率转换成数字截止频率因为Ωp=2πfp=2000π,ΩT=2πfT=3000π,T=1/fs=0.0001s,所以ωp=T*Ωp=0.2π，ωT=T*ΩT=0.3π(2)计算N和Ωc将模拟截止频率进行预畸变,即Ω将其代入20并令T=1，得20将巴特沃斯滤波器的幅度平方函数代人以上两式得到1+1+解以上两方程得N取整数N=4,可得Ωc=0.71684。可以验算这个Ωc值所对应的阻带指标刚好满足要求,而通带指标已经超过要求(3)由N和Ωc。求模拟巴特沃斯滤波器的极点,并由左半平面的极点构成Ha(s),将N=4和Ωc=0.71684代入式s求得s平面左平面的4个极点分别为:极点1、2:−0.27432±极点3、4:−0.66227±由此得传递函数为:H(4)使用双线性变换求得数字巴特沃斯滤波器的系统函数为HH(5)验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ejω代入系统函数H(z)表达式，求解幅度响应wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1.8;As=12;Fs=1;T=1/Fs;OmegaP=(2/T)*tan(wp/2);OmegaS=(2/T)*tan(ws/2);ep=sqrt(10^(Rp/10)-1);Ripple=sqrt(1/(1+ep*ep));Attn=1/(10^(As/20));N=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(OmegaP/OmegaS)))OmegaC=OmegaP/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))[B,A]=butter(N,OmegaC,'s');W=(0:500)*pi/500;[H]=freqs(B,A,W);mag=abs(H);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[b,a]=bilinear(B,A,T);[h,w]=freqz(b,a,1000,'whole');h=(h(1:501))';w=(w(1:501))'m=abs(H);db2=20*log10((m+eps)/max(m));subplot(221);plot(W/pi,mag);title('幅度|dB|');ylabel('模拟滤波器')subplot(222);plot(W/pi,db1);title('幅度dB')subplot(223);plot(w/pi,m);xlabel('频率(w/pi)');ylabel('数字滤波器')subplot(224);plot(w/pi,db2);xlabel('频率(w/pi)')7.11使用双线性变换法设计一个切比雪夫数字低通滤波器，各指标与题7.10中的相同解 将数字截止频率转换成模拟截止频率因为ΩP=2πf 所以ωP=按照双线性变换法有ΩΩ因为δ1=1.8dB，δ2所以εN≥所以取整数N=3。αa=b=因此a代入得左半平面得极点为-0.09875±j0.4732,-0.1975H因为N为奇数，HaHH7-12使用双线性变换法设计一个切比雪夫数字高通滤波器。指标要求：取样频率fs=2.4kHz，在通带截止频率fP=160Hz处的衰减不大于3dB，在阻带截止频率解（1）将高通数字滤波器的频率指标SKIPIF1<0和SKIPIF1<0折合成数字频率SKIPIF1<0设T=2，按照双线性变换法，将高通数字滤波器的数字域频率转换为高通模拟滤波器的频率SKIPIF1<0将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标SKIPIF1<0（2）根据模拟低同滤波器的指标求SKIPIF1<0和NSKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取N=3。（3）求模拟低通滤波器的平方幅度函数令SKIPIF1<0，将其代入3阶切比雪夫多项式的平方中SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，3阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）求模拟低通滤波器的传输函数将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上式求出SKIPIF1<0的极点：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是左半s平面的3个极点，由他们构成一个稳定的3阶切比雪夫模拟低通滤波器，其传输函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0因N=3为奇数，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0最后得SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意，模拟低通滤波器的传输函数在左半s平面的3个极点也可以用下式求出：SKIPIF1<0，k=0,1,…,2N-1其中常量a和b用下列公式计算SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值代入计算极点的公式，得左半s平面的极点如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0这里的结果与前面的数值基本相同。