2022-2023学年甘肃省兰州市第五十中学高三第一次模拟考试数学（理科）试题（原卷版）

高考模拟试题PAGEPAGE1兰州市五十中2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则真子集的个数（）A.8 B.7 C.4 D.62.设i是虚数单位，若复数，则复数z的模为（）A.1 B. C. D.3.下列命题中是假命题的是()A.∃x∈R， B.∃x∈R，cosx＝1C.∀x∈R，>0 D.∀x∈R，>04.已知为第二象限角，则（）A.3 B. C.1 D.5.总体由编号为01，02，，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为附：第6行至第9行的随机数表27486198716441487086288885191620747701111630240429797991968351253211491973064916767787339974673226357900337091601620388277574950A.3 B.19 C.38 D.206.已知非零单位向量满足，则与的夹角是（）A. B. C. D.7.若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，1) B.(－∞，1〗C.(－1，1) D.(－1，1〗8.数列满足，且对任意的都有，则的前100项和为A. B. C. D.9.一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为（）A.12 B.8 C.6 D.410.已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.11.李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有A.16种 B.18种 C.20种 D.24种12.已知函数，若函数在上最小值为，则的值为A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡中的横线上．）13.如图为计算函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填________．14.已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．15.已知直线，则过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为________.16.对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则,若的分解中最小的数是73，则的值为__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在四边形中，∥，．（1）若，求；（2）若，求．18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M为线段BD的中点．（1）求证：BD⊥平面AFM；（2）求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．19清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：题

A

B

C

答卷数

180

300

120

（Ⅰ）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份〖答案〗中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望．20.已知椭圆的离心率为，直线交于，两点；当时，.（1）求E方程；（2）设A在直线上射影为D，证明：直线过定点，并求定点坐标.21.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．〖选修4-4：坐标系与参数方程〗22.已知曲线C：和直线l：（t为参数）．（1）求曲线C的参数方程和直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与直线l夹角为30°的直线，交l于点A，求的最大值与最小值．〖选修4-5：不等式〗23.已知，且满足，求的最小值．高考模拟试题PAGEPAGE1兰州市五十中2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（理科）第I卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则真子集的个数（）A.8 B.7 C.4 D.62.设i是虚数单位，若复数，则复数z的模为（）A.1 B. C. D.3.下列命题中是假命题的是()A.∃x∈R， B.∃x∈R，cosx＝1C.∀x∈R，>0 D.∀x∈R，>04.已知为第二象限角，则（）A.3 B. C.1 D.5.总体由编号为01，02，，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为附：第6行至第9行的随机数表27486198716441487086288885191620747701111630240429797991968351253211491973064916767787339974673226357900337091601620388277574950A.3 B.19 C.38 D.206.已知非零单位向量满足，则与的夹角是（）A. B. C. D.7.若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是（）A.(－∞，1) B.(－∞，1〗C.(－1，1) D.(－1，1〗8.数列满足，且对任意的都有，则的前100项和为A. B. C. D.9.一个几何体三视图如下图所示，则该几何体体积为（）A.12 B.8 C.6 D.410.已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.11.李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节7天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有A.16种 B.18种 C.20种 D.24种12.已知函数，若函数在上最小值为，则的值为A. B. C. D.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡中的横线上．）13.如图为计算函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填________．14.已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．15.已知直线，则过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为________.16.对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则,若的分解中最小的数是73，则的值为__________.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在四边形中，∥，．（1）若，求；（2）若，求．18.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，，AB⊥AD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M为线段BD的中点．（1）求证：BD⊥平面AFM；（2）求平面AFM与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．19清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：题

A

B

C

答卷数

180

300

120

（Ⅰ）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份〖答案〗中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望．20.已知椭圆的离心率为，直线交于，两点；当时，.（1）求E方程；（2）设A在直线上射影为D，证明：直线过定点，并求定点坐标.21.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零