1.1.1探索勾股定理(共3)-2021-2022学年八年级数学上册同步课堂（北师版）

1.1.1探索勾股定理数学（北师大版）八年级

上册第一章勾股定理学习目标1、用数格子的办法体验勾股定理的探索过程。2、理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。

导入新课如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.

导入新课观察下面地板砖示意图：

你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？讲授新课勾股定理的初步认识一1.阅读课本P2回答问题ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2（1）观察图1—1正方形A中含有

个小方格，即A的面积是

个单位面积；正方形B中含有

个小方格，即B的面积是

个单位面积；正方形C中含有

个小方格，即C的面积是

个单位面积；你是怎样得到上面的结果的？与同学交流。99991818讲授新课1.阅读课本P2回答问题ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2（2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？（3）你能发现两图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？

SA+SB=SC4,4,89,9,18；4,4,8讲授新课ABCABC思考：在这幅图中，边长的平方如何刻画？用正方形A，B，C的面积刻画，就是证SA+SB=SC.我们的猜想如何验证？cba讲授新课ABCABC请想办法计算左边图形中A，B，C的面积.你用什么办法计算C的面积呢？SA=9

SB=9SC=18数格子讲授新课验证法1方法：可把正方形C分成两个全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面积为18.割CBA还可以用什么办法计算C的面积呢？讲授新课验证法2方法：可把正方形C分成四个全等的等腰直角三角形，可求得正方形C的面积为18.割CBA还可以用什么办法计算C的面积呢？讲授新课验证法3方法：可在正方形C外边圈一个大正方形用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，即可求得正方形C的面积为18.补CBA还可以用什么办法计算C的面积呢？讲授新课CBASA=9

SB=9SC=18由以上计算A，B，C三个图形的面积，我们能得到什么结论？SA+SB=SCcba结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.讲授新课几何语言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟总结归纳定理揭示了直角三角形三边之间的关系.

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．勾股定理讲授新课求下列直角三角形中未知边的长:练一练8x17125x解：由勾股定理可得：82+x2=172即:x2=172-82

x=15解:由勾股定理可得：

52+122=x2即：x2=52+122

x=13讲授新课例1已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.利用勾股定理进行计算二解：由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根据三角形面积公式，∴AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34讲授新课方法总结

由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．讲授新课例2

如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．E讲授新课方法总结

构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．讲授新课解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.例3

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．讲授新课

题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结解析：因为AE＝BE，所以S△ABE＝AE·BE＝AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝AB2＝；同理可得S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为AB2＝.例4

如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________．讲授新课讲授新课方法总结

求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．当堂检测一、判断题.1.△ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()2.△ABC的a=6,b=8,则c=10()二、填空题3.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,则△ABC面积为_____,斜边为上的高为______.

244.8ABCD当堂检测4．在△ABC中，∠C=90º,（1）

若a=5，b=12，则c=________；（2）

若a=15，c=25，则b=________；（3）

若c=61，b=60，则a=________；（4）

若a:b=3:4，c=10，则a=________，b=________；（5）

若a:c=3:5，b=8，则a=________；201311686当堂检测5.求出下列字母所代表的正方形的面积.正方形A面积为625正方形B面积为144BA当堂检测6.求出下列三角形中未知边的长度.（1）（2）解：（1）由勾股定理得：x2=62+82=100.x86y135因为x>0，所以x=10.（2）由勾股定理得：y2=132－52=144.因为y>0，所以y=12.当堂检测7.强大的台风使得一个旗杆在离地面9m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，请问旗杆折断前有多高？解：设旗杆折断前有xm，由勾股定理得：（x－9）2=122+92因为x－9>0，所以x－9=15，所以x=24.当堂检测8.台风使得一个旗杆折断倒下，倒下部分长比未倒下部分长4m，如图，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高？即：8x=128.解得x=16.∴x+4=20（m），16+20=36（m）.

答：旗杆折断之前有36m