对数函数及其幂函数教案及复习资料详解

/对数函数与幂函数教学目标一、教学知识点1、对数函数的概念.2、对数函数的图象和性质3、幂函数的概念。4、五种幂函数的图象并归纳他们的基本性质，并能进行简单的应用。二、能力训练要求1、理解对数函数的的概念.2、掌握对数函数的图象和性质.3、培养学生数形结合的意识.4、理解幂函数的概念。5、理解五种幂函数的图象并归纳他们的基本性质，并能进行简单的应用。教学重点对数函数的图象和性质幂函数的概念从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质教学难点对数函数指数函数的关系画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律对数及其对数函数1、对数的概念（1）定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。=1\*GB3①以10为底的对数称常用对数，记作；=2\*GB3②以无理数为底的对数称自然对数，，记作；（2）基本性质：=1\*GB3①真数N为正数（负数和零无对数）；2）；=3\*GB3③；4）对数恒等式：。（3）运算性质：如果则=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③R）。（4）换底公式：两个非常有用的结论=1\*GB3①；=2\*GB3②。【注】指数方程和对数方程主要有以下几种类型：af(x)=bf(x)=logab,logaf(x)=bf(x)=ab;（定义法）af(x)=ag(x)f(x)=g(x),logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0（转化法）af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)2．对数函数定义一般地，当a>0且a≠1时，函数y=㏒2x.叫做对数函数.这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R.3．对数函数的性质：（1）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。111111（图1）（图2）（图1）（图2）（2）对数函数性质列表：图象 性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在上是减函数幂函数1.问题引入我们先看下面几个具体问题:(1).如果圣诞节卡片每张1元，那么买x张卡片需y元。y=x(2).如果正方形的边长为x，面积为y。y=(3).如果正方形边长为x，体积为y。y=(4).如果正方形的面积为x，边长为y。y=(5).如果某人x秒内骑车行了1km,他骑车的平均速度为y.y=以上问题中的函数具有什么共同特征？答：共同特征：（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1;2、幂函数的概念一般地，函数y=叫做幂函数，其中x是自变量，是常数注：一般我们讨论为有理数的情况3、幂函数性质的探究：对于幂函数，我们只讨论=1，2，3，，–1时的情形。

定义域

R

R

R

值域

R

R

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数单调性

公共点

（1，1）通过上表我们得出：函数，，，和得图像都通过点（1，1）函数，，是奇函数，函数是偶函数在区间上，函数，，，是增函数，函数是减函数在第一象限内，函数的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。由上述推理归纳：幂函数的性质如下(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1);(2)指数是偶数的幂函数是偶函数,指数是奇数的幂函数是奇函数(3)如果＞０，则幂函数在区间[0,+∞)上是增函数；如果＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，图象向上与y轴无限接近，图象向右与x轴无限接近。4、课堂小结（1）学习了对数函数和幂函数的定义（2）对数函数和幂函数的图像和性质（3）利用幂函数的单调性判别“同指数不同底数”的幂的大小（4）数形结合思想的再次升华典例解析例1．计算（1）；（2）；（3）。例2．设、、为正数，且满足（1）求证：；（2）若，，求、、的值。例3.（1）已知log189=a,18b=5,求log3645（用a,b表示）（2）设求证：例4．设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。.例5.已知y=loga(2－ax)在区间[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围．例6，已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；例7.已知幂函数的图象与轴都无交点，且关于轴对称，求的值。课后练习1．函数的定义域是，值域是.2．方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为.3．函数y=的单调递增区间是.4．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是___________.5．设若时有意义，求实数的范围6.已知函数.(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的值域.7.如图，A，B，C为函数的图象上的三点，它们的横坐标分别是t,t+2,t+4(t1).(1)设ABC的面积为S求S=f(t)；(2)判断函数S=f(t)的单调性；(3)求S=f(t)的最大值.8.已知幂函数在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求的值，并写出相应的函数例题答案与解析例1.解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。例2．证明：（1）左边；解：（2）由得，∴……………①由得………②由①②得……③由①得，代入得，∵，∴………………④由③、④解得，，从而。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。例3.（1）解：∵log189=a∴∴log182=1a∵18b=5∴log185=b∴（2）证：∵∴∴题型4：指数、对数方程例4．解：（1）原方程为，，时方程有实数解；（2）①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.的解为；令的解为；综合①、②，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种基本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经验。例5.解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2又a是对数的底数，∴a＞0且a≠1，∴x＜由递减区间[0，1]应在定义域内可得＞1，∴a＜2又2－ax在x∈[0，1]是减函数∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1∴1＜a＜2例6．解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)(2)设1＞x2＞x1∵a＞1，∴，于是a－＜a－则loga(a－a)＜loga(a－)即f(x2)＜f(x1)∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数例7，解：因为的图象与x,y轴都无交点，所以，，所以，m可取0，1，2。因为的图象关于y轴对称所以m=1课后习题答案与解析1．2.03.4. 5.解：由已知得，当时，∴∴∴，∴，∴6.解：(1)函数的定义域为(1，p).(2)当p＞3时，f(x)的值域为(－∞，2log2(p+1)－2)；当1＜p3时，f(x)的值域为(－，1+log2(p+1)).7.解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为