国家开放大学《几何基础》综合测评1-2参考答案

国家开放大学《几何基础》综合测评1-2参考答案综合测评11.两个点列间射影对应由（三）对应点唯一确定。2.设（AC，BD）=2，则（AB，CD）=（-1）。3.共线四点的调和比为（-1）.4.若两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比（）．A.不等B.1C.相等D.－15.A，B，C，D为共线四点，且（CD，BA）=k，则（BD，AC）=（）.A.1/kB.kC.1-(1/k)D.(1-k)/k6.已知两个一维图形（）对不同的对应元素，确定唯一一个射影对应.A.3B.1C.2D.47.两个一维基本形成射影对应，则对应四元素的交比（）.A.-1B.1C.相等D.不等8.以为方向的无穷远点的齐次坐标为（）．A.(1,0,0)B.(1,-2,0)C.(1,1/2,0)D.(1,2,0)9.已知A、B和的齐次坐标分别为（5,1,1）和（-1,0,1），求直线上AB一点C，使（ABC）=-1，若C=A+λB，求出λ。解：由x=x1x3，y=x设C(x,y)利用（ABC）=AC/BC，则x−5x+1=1y−1y−0=−1则C点齐次坐标为（2,1/2,1）因为C=1所以λ=110.已知直线3x+4y+1=0与2x+y=0，求过两直线的交点与点(2,1,0)的直线方程。解：两直线3x+4y+1=0与2x+y=0的齐次坐标形式分别为3x1+4x2+x3=0与2x1+x2=0，则交点为（-1,2,-5）于是过点（-1,2,-5）与（2,1,0）的直线方程为5x1-10x2-5x3=0化简得x1-2x2-x3=011.设三点的坐标分别为(1,1,1)，(1,-1,1)，(1,0,1)，且(AB，CD)=2，求点C的坐标。解：因为A=(1,2,3),B=(-1,2,1),则由1于是λ2设C=A+λ1B，已知（AB,CD）=λ1/于是得λ1所以C=A+2B=（3,-1,3）12.求证P1(3,1)，P2(7,5)，P3(6,4)，P4(9,7)成调和共轭。证明：（P1P2,P3P4）=(x3−所以，P1(3,1)，P2(7,5)，P3(6,4)，P4(9,7)成调和共轭13.设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，XZ分别交AC，BC于L，M不用笛沙格定理，证明YZ，BL，CM共点。证明：如图，在完全四点形ABCD中，边AC上的四个点A、C、Y、L是一组调和点，即（AC，YL）=-1又在完全四点形YBZL中，设LB与YZ交于N，MN交YL于C’，边YL上的四点Y、L、C’、A是一组调和点，即（YL，AC’）=-1由于（YL，AC’）=（AC，YL）=-1故C=C’所以YZ、BL、CM共点。14.若三角形的三边AB、BC、CA分别通过共线的三点P，Q，R，二顶点与C各在定直线上移动，求证顶点A也在一条直线上移动。证明：如图所示，取Q为透视中心，则（B,B1,B2,…）Λ（C,C1,C2,…）于是P（B,B1,B2,…）ΛR（C,C1,C2,…）在这两个摄影线束中，PR是自对应元素，所以P（B,B1,B2,…）ΛR（C,C1,C2,…）两个透视对应的线束对应直线的交点A,A1,A2共线，即顶点A也在一条直线上移动。综合测评21.给定无三点共线的（5）点，可决定唯一一条二阶曲线。2.二阶曲线x2－2xy+y2－y+2=0是（抛物线）。3.两个不共心的成射影对应的线束，对应直线的交点的全体是（一条二阶曲线）。4.若点P在二次曲线上，那么它的极线是的（切线）。5.由配极原则可知，无穷远点的极线一定通过（中心）。6.极线上的点与极点（）。A.可能不共轭B.不可判定C.不共轭D.共轭7.无穷远点关于二次曲线的极线成为二次曲线的（）。A.直径B.切线C.半径D.渐近线8.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题与欧几里得第五公设（）。A.无关B.以上都不正确C.矛盾D.等价9.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，这个命题在欧式几何内不与（）等价。A.过直线外一点能做而且只能做一条直线与已知直线平行B.过直线外一点又无穷多条直线与已知直线平行C.三角形内角和等于两直角D.直径对应的圆周角是直角10.三角形内角和等于180度与（）。A.欧氏平行公设等价B.与椭圆几何平行公设等价C.不可判定D.罗氏平行公设等价11.求通过点A(0,2,-1)，B(2,3,-2)，C(1,-1,0)，D(1,4,-2)的二阶曲线方程。解：设二阶曲线方程为a将已知五点的坐标带入上式得解方程组得a12=a11；a22=a11所求二阶曲线的方程为即2x12.求点关于（1，-1,0）二阶曲线3x12解：将点（1，-1,0）的坐标及aij（a11y1+a12y2+a13即：（3-7/2+0）x1+（7/2-5+0）x2+（2-5/2+0）整理即得所求极限方程x1+3x2+求二阶曲线x2+2xy+2解：A=(于是A31=−3；A32因此，中心坐标为（-3,1,1），或写成非齐次坐标（-3,1）。14.求直线3x1-x2+6x3=0关于x12+x22-2x解：利用σ因为D=|A|=1−11−11−31−30，所以a11=-9；a22=-1；a33=0；a12=a21于是σy1σy即，所求极点的坐标为（-12,4,4）15.求二阶曲线x2+2xy+2解：注意二次曲线是以非齐次坐标形式给出的，其中a11=1，a22=2，a13=2，a16.求二次曲线6x12-x22-24x3解：617.求二次曲线2x2+xy−318.请叙述欧几里得的