河南省安阳市2023-2024学年高一上学期第二次阶段考试数学试题含答案

2023—2024学年第一学期第二次阶段考试高一数学试题卷一、单选题（每题5分，共40分）1.集合，则中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】解不等式，求出集合，再根据交集的运算性质，即可解题.【详解】解不等式可得，所以，又，所以，所以中元素的个数为3个.故选：B2.函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分类讨论与，结合指数函数的单调性即可得解.【详解】因为，当时，，由于，所以在上单调递增，排除BD；当时，，由于，所以在上单调递减，排除A；而C选项满足上述性质，故C正确.故选：C.3.已知，则三个数的大小顺序是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合中间值0和1比较后可得.【详解】由，，，所以.故选：B.4.已知函数（，且）的图像恒过点P，若点是角终边上的一点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数型函数过定点求得，利用三角函数的定义求解即可.【详解】解：∵，∴函数（，且）的图像恒过点，∴由三角函数定义得故选：D5.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.【详解】设，则要使在区间上单调递增，由复合函数单调性可得：满足，即，得a，即实数a的取值范围是.故选：D6.一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系，求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．【详解】一元二次不等式的解集为，∴，且2，3是方程两个实数根，∴，解得，其中；∴不等式化为，即，解得或，因此所求不等式的解集为．故选：D．7.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信通带宽､信道内信号的平均功率､信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（）（附：）A.22% B.33% C.44% D.55%【答案】C【解析】【分析】根据题中所给公式，利用代入法，结合对数的运算公式和换底公式进行即可.【详解】由题意可知：大约增加了，故选：C8.设函数，且的定义城为，若所在点构成一个正方形区域，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出的定义域和值域，根据构成一个正方形区域，列出等式关系，求出的值.【详解】因为的值域为，所以的值域为.设的两根是，且，则定义域.而点，构成一个正方形区域，于是.故选：A.二、多选题（每题5分，全选对5分部分选对得2分，有选错不得分，共20分）9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若且，则 D.若且，则【答案】BCD【解析】【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项.【详解】对于A选项，当时，，A错；对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对；对于C选项，若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，C对；对于D选项，若且，则，所以，，D对.故选：BCD.10.下列命题中为真命题的是（）A.函数与为同一个函数B.若函数有两零点，一个大于2，另一个小于，则的取值范围是C.不等式的解集为D.若的定义域为，则的定义域为【答案】ABD【解析】【分析】由函数的三要素判断A；由二次函数根的分布判断B；由一元二次不等式的解法判断C；由抽象函数的定义域判断D.【详解】解：对于A，由题意可知，的定义域均为R，且，所以，为同一函数，故正确；对于B，由题意可得，解得，故正确；对于C，由题意可知，所以，解得且，所以不等式解集为，故错误；对于D，因为的定义域为，由，解得，所以的定义域为，故正确.故选：ABD．11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A.是偶函数 B.是奇函数C.在上是增函数 D.的值域是【答案】BC【解析】【分析】计算出和的值后结合奇偶性定义可判断A，由奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性判断C，确定出的取值范围后得出的值域判断D．【详解】根据题意知，．∵，，，∴函数既不奇函数也不是偶函数，A错误；，∴是奇函数，B正确；∵在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；∵，∴，，∴，∴，D错误．故选：BC．12.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论错误的是（）A.B.C.函数有3个零点D.当时，【答案】AB【解析】【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期，即可判断A的正误，根据解析式及周期，代入数据，可判断B的正误；分别作出和的图像，即可判断C的正误；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D的正误，即可得答案.【详解】因为当时，，则，因为，所以，则，所以不成立，故A错误；又函数为偶函数，所以，故的周期为4，由函数的周期为4，则，，所以，故选项B错误；令可得，作出函数和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，故选项C正确；当时，，则，故选项D正确，故选：AB.三、填空题（每题5分，共20分）13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式求解即可.【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则扇形的半径，所以该扇形的面积.故答案为：6【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.14.已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先利用方程组法求出函数的解析式，再根据基本不等式即可得出.【详解】因为，所以两式联立得得，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故答案为：15.方程有解，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，令，得，利用基本不等式即可求解.【详解】方程有解等价于方程有解.令，则因为，所以，当且仅当，即时等号成立.故时，方程有解.故答案为：.16.已知实数，满足，，则________.【答案】4【解析】【分析】构造同源函数，根据函数的单调性可得，即可得解.【详解】由，得，即，即又，即，设函数，所以在上单调递增，又，即，所以，所以，故答案为：.四、解答题（本小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合，集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据解一元二次不等式的解法，结合集合交集的运算性质进行求解即可；（2）根据充分条件的性质进行求解即可.【小问1详解】集合，若，则：或或，解得或或，即．故实数的取值范围是．【小问2详解】若是的充分条件，则，即：，解得：．故实数的取值范围是．18.已知、是方程的两个实数根，其中．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据、是方程的两个实数根列出关于和韦达定理的式子，根据即可求解；（2）由（1）求出和，进而求出，即可求出的值.【小问1详解】因为、是方程的两个实数根，所以，可得，又因为，即，解得，合乎题意．因此，．【小问2详解】由（1）知，，因为，则，，所以，，所以，则，因此，．19.某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）．当年产量不小于80千件时，（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】19.20.当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1050万元【解析】【分析】（1）根据已知条件列出函数解析式；（2）根据函数解析式分别求分段函数的最值，时为二次函数求最值，时为基本不等式求最值.【小问1详解】因为每件商品售价为0.05万元，则x千件产品销售额为万元，依题意得：当时，，当时，，所以；【小问2详解】当时，，此时的最大值为万元；当时，，此时，即时，取最大值为万元.所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1050万元.20.已知是偶函数．（1）求实数的值；（2）用定义法证明函数在上的单调性；（3）解不等式．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用偶函数的概念恒成立，可求的值；（2）直接用函数单调性的定义进行推理证明；（3）利用偶函数的性质，结合（2）的结论，把不等式转化为代数不等式，再求解即可.【小问1详解】依题意，定义域为，由是偶函数，则，即，得，又，则不恒等于0，故；【小问2详解】证明：任取，，且，则，由于得，，所以，，故，所以，则，又因为，所以在上是增函数．【小问3详解】因为为偶函数，在上是增函数，则即为，两边平方得，解得或不等式的解集为．21.已知函数（1）解关于的不等式；（2）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析.（2）.【解析】【分析】（1）根据不等式关系，分类讨论，即可解出不等式；（2）求出当时解析式，根据已知条件分析出与的关系，即可求出实数的取值范围.【小问1详解】由题意，在中，，∴，∴，当时，解得，当时，解得，当时，解得，综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为【小问2详解】在中，

当时，，∵，∴函数的值域是，在中，∵对任意的，总存在，使成立，∴的值域是的值域的子集，当时，，则，解得当时，，则，解得，当时，，不成立；综上，实数m的取值范围.22.已知函数的图象关于原点对称．（1）求实数的值；（2）设函数（且）在上的最小值为1，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由奇函数的定义结合指数函数的性质即可求解；（2）利用换元，根据对数函数的性质分析可得：当时恒成立，进而可得且，并结合二次函数的性质以及对数函数的单调性分析求解.【小问1详解】因为函数的图象关于原点对称，则，即，整理得，又因为，，则，所以，解得．【小问2详解】由（1）可知，.因为与在单调递增，可知函数在定义域内单调递增，令，易知在内单调递增，且，，即，则．可得，