《20.3一次函数的性质》讲义

《20.3一次函数的性质》讲义同学们，咱们现在已经到了八年级第二学期，在沪教版的数学课本里，今天要好好讲讲第二十章一次函数里的20.3一次函数的性质。一、一次函数的样子咱们先得知道一次函数长啥样，一次函数啊，它的表达式就是y＝kx＋b（这里的k和b都是常数，而且k可不能等于0哦）。就像我们去商店买东西，这个表达式就是一种规则，x就像是我们拿进去的东西的数量，y就是我们要付的钱。比如说，咱们去买铅笔，每支铅笔2元（这里k就相当于2啦），如果我们再加上一个固定的费用，比如说买本子的5元（这个5元就相当于b啦），那我们总共要花的钱y就可以用y＝2x+5这个一次函数来表示。二、k的魔法1、k决定函数的倾斜方向这个k啊，可神奇了。当k大于0的时候，一次函数的图像就像是一个人在爬坡，是从左向右往上走的。我给大家讲个事儿啊，我有一次去爬山，那个山路就有点像k大于0的一次函数图像。我从山脚下开始往上爬，越走越高，就像y的值随着x的值增加而增加一样。比如说y＝3x＋1这个函数，当x从1变成2的时候，y就从3×1＋1＝4变成了3×2＋1＝7，是不是就像在爬山，越来越高呢？2、k决定函数的倾斜程度而且k的大小还能决定这个“坡”的陡缓程度呢。k越大，这个坡就越陡。我又想到一个例子，有一次我看到两个滑梯，一个滑梯的倾斜度比较小，小朋友滑得比较慢，就像k比较小的一次函数图像；另一个滑梯倾斜度很大，小朋友嗖的一下就滑下去了，这个就像k比较大的一次函数图像。比如说y＝0.5x＋2和y＝2x＋2，y＝2x＋2这个函数的图像就比y＝0.5x＋2的图像要陡得多。三、b的奥秘1、b是y轴上的截距再来说说b，这个b呢，它就是一次函数图像和y轴相交的那个点的纵坐标。简单说，就是当x＝0的时候，y的值就是b。我记得有一次我在看温度计，这个温度计的初始刻度就有点像b。假如我们把温度的变化看成是一个一次函数，这个初始刻度就是不管温度怎么变化，一开始就有的那个数值。比如说y＝2x＋3，当x＝0的时候，y＝3，这个3就是b，就像温度计在没开始测量温度变化之前的初始刻度。2、不同b值的图像平移如果k相同，b不同，那这些一次函数的图像就像是一排整齐的士兵，只是站的位置不一样。它们是互相平行的，只是在y轴上的截距不同。我看到过这样的场景，在建筑工地上，有一排一样斜度的楼梯，但是它们的起始高度不一样，这就像不同b值的一次函数图像，虽然倾斜程度一样（k相同），但是和y轴相交的点不一样（b不同）。比如说y＝2x＋1和y＝2x＋3，它们的图像就是平行的，只是y＝2x＋3的图像在y轴上的截距比y＝2x＋1的图像在y轴上的截距要大。四、一次函数的增减性1、当k＞0时当k大于0的时候，一次函数是单调递增的。这是什么意思呢？就是说随着x的增大，y也跟着增大。就像我们跑步，随着时间（x）的增加，我们跑过的距离（y）也会增加，如果我们的速度是恒定的（这里速度就有点像k）。比如说y＝2x＋1，当x从1变成3的时候，y就从2×1＋1＝3变成了2×3＋1＝7，y随着x的增大而增大了。2、当k＜0时而当k小于0的时候呢，一次函数是单调递减的。就像我们骑车下坡，不用踩踏板，随着时间（x）的增加，我们距离坡顶的高度（y）就会越来越小。比如说y＝2x＋3，当x从1变成3的时候，y就从-2×1＋3＝1变成了-2×3＋3＝－3，y随着x的增大而减小了。五、一次函数的奇偶性1、特殊情况有些一次函数是奇函数或者偶函数。如果b＝0，那么一次函数y＝kx就是奇函数。奇函数有一个很有趣的特点，就是关于原点对称。我给大家举个例子，就像一个圆形的摩天轮，它的中心就是原点。如果我们把摩天轮的一边看成是一次函数y＝kx的图像的一部分，那么另一边就是它关于原点对称的部分。比如说y＝3x，当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝－3，是不是关于原点对称呢？2、一般情况但是如果b不等于0，那么一次函数y＝kx＋b就既不是奇函数也不是偶函数。这就像一个不对称的东西，比如说我们的鞋子，左右脚的鞋子形状一样，但是如果把一只鞋子放在原点，它的两边并不对称，就像y＝2x＋1这样的一次函数。六、一次函数在实际生活中的应用1、成本与产量在工厂里，一次函数经常被用来计算成本和产量的关系。比如说，生产一个产品的成本包括固定成本和变动成本。固定成本就像我们前面说的b，不管生产多少个产品，这个成本都存在。变动成本就像kx，随着产量x的增加而增加。如果一个工厂生产一个产品的变动成本是5元（k＝5），固定成本是1000元（b＝1000），那么总成本y就可以用y＝5x＋1000这个一次函数来表示。这样，老板就可以根据这个函数来计算不同产量下的成本，从而决定生产多少产品最划算。2、距离与时间在我们出行的时候，一次函数也能派上用场。假如我们坐汽车，汽车的速度是恒定的，比如说每小时60千米（k＝60），我们一开始离出发点的距离是10千米（b＝10），那么我们离出发点的距离y和时间x的关系就可以用y＝60x+10来表示。这样我们就可以知道在不同时间我们离出发点有多远了。七、课程重点和难点1、重点重点就是要理解k和b对一次函数图像和性质的影响。要能熟练地根据k和b的值画出一次函数的图像，并且知道这个函数是单调递增还是单调递减的。就像我们要记住不同的钥匙开不同的锁一样，看到k和b的值就能马上知道这个一次函数的各种性质。2、难点难点呢，可能就是对一次函数奇偶性的理解，尤其是对于b不等于0时为什么不是奇函数也不是偶函数，这个可能有点绕。还有就是在实际生活中如何准确地找出一次函数的关系，因为实际生活中的情况有时候比较复杂，就像我们在一堆杂