（5）将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器用1/s代换模拟低通滤波器的传输函数中的s，得到模拟高通滤波器的传输函数SKIPIF1<0（6）用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器设T=2。将SKIPIF1<0代入模拟高通滤波器的传输函数，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0Matlab程序如下Wp=2*pi/15;Ws=pi/30;Rp=3;Rs=48;fs=0.5;T=2;OmegaP=tan(Wp/2);OmegaS=tan(Ws/2);[N,OmegaC]=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=cheby1(N,Rp,OmegaC,'high','s');[h,w]=freqs(b,a);mag=abs(h);pha1=angle(h);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[B,A]=bilinear(b,a,fs);[H,W]=freqz(B,A);mag=abs(H);pha2=angle(H);db2=20*log10((mag+eps)/max(mag));subplot(2,2,1);plot(w,db1);title('模拟滤波器幅频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,2);plot(w,pha1);title('模拟滤波器相频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('相位（rad）');subplot(2,2,3);plot(W,db2);title('数字滤波器幅频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,4);plot(W,pha2);title('数字滤波器相频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('相位（rad）');7-13已知一阶全通系统的系统函数为H (1)写出它的两种不同形式的差分方程。 (2)画出直接Ⅱ型结构的信号流图。 (3)根据差分方程画出只有一个支路乘以a的结构的信号流图。 (4)现有一个二阶全通系统由下列系统函数定义：H 试用(3)中得到的两个一阶全通系统的级联结构实现该二阶全通系统，只允许使用3个延迟器，并画出信号流图。解 (1)由系统函数可得HzYzyyy(2)（3）（4）7-14任何一个非最小相位系统均可表示成一个最小相位系统和一个全通系统的级联，即H 式中Hapz是稳定的因果全通滤波器，Φ 试证明对于所有ω，有− 此不等式说明，最小相位系统具有最小的群延迟，所以也是最小时延系统。证明 由于H令Φ根据级联系统相频特性等于各子系统相频特性之和的性质,有Φ对上式两边求导,得d因为Hapd所以d−7-15假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又已知H试判定数字滤波器的通带中心频率位于以下哪个频率位置：(a)ω=0（低通）；(b)ω=π解 由模拟滤波器转换为数字滤波器Hs平面与z平面的映射关系为：ss式中，Ω为模拟滤波器频率，w为数字滤波器频率，带入可得。jΩ当低通模拟滤波器频率Ω为中心频率Ωc=0处为通带，此时ω为数字滤波器中心频率eω数字滤波器通带位于π处，数字滤波器为高通滤波器，故选择(b)。8.1：FIR低通滤波器的脉冲响应h(n)是由理想低通滤波器的脉冲响应ℎdh当n=ℎ对于给定的N=21,滤波器的阶数是20，即n=0,1,2,...,20，中心位置为n=10,理想脉冲响应需要乘以矩形窗,矩形窗函数ω(n)的值为1，因此滤波器的脉冲响应h频率响应H(ejωStep1:计算理想低通滤波器的脉冲响应hℎ矩形窗函数：ω滤波器的脉冲响应:h(n)=Step2:计算频率响应通过傅里叶变换(DTFT)，求解H(H(8.2：与上题类似：Step1:计算理想低通滤波器的脉冲响应hℎ三角形窗函数ωh(n)=Step2:计算频率响应通过傅里叶变换(DTFT)，求解H(H(8.3:理想高通滤波器的脉冲响应hdhhStep1:N=51，αhhStep2:汉宁窗的公式为：ωh(n)=8.4:理想带通滤波器的脉冲响应hdhStep1:hStep2:海明窗的表达式为：ωh(n)=8.5：hStep1：其中，M=hStep2：布莱克曼窗ωω8.6:理想低通滤波器的频率响应为：H其对应的时域冲激响应为：ℎ凯泽窗:ω其中I0若ω8.7：通常，阻带衰减要求与过渡带宽度一起决定了窗函数的类型：1、汉明窗：阻带衰减约为44dB2、凯泽窗：通过调整窗系数β可以满足更大的阻带衰减要求为满足-45dB的阻带衰减，选择凯泽窗并根据阻带衰减和过渡带宽度来确定Step1：滤波器长度N计算：凯泽窗法中，N和过渡带宽度∆ω的N其中，A是是阻带衰减的绝对值，即A=-45dB，带入得到NStep2：理想低通滤波器的冲激响应计算hStep3：凯泽窗ω8.8：(1)ℎ则H由上式可以看出|因为ℎ1(n)是偶对称序列，根据线性相位的定义，它是一个线性相位滤波器，其时延为N−12=3.5，令要知两个滤波器的性能,必须求出它们各自的频率响应的幅度函数,根据它们的通带起伏以及阻带衰减的情况,来加以比较。