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文档简介
安徽蚌埠龙湖中学2024年高考数学试题命题比赛模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则()A.0 B.1 C.-1 D.2.设实数x,y满足条件x+y-2⩽02x-y+3⩾0x-y⩽0则A.1 B.2 C.3 D.43.已知函数,若曲线上始终存在两点,,使得,且的中点在轴上,则正实数的取值范围为()A. B. C. D.4.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是()A.线性相关关系较强,b的值为1.25B.线性相关关系较强,b的值为0.83C.线性相关关系较强,b的值为-0.87D.线性相关关系太弱,无研究价值5.若复数满足(为虚数单位),则其共轭复数的虚部为()A. B. C. D.6.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称7.若直线的倾斜角为,则的值为()A. B. C. D.8.设,是非零向量,若对于任意的,都有成立,则A. B. C. D.9.设点,P为曲线上动点,若点A,P间距离的最小值为,则实数t的值为()A. B. C. D.10.已知分别为圆与的直径,则的取值范围为()A. B. C. D.11.已知函数,其图象关于直线对称,为了得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点()A.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变C.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变12.定义在R上的偶函数满足,且在区间上单调递减,已知是锐角三角形的两个内角,则的大小关系是()A. B.C. D.以上情况均有可能二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,,,则_______.14.在疫情防控过程中,某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下,第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,那么第19天治愈出院患者的人数为_______________,第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.15.已知实数满足则点构成的区域的面积为____,的最大值为_________16.若,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,四棱锥中,平面,,,.(I)证明:;(Ⅱ)若是中点,与平面所成的角的正弦值为,求的长.18.(12分)如图所示,三棱柱中,平面,点,分别在线段,上,且,,是线段的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)若,,,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)已知抛物线的焦点为,准线与轴交于点,点在抛物线上,直线与抛物线交于另一点.(1)设直线,的斜率分别为,,求证:常数;(2)①设的内切圆圆心为的半径为,试用表示点的横坐标;②当的内切圆的面积为时,求直线的方程.20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知圆C:,椭圆E:()的右顶点A在圆C上,右准线与圆C相切.(1)求椭圆E的方程;(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M,与椭圆E相交于另一点N.当时,求直线l的方程.21.(12分)如图,正方体的棱长为2,为棱的中点.(1)面出过点且与直线垂直的平面,标出该平面与正方体各个面的交线(不必说明画法及理由);(2)求与该平面所成角的正弦值.22.(10分)如图,在中,,的角平分线与交于点,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由题意可知,代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数,.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用,属于基础题.2、C【解析】
画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示:画出可行域和目标函数,z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直线在y轴的截距加上1,根据图像知,当x+y=2时,且x∈-13,1时,故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题,画出图像是解题的关键.3、D【解析】
根据中点在轴上,设出两点的坐标,,().对分成三类,利用则,列方程,化简后求得,利用导数求得的值域,由此求得的取值范围.【详解】根据条件可知,两点的横坐标互为相反数,不妨设,,(),若,则,由,所以,即,方程无解;若,显然不满足;若,则,由,即,即,因为,所以函数在上递减,在上递增,故在处取得极小值也即是最小值,所以函数在上的值域为,故.故选D.【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示,考查化归与转化的数学思想方法,考查利用导数研究函数的最小值,考查分析与运算能力,属于较难的题目.4、B【解析】
根据散点图呈现的特点可以看出,二者具有相关关系,且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近,且比较密集,故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,且直线斜率小于1,故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解,侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.5、D【解析】
由已知等式求出z,再由共轭复数的概念求得,即可得虚部.【详解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共轭复数=-1+,虚部为1故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念,属于基础题.6、C【解析】
依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【点睛】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.7、B【解析】
根据题意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简,再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后,将代入计算即可求出值.【详解】由于直线的倾斜角为,所以,则故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及直线倾斜角与斜率之间的关系,熟练掌握公式是解本题的关键.8、D【解析】
