2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数二课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价二十七二倍角的三角函数(二)(20分钟35分)1.已知sinα-cosα=QUOTE,则sin2α= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.sin2α=2sinαcosα=QUOTE=-QUOTE.【补偿训练】已知cosα-sinα=QUOTE,则cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为cosα-sinα=QUOTE,所以cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-sin2α=QUOTE,所以sin2α=QUOTE,所以cosQUOTE=sin2α=QUOTE.2.若sinQUOTE=QUOTE,则cosQUOTE= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题意,可得cosQUOTE=-cosQUOTE=-cosQUOTE=-cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE.3.若tanθ=QUOTE,则cos2θ= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.cos2θ=cos2θ-sin2θ=QUOTE.分子分母同时除以cos2θ,得:cos2θ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.已知α∈QUOTE,sin2α=QUOTE,则sinQUOTE=.

【解析】因为1-2sin2QUOTE=cosQUOTE=-sin2α,所以sin2QUOTE=QUOTE,因为α∈QUOTE,所以α+QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.已知α是其次象限角,且sinQUOTE=-QUOTE,则QUOTE=.

【解析】由sinQUOTE=-QUOTE,得cosα=-QUOTE,又因为α是其次象限角,所以tanα=-2,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.若θ∈QUOTE,sin2θ=QUOTE,求sinθ.【解析】因为θ∈QUOTE,所以2θ∈QUOTE,所以cos2θ≤0,所以cos2θ=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.又cos2θ=1-2sin2θ,所以sin2θ=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为θ∈QUOTE,所以sinθ>0,所以sinθ=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.QUOTE= ()A.-QUOTE B.-1 C.QUOTE D.1【解析】选D.QUOTE=QUOTE=2×QUOTE=2sin30°=1.2.设α∈QUOTE,β∈QUOTE,且QUOTE=QUOTE,则 ()A.2α+β=QUOTE B.2α-β=QUOTEC.α+2β=QUOTE D.α-2β=QUOTE【解析】选B.由QUOTE=QUOTE,可得:sinα-sinαsinβ=cosαcosβ.所以sinα=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),因为α∈QUOTE,β∈QUOTE,所以cos(α-β)>0,所以α+α-β=QUOTE,即2α-β=QUOTE.3.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于()A.1 B.-1 C.0 D.±1【解析】选C.因为sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin(α+β-β)=sinα=0,所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sinαcos2β=0.4.计算:4cos50°-tan40°= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2QUOTE【解析】选A.4cos50°-tan40°=4cos50°-QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【误区警示】由于50°+40°=90°,故想用其中一个表示另外一个,没有考虑到其他特别角,从而思路断掉.5.已知sinα+cosα=QUOTE,则2cos2QUOTE-1= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.由sinα+cosα=QUOTE平方得,1+sin2α=QUOTE,故sin2α=-QUOTE,故2cos2QUOTE-1=cosQUOTE=sin2α=-QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=sinQUOTE-3cosx的最小值为.

【解题指南】首先应用诱导公式,转化得到二倍角的余弦,进一步应用二倍角的余弦公式,得到关于cosx的二次函数,从而得解.【解析】f(x)=sinQUOTE-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-2QUOTE+QUOTE,因为-1≤cosx≤1,所以当cosx=1时,f(x)min=-4.答案:-47.已知θ∈QUOTE,且sinQUOTE=QUOTE,则tan2θ=.

【解析】由sinQUOTE=QUOTE得,QUOTE=QUOTE⇒sinθ-cosθ=QUOTE,解方程组:QUOTE得QUOTE或QUOTE因为θ∈QUOTE,所以sinθ>0,所以QUOTE不合题意,舍去.所以tanθ=QUOTE,所以tan2θ=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.QUOTE·cos10°+QUOTEsin10°tan70°-2cos40°=.

【解析】原式=QUOTE+QUOTE-2cos40°=QUOTE+QUOTE-2cos40°=QUOTE-2cos40°=QUOTE-2cos40°=QUOTE-2cos40°=4cos220°-2(2cos220°-1)=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知2sinθ-cosθ=1,求QUOTE的值.【解析】已知等式变形得:2sinθ=1+cosθ,即4sinQUOTEcosQUOTE=2cos2QUOTE,即2sinQUOTE=cosQUOTE或cosQUOTE=0,当2sinQUOTE=cosQUOTE时,原式=QUOTE=QUOTE==QUOTE=2.当cosQUOTE=0时,原式=0,综上所述,原式的值为0或2.10.设A,B,C是△ABC的三个内角,求证:sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC.【证明】左边=(sin2A+sin2B)+sin2[π-(A+B)]=2sin(A+B)cos(A-B)-sin2(A+B)=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)=2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]=2sin(π-C)·(cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB)=2sinC·2sinA·sinB=4sinAsinBsinC=右边.所以原式得证.1.函数f(x)=sin2x+QUOTEsinxcosx在区间QUOTE上的最小值为.

【解析】f(x)=QUOTE+QUOTEsin2x=QUOTE+QUOTE=sinQUOTE+QUOTE,又x∈QUOTE,所以2x-QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE∈QUOTE,故f(x)min=QUOTE+QUOTE=1.答案:12.求证:QUOTE=QUOTE.【证明】原式等价于1+sin