由于N=8是偶数，又是线性相位，则H(可以令ℎℎ及ℎℎ代入可得HH从阻带看,H1(ω)的阻带衰减大,而H2(ω)的阻带衰减小,这一点8.9由H(z)z其中z01和z02、z03和z04互为共轭零点。为了使新系统满足单位抽样响应为实数,必须满足新系统的零点保持共轭分布,因此在移动零点过程中应将z01和z因此总共可得到的新系统的个数为M=总共可得到的系统个数为M+1=16由系统零点分布可知,系统有3个零点分布在单位圆外,即z用全通系统将这些零点映射到单位圆内可得到最小相位系统。H(1−0.7其中最小相位系统为H(1−要获得最大相位系统,需要将原H(z)级联一个全通系统,把单位圆内的零点映射到单位圆外。满足要求的全通系统为H从而可得最大相位系统为H×8.10由于HBP(eH且φ(H所以带阻滤波器可以表示为：H(2)ℎ考虑到φ(φℎ8.11因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即h(n)=−h(N−1−n)故当N为奇数时，有h(H(上式中n用N−12H(由于滤波器的频率响应为H(令c(n)=2h(得到H(8.12(1)H(首先计算ℎminH再计算ℎ(n)的幅频响应H(进行变量替换,令m=N−1−n,则n=N−1−m,当n=0时,m=N−1,当n=N−1时,m=0,因此幅频响应可以改写为H(利用e−jH(由于幅频响应只关注幅度，不关注相位，因此两者具有相同的幅频响应(2)一个系统是最大相位系统，当其单位冲激响应h(n)的所有非零系数的时延响应都是正的。由于h(n)=ℎmin(N−1−n)。可以看到,h(n)的系数是反向排列的，这意味着系统在频域中的相位响应为负的，因为每一个8.13题8.1的MATLAB实现：%参数设置N=21;%滤波器阶数wc=0.5*pi;%截止频率M=(N-1)/2;%中心位置%计算理想脉冲响应h_d(n)n=0:(N-1);hd=sinc((n-M)*0.5);%0.5=wc/pi%矩形窗w(n)，所有值为1w=ones(1,N);%计算加窗后的脉冲响应h(n)h=hd.*w;%计算频率响应H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT计算频率响应H=fftshift(H);%将零频率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%频率范围%绘制频率响应|H(e^jw)|的对数刻度figure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{j\omega})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;题8.2的MATLAB实现%参数设置N=51;%滤波器阶数wc=0.5*pi;%截止频率M=(N-1)/2;%中心位置%计算理想脉冲响应h_d(n)n=0:N-1;%n从0到N-1hd=sinc((n-M)*0.5);%理想脉冲响应，0.5=wc/pi%计算三角形窗w(n)w=1-abs((2*n)/(N-1)-1);%计算加窗后的脉冲响应h(n)h=hd.*w;%计算频率响应H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT计算频率响应H=fftshift(H);%将零频率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%频率轴%绘制频率响应|H(e^jw)|的对数刻度figure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{jw})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;8.13%参数设置w_c=0.2*pi;%带宽w_0=0.6*pi;%中心频率N=51;%滤波器阶数%生成nn=(0:N-1)-(N-1)/2;%以0为中心的对称范围%理想频率响应：定义相对于中心频率w_0的带通滤波器h_n=(sin(w_c*n).*cos(w_0*n))./(pi*n);%sinc调制h_n((N-1)/2+1)=cos(w_0*n((N-1)/2+1))*w_c/pi;%处理n=0的情况%应用布莱克曼窗h_n=h_n.*blackman(N)';%确保窗的维度匹配%计算频率响应[H,w]=freqz(h_n,1,8000);H_dB=20*log10(abs(H));%绘图figure;plot(w/pi,H_dB,'LineWidth',1.5);title('FIR带通滤波器的幅度响应（90度相移）');xlabel('归一化频率(×\pirad/sample)');ylabel('幅度(dB)');gridon;legend('20*log10|H(e^{j\omega})|');8.15选择凯泽窗，N=51%参数设定wc=0.5*pi;%截止频率N=51;%增加滤波器长度%理想低通滤波器的冲激响应n=0:(N-1);h_d=sinc((wc/pi)*(n-(N-1)/2));%汉明窗w_hamming=hamming(N)';%实际滤波器系数h=h_d.*w_hamming;%计算频率响应[H,w]=freqz(h(:),1,8000);%将h转换为列向量H_dB=20*log10(abs(H));%绘制幅度响应figure;plot(w/pi,H_dB,'b');title('FrequencyResponseofHammingWindowFIRLowpassFilter');xlabel('NormalizedFrequency(×πra