数字信号处理原理配套 第2章离散时间信号时域分析习题解答

2.1给定离散信号(1)画出序列的波形，并标出各序列值；(2)试用延迟的单位冲激序列及其加权和表示序列；(3)试分别画出序列和序列的波形。解(1)的波形如图2.1所示。(3)和的波形分别如图2.2和图2.3所示。 图2.1图2.2图2.32.2判断下列序列是否为周期序列。若是周期的，请确定其周期。(1)，式中为常数 (2)解(1)为有理数，所以是以16为周期的周期序列。(2)因为,而为无理数，所以此序列是非周期序列。2.3已知线性非移变系统的输入为，系统的单位采样响应为，试求系统的输出并作图。(1)， (2)，(3)， (4)，解(1),输出如图2.4所示。，输出如图2.5所示。图2.4 图2.5(3)输出如图2.6所示。(4)当时，当时，，输出如图2.7所示。图2.8 图2.6 图2.72.4已知一个线性非移变系统的单位采样响应为试用直接计算卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。解(1)当时,得(2)当时,得故所求系统的单位阶跃响应为2.5图P2.8所示的是单位采样响应分别为和的两个线性非移变系统的级联，已知,,,，试求系统的输出。图P2.8题2.5图解因为2.6判断下列系统是否为：(a)线性系统；(b)非移变系统；(c)稳定系统；(d)因果系统。请予以证明。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)(a)所以是非线性系统(b)因为所以是非移变系统(c)设,则有，所以是稳定系统(d)因为n时刻的输出y(n)只取决于n时刻的输入x(n)，所以是因果系统(2)(a)所以是非移变系统(b)因为所以是非移变系统(c)设有界，则有界，所以系统稳定(d)因为时，时刻的输出时刻以后的输入有关，所以是非因果系统(3)(a)所以是线性系统(b)故为移变系统(c)设，则，所以是稳定系统(d)因为n时刻的输出y(n)只取决于n时刻输入x(n),所以是因果系统(4)(a)所以是线性系统(b)因为所以是移变系统(c)设，令g(n)=n,则(d)时刻的输出只取决于时刻的输入，所以是因果系统(5)(a)因为(b)因为所以是非移变系统(c)设，则，当时，有，所以不是稳定系统(d)n时刻的输出只取决于时刻的输入，所以是因果系统(6)(a)因为，所以是线性系统(b)因为所以是非移变系统(c)设，则，当时，有，所以不是稳定系统(d)当时，时刻的输出与时刻以后的输入有关，所以是非因果系统2.7讨论下列各非移变系统的因果性和稳定性。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得,所以系统稳定(2)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得，所以系统稳定(3)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得所以当时，系统稳定；当时，系统不稳定(4)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得，所以系统不稳定(5)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得(为有限值),则系统稳定(6)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得，所以系统稳定2.8设系统的差分方程为其中为输入，为输出。当边界条件分别为时，试判断系统是否为线性系统或是否为非移变系统。解（1）当边界条件为时①设，则 由差分方程得 递推得 当时， 因而 递推得 综上可知 ②设 由差分方程得 递推得 即 当时， 因而 递推得 综上可知 由①和②的结果可知，与是移1位的关系，但与不是移1位的关系，所以在的条件下，系统是移变系统。③设 当时， 递推得 即 当时， 则 递推得 综上得 所以，该系统在条件下是线性系统。（2）当边界条件为时①设 得 ②设 得 由①和②的结果可知，与是移位的关系，但与也是移位的关系，所以在的条件下，系统是非移变系统。③设 当时， 当时， 综上得 所以该系统在的条件下是线性系统。2.9设系统的框图如图P2.9所示，试列出该系统的差分方程，并按初始条件，求输入为时的输出。图P2.9题2.9图解由图可得方程组 联立整理得到系统的差分方程为 由于时，，则通过迭代可得 归纳可得 整理化简得2.10设一因果系统的输入/输出关系由下列差分方程确定：(1)求该系统的单位采样响应；(2)利用(1)得到的结果，求输入为时系统的响应。解(1) 因为 所以⋮可以推出 即 2.11设系统的单位采样响应，系统的输入是一些观测数据。若假设系统的初始状态为零状态，且，试利用递推法求系统的输出。解当n<0时，h(n)=0，此时系统输出为0。当n>0时系统的输出为系统输入与系统单位采样响应的线性卷积，即利用递推法可求系统输出如下：当n=0时，当n=1时，当n=2时，当n=3时，⋮依此类推，可得：则系统的输出为：2.12有一连续时间信号，式中f=20Hz,φ=π/2。(1)试确定的周期；(2)若用采样间隔T=0.02s对进行采样，试写出采样信号的表达式；(3)画出对应的时域离散序列的波形，并求出的周期。解(1)的周期为(2)采样信号的表达式为(3)的数字频率为,又因为,所以的周期为。离散序列可描述为,其波形如图2.10所示。图2.102.13试用MATLAB绘出题2.2中各信号的波形。(1)%参数设置A=1;%振幅An=0:50;%n的范围，从0到50phi=pi/6;%相位偏移phi=π/6%计算cos函数y=A*cos(5*pi*n/8+phi);%绘图stem(n,y);%使用stem函数绘制离散图xlabel('n');%x轴标签ylabel('Amplitude');%y轴标签title('y=Acos(5\pin/8+\pi/6)');%图标题gridon;%显示网格(2)%定义n的范围n=0:50;%计算序列x(n)x_n=exp(1j*(n/8-pi));%分别绘制实部和虚部figure;subplot(2,1,1);stem(n,real(x_n),'filled');title('实部');xlabel('n');ylabel('实部');subplot(2,1,2);stem(n,imag(x_n),'filled');title('虚部');xlabel('n');ylabel('虚部');2.14试用MATLAB实现题2.3中的卷积运算，并绘出相应的信号波形。(1)x=[1];%h=[11111];%y=conv(x,h);stem(y,'fill');(2)n=0:10;%可以自定义范围u1=(n>=0);%第一个阶跃函数u2=(n>=0);%第二个阶跃函数result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);axis([010020]);(3)n=0:10;u1=0.5.^n.*(n>=0&n<3);%u2=(n==2);%result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);(4)n=-10:10;%可以自定义范围u1=2.^n.*(n<0);%u2=0.5.^n.*(n>=0);%result=conv(u1,u2);figure;stem(-20:(length(result)-1)/2,result);%-20由自定义范围得出2.15试用MATLAB实现题2.12的采样过程，绘出相应的时域和频域波形。(1)时域波形closeallclearall%定义采样间隔Ta=2*pi/(40*pi);N=32;Ts=Ta/N;t=(0:N-1)*Ts;x=cos(40*pi*t+pi/2);%绘制采样后的信号stem(t,x,"filled");xlabel('时间(s)');ylabel('x(t)');title('采样后的信号');gridon;(2)频域波形%计算