画出,,根据向量的加减法,分别画出的几种情况,由数形结合可得结果.【详解】由题意,得向量是所有向量中模长最小的向量,如图,当,即时,最小,满足,对于任意的,所以本题答案为D.【点睛】本题主要考查了空间向量的加减法,以及点到直线的距离最短问题,解题的关键在于用有向线段正确表示向量,属于基础题.9、C【解析】
设,求,作为的函数,其最小值是6,利用导数知识求的最小值.【详解】设,则,记,,易知是增函数,且的值域是,∴的唯一解,且时,,时,,即,由题意,而,,∴,解得,.∴.故选:C.【点睛】本题考查导数的应用,考查用导数求最值.解题时对和的关系的处理是解题关键.10、A【解析】
由题先画出基本图形,结合向量加法和点乘运算化简可得,结合的范围即可求解【详解】如图,其中,所以.故选:A【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用,数形结合思想,属于中档题11、D【解析】
由函数的图象关于直线对称,得,进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称,得,即,解得,所以,,故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度,得再将横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得”即可.故选:D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,考查图像变换,考查运算求解能力,是中档题12、B【解析】
由已知可求得函数的周期,根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性,结合三角函数的性质即可比较.【详解】由可得,即函数的周期,因为在区间上单调递减,故函数在区间上单调递减,根据偶函数的对称性可知,在上单调递增,因为,是锐角三角形的两个内角,所以且即,所以即,.故选:.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、9【解析】
已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.【详解】由余弦定理和,可得,得,由,,,由正弦定理,得.故答案为:.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.14、161【解析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列,由此可求结果.【详解】某医院一次性收治患者127人.第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.且从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,从第15天开始,每天出院人数构成以1为首项,2为公比的等比数列,则第19天治愈出院患者的人数为,,解得,第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.故答案为:16,1.【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用,考查等比数列的性质等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.15、811【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示:数形结合可知,可行域为三角形,且底边长,高为,故区域面积;令,变为,显然直线过时,z最大,故.故答案为:;11.【点睛】本题考查简单线性规划问题,涉及区域面积的求解,属基础题.16、【解析】
因为,由二倍角公式得到,故得到.故答案为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中点,连接,由,,得三点共线,且,又,再利用线面垂直的判定定理证明.(Ⅱ)设,则,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,两式相加求得,再过作,则平面,即点到平面的距离,由是中点,得到到平面的距离,然后根据与平面所成的角的正弦值为求解.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,由,,得三点共线,且,又,,所以平面,所以.(Ⅱ)设,,,在底面中,,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,两式相加得:,所以,,过作,则平面,即点到平面的距离,因为是中点,所以为到平面的距离,因为与平面所成的角的正弦值为,即,解得.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,线面角的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力,属于中档题.18、(Ⅰ)证明见详解;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中点为,根据几何关系,求证四边形为平行四边形,即可由线线平行推证线面平行;(Ⅱ)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量和平面的法向量,即可求得线面角的正弦值.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,.如下图所示:因为,分别是线段和的中点,所以是梯形的中位线,所以.又,所以.因为,,所以四边形为平行四边形,所以.所以,.所以四边形为平行四边形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为,且平面,故可以为原点,的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,如下图所示:不妨设,则,所以,,,,.所以,,.设平面的法向量为,则所以可取.设直线与平面所成的角为,则.故可得直线与平面所成的角的正弦值为.【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行,以及用向量法求解线面角,属综合中档题.19、(1)证明见解析;(2)①;②.【解析】
(1)设过的直线交抛物线于,,联立,利用直线的斜率公式和韦达定理表示出,化简即可;(2)由(1)知点在轴上,故,设出直线方程,求出交点坐标,因为内心到三角形各边的距离相等且均为内切圆半径,列出方程组求解即可.【详解】(1)设过的直线交抛物线于,,联立方程组,得:.于是,有:,又,;(2)①由(1)知点在轴上,故,联立的直线方程:.,又点在抛物线上,得,又,;②由题得,(解法一)所以直线的方程为(解法二)设内切圆半径为,则.设直线的斜率为,则:直线的方程为:代入直线的直线方程,可得于是有:得,又由(1)可设内切圆的圆心为则,即:,解得:所以,直线的方程为:.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质,直线与抛物线相关的综合问题的求解,考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.20、(1)(2)或.【解析】
(1)圆的方程已知,根据条件列出方程组,解方程即得;(2)设,,显然直线l的斜率存在,方法一:设直线l的方程为:,将直线方程和椭圆方程联立,消去,可得,同理直线方程和圆方程联立,可得,再由可解得,即得;方法二:设直线l的方程为:,与椭圆方程联立,可得,将其与圆方程联立,可得,由可解得,即得.【详解】(1)